X- — lay + a- + ^ = o

étant divisée par — B et faisant

Ififi LEÇONS SI K I.E CALCUL

LEÇON (jUATORZIËME.

DIS VAI.FAIlS SINGULIÈRES QUI SATISFONT AUX EQUATIONS DERIVEES ET QUI NE SONT PAS COMPRISES DANS LES ÉQUATIONS PRIMITIVES. THÉORIE DES ÉQUATIONS PRIMITIVES SINGULIÈRES.

La théorie des équations dérivées, exposée dans la Leçon XII, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible par les constantes arbitraires qui doivent y entrei'. Il y a néanmoins des équations dérivées auxquelles satisfont les valeurs que j'appelle singulières, parce qu'elles ne sont pas comprises dans leurs é(|nalions primitives. Ces sortes de valeurs se sont présentées aux géomètres presque dès la naissance du Calcul différentiel; mais, comme la théorie des constantes arbitraires n'était guère connue alors, on n'a pas d'abord regardé ces valeurs comme formant une exception aux l'ègles générales du Calcul différentiel. Euler est le premier qui les ail envisagées sous ce point de vue et qui ait donné des règles pour les distinguer des intégrales ordinaires.

Depuis, on a reconnu (|u'elles dépendent de la théorie générale des ecjuations dillérentielles ou dérivées, et ([u'elles servent ;i la conq:)léter; c'est ce que nous allons développer avec toute l'étendue qu'exige l'importance de la matière.

Considérons une é(ju;»ti()ii (|uelcon(jue du [)remier ordre, l'eprésentée par

DKS FONCTIONS. (07

(i supposons (inCllr soit dérivée de r(''(|ii;ilioii priiiiilivc

(t (''l:m( l;i coiislaiilc ;ii'l)ilrair('.

Siiiviiiil l:i llicoiic l'éiiénilc, ('elle r<jii;ilioii

(loiiiicr;! l'('(|ii;ilioii dérivée

(|iii se réduit ii la loriiie

eoiirorniénieiU à la iiolalioii (|ue nous avons etiiployec jiis(|iriri : cl ces deux équalions, étant combinées ensenil)le de manière (pic la ( onstante (( disparaisse, produiront la suivante

Maintenant il est elair que le résultat de l'éliminatiou ilc <■/ sera le même, qu(dle (|ue soit la (juantité a, soit constante on variable, pourvu (\\\v les deux équations

soient les mêmes. Donc aussi la même é(|uation

pourra résulter de l'écpiation

V[x,x,fi] = o,

en supposante variable et ronctiiui de .r, poui'vu (pic re(|iialion dérivée

soit égaleUM'Ut

Mais, en regardant a comnn) une rou(ti(ui de r, (ui a

¥'[x,);a)=F'[x]-^)-' F'(j) + rt' V'[a::

iiiiisi la condition dont il s'agit aura lieu si le terme a'¥'{a) disparaît; (i'oii il suit que la valeur de y, tirée de l'équation primitive

F(^,r, «) = o, salislera également à ré(|uation du premier ordie

en prenant pour a une fonction de or déterminée par récjualion

a' F'(rt) 1= o.

(-ette é({iiation donne ou

a' = o, ou F'(«) = o,

L'équation a' =^ o donne a égal à une constante quelconque; c'est le cas de l'éijuation primitive ordinaire, dans lequel a est la constante arhilraire.

Mais l'autre écjuation

dans laquelle f'{a) est une fonction de œ, y et a, donnera, par la résolution, la valeur de a en r et r; et, cette valeur étant substituée

dans l'équation primitive

on aura une nouvelle équation en œ et y, sans constante arbitraire, (|ni conduira également à la même équation dérivée, et qui sera nécessairement différente de l'équation pi-imitive ordinaire, pui^^que dans (■('Ue-ci la quantité a est une constante arbitraire, et que dans l'autre elle devient une fonction de œ et r.

Donc, en général, si l'on élimine a des deux équations

on aura Téqualion (jui renfermera les valeurs singulières de y, qui j)euvent satisfaire à l'équation dérivée

DES FONCTIONS. lOi»

dont

est rciiiinlioii |>i'imiliv(' (tidiiKiiic.

Nous ;i|>|)('llf'i(»iis celle e(|ii;ili{)ii (-r/Ufi/iO/t i>ii/iiili\c si/ii;i(h('/('. |)(»iii l;i disliiii^iiei' (le re(|(i;ili()ii primilive ordiiiaife, (jiie nous iippelleioiis aussi ('(//((i/io/i pnnuttKc cofiiplclc.

Il i'aiil seuienieiil i'eiMai(|uer (jue, coiiinie l'ossence de cette équalidii

(•(Hisisle en ee (jue la valeur de d esl uue Ibuelion variable, si re(|na-

tiou

\y,\\' Ia(|n(dle ou doit délerrninei' <i, doniiail pour <i une (juaulilé eoiislante, ou bieu une Icdie loiieliou de r el v (|ui deviul éi;ali' ii uue eoustaulc eu vertu de l'étiiuiliou

dans hujutdie ou doit siihsliluei' celte valeui' de (i, ou (|ui, dans celle substitutiou , douuàt le uièuie l'ésullat (|u'ou aurait par uiu' valeur constaule de a, alors cette équation cesserait d'ètic uue é(juatiou priuiitive singulière, et ne serait plus (ju'uu cas particulier de TiMpuition primitive ordinaire.

Nous avons trouvé (r>eeon XIl <jue l'c([uati(Mi du premier ordre

/ v'^- -^y- ~b — yy' — x — o a pour é(jualioii primitive