X- — 2rtj' — a- — h = o
où (i esl la constante aibiti'aire. Faisant donc
F(^,/, «) = .r- — lay — a- — b,
et prenant les (ondiiuis déri\('es de tous les termes relaliN cum'uI ;i a
seul, on aura
F[a) = -'j.y—-ia;
<l()iic l'rqiiatiuii
Y'{a)=-o donnera « = — r,
Viiloiir (jui, élaiU substituée dans l'équation primitive, donne
équalioli ({ui satisfait également à ré(|iiation du premier ordre. En cH'cl, cette équation donne
y- ^ b — X- et y-y ■= — a ; ees valeurs substituées dans l'équation
r' V -^ - + jT' — ^ — yy — X = ()
la rendent identique.
Comme on sait, par la tbéorie des équations, que l'équation dérivée
l'elative à <7, contient la condition qui rend égales deux des racines de
l'équation
ordonnée par rapport à a, il s'ensuit que la valeur singulière de y, dans cette équation, a la propriété de donner à l'équation en a une racine double.
On voit, en effet, (jue l'équation
a- -\- 1 ay — x- -f- /» = o ac(juiert une racine double, en faisant
Si l'équation primitive était
[x- -\- y^ — h ) [y- — 2 ay ]-\-[x- — b)n'- = o, a étant la constante arbitraire, ré(|uation dérivée relative à a serait
— y[x- -f- r- — b) -h [x- — 6)rt = o,
il oii I on lii'c
.r(^2 -^-jr- — f>]
x- ^ b v;il('iir (|iii, (''l;iiil siiltsiiliicc diiiis |;i [H'oposéc, domic
r* (r- -\-y- ~ b] cl, par consi'MjUcnt,
|>(»iii' rr(|iiali()ii primitive singulière.
.Mais, (le ce (jiie cette équation rend la valeur incnic i\r a nulle, il siiil (lii'tdlc ne sera qu'un cas |)articiilicr de rc(|uation priniilivc; en cllcl clic icsultc de celle-ci, en y Taisant (i o.
On peut aj)j)]i(jnci' aux c(|uations des oi'drcs siipciiciii> au premier la (licoric (pic nous venons de donner sur les c(jtialious dérivées de cel ordi-c.
En ell'et, si
V[x,j%y\y", ...,y(" *\a] = n est ré(juation primitive de récjualion de Tonlrc //
a étant la constante arhiti'aire, celle-ci doit résulter de rélinïiualion de a entre l'écpiatiiui primitive et son équation dérivée; et il est évident ((ue le résultat de celte élimination scia le même, soit (juc la (juanlilé rt soit constante ou variable, pourvu (|uc les i\cu\ c(piati(Mis soient de la nuMue fbi'me.
Or l'équation [)rimitive
est la même dans l'un cl dans Taulre cas : son écpiation dérivée est, dans le cas de a constante,
et, dans le cas où a serait une fonction (juelconque de x, elle sera
donc les deux équations deviendront idenli(|ucs si l'on détermine (( de manière que le terme a'V'{a) disparaisse.
Faisant donc
a' F (fl) = o,
on a ou
az=o,
et par conséquent a égal à une constante, ce qui est le cas ordinaire;
ou
ce qui donnera une valeur de a en r et r, laquelle, étant substituée dans l'équation primitive
donnera une équation du même ordre, qui satisfera également à l'é- (juation
elle pourra donc être regardée aussi comme une équation primitive singulière sans constante arbitraire.
L'équation du second ordre
a pour équation primitive du premier ordre
