X- — ?«J"' + a- = o, il osl l'aeile de trouver celle-ci
-Ty 'i.ciy + a-x H- w 1= o,
oii h est la nouvelle constante arbitraire.
Si maintenant on élif)iine (i de ces deux équations, on anr-a la suivante
4^2(-^..^y)2 4 ^ :__ (^,.^yjy+ U - ^^
qui sera par conséquent l'autre écjuation primitive du premier ordre de la proposée.
On peut donc aussi chenlicr une é(|ualion j)rimilive sini^uliî're d'après celte équation-ci, en prenant son équation dérivée relativenn-nl à h, et l'on trouvera
d'où l'on tire
^ = -j-^-^ir — ^y'))'
Substituant celte valeur' dans recjnaliou pi'écédente, idie devieni
J7i LEÇONS SLR LE CALCUL
Cette é(jii;iti()n (loiiiic ces deux-ci
y — xy ^ o et :r-— j-'-^o. [.;t pi'emière ne satisfait pas à la proposée, ear elle donne
r cl, de là,
La seconde donne '
c'est la même (jue nous avons trouvée ci-dessus.
Ainsi les i\cu\ é([uations pi'iinitives du premier oi'dre ne donnent (|ue la niénu' C(]uati()n siugulii're.
11 serait ccjn'iulaiil naturel de penser que des é(]uati(tns primitives dill'erentes devraient donner aussi dillereutes valeurs siniîuiiéres; mais nous allons démontrer, (/priori, que l'on a toujours la même équation pi'imilive singulière, de (juel(|iie équation primitive ({u'on la déduise: ce qu'on ne savait pas jusi}u"ici.
Considérons une équation du second ordre, représentée en général par
f[.r,r,y,y']=zo,
l'I <lont !"c(pialioii [trimilivc entre a" et v soit
F, .r, )•, <7, ft'' = o,
a et h étant les deux constantes arhiti'aircs.
Par la théorie générale, on aura ses di'ux cqualioii> primitives du premier oitlre. en éliminanl </ ou A. par le moyen de cette même équatn»n l't de >a première tupialioii deii\ee
(t et A étant ici regardées comme constantes.
Cminne la l'onction dérivée F' r, v rcMil'erme, outi'(> les constantes a
et A, la l'onction v . ilcsinnons-ia par ^ .r, ^ . \- . ii, h .
i)i:s ro SCIIONS. it;j
Ainsi on ;iur;i les deux convlMnlcs |iriiMili\('s du picniifr nidic, m siil)slilM:int ;iilcrM:iliv('Mi*Mit, dans la nirnic (Mjuation
la valcnr- de A en x-, y, <i, et la valeur de <i en r-, v et A. lirccs A^ la
niciiic (Ml nation
l'jisnitc on anra les (-([uations primitives singulii'rcs, en tdiniinant n de la prcniii'i'e par h; moyen de son équation dérivée, prise relativement il (i, et en éliminant A de la seconde par le moyen de son écpiation dérivée, prise r(dativement ii h.
Considérons d'àhoi'd, dans l'éqnalion
o [ X, )■,}■, (t, b r= n, la (jnaiilité h eomme nne lonclion de .r, v, a, déterminée par re(|nalion
son équation dérivée, prise relativement à a, sera \
en supposant qne // soit la fonction dérivée de h, pris*- rtdaliveinenl à (i\ or, eomme h est une lonetion de a, déterminée |)ar re(|nalion
on auia la valeur de //, en prenant la dérivée de cette équation par rapport à (i, opération (jni donne
Si maintenant on élimine // de ees denx ecpiations, on a
o'[n] ¥' b) — 9',^) F'(rt;=o.
Cette équation, étant combinée avec les deux
F x,y,a,b^^o et o x, y,y' ,a,b = <>,
176 LEÇONS SLIl LE CALCUL
(lonnt'ra, par l'élimination de a et A, rtMjualion sin^iilii'ro rrsnltaiil (le ['('(jnalion dérivée relative à a.
\'M regardant de même a comme l'onction de h dans l'équation
Mil ;iura éiialcînent ré(juation dérivée relative à h
ri la valeur de a dépendra alors de ré({uation dérivée r(dativcinenl
de sorte que, par l'élimination de à , on aura pareillement
o'[à) Y[h'] — o''\h) F'(rt) = o.
Ainsi l'équation ])rimitive singulière, déduite de l'équation dérivée Kdative à h, sera encore le résultat de l'élimination de a et h, par le iiioven de ré(iuatioii précédente et des équations
Donc ce résultat sera le même dans les deux cas, puisque les équalions sont les ii>êmes.
Il suit de là qu'on i)eut trouver directement l'équation ]»rimilive sini>'uliér(' d'une équation du second ordre, au moyen de son équation primitive complète, sans connaître en pai'ticulier les deux é(iuatioiis primitives du premier ordre; car, soit
rette équation, où a et h sont les deux constantes ai'bitraires; il n'y auia (ju'à éliminer a, h et //, au moyen des quati'c é(juati()ns
Y\^x,y,a,b] — o, o[x,y,r' , a,b] = o, l''[ti) + b' F'(6) = o, o'(rt) + b' o'[b) = o, eu supposant
On |i(>iil ;i|t|)li(|ii('r le iiiriiic i';iisoiiiic(iH'iil ;iii\ r(Hi;ili(»iis des ordres Mi()(''i'i('iirs, cl rti tirer Avs coiicliisioiis seiiihhihles. Ainsi, si
est supposée réquation primitive enlic .r el )', et les trois eonsl;inles arbitraires d, h, c d'une é(jMation dérivé(! du troisième ordre, les trois e(jualions primitives du second ordre donnei'ont nue même é(ju:ition primitive sini^ulièrc de ce même ordre, (jui m; seia que le résultat de l'élimination de a, h, c et de //, c' , au moyen de ces six équations
V'[a) + b' V[b]-\-c: F'(c) = o, ©'(rt) + b' ^'[b] + c' o'[c) = o, ^'[a]-\- b' "^"b] -\- c' 'Y[c)z=u,
en s opposa ni
et ainsi de suite.
Ainsi l'équation du second ordre
avant, comme on Fa vu ci-dessus, jiour é(piatioii primitive entre. r cl v,
ré(|ualion
— -lay -^ a-x -^ b -= o,
oii (i el A sont les constantes arbitraires, on aura tout de suite re(|uation primitive sini;ulii'rc du premier ordre, en combinant celte e(|ualion avec son équation dérivée ordinaire, el avec les deux dérivées de celles-ci, prises par rapport ;i r/, el en i'ei;ardant /> comme l'onction de or, y, r' et a, de manière (|ue les (|uantités a, h et // disparaissent.
Pour (loniicr plus tle i^énérulilé à cel exemple, en conservant la constante/^dans l'équation dérivée, je donnerai d'abord à l'équation j)ri-
milive la l'or/ne
0,00 3b~6ar X- H- 3«- H ^ — o,
cl j'aurai pour sa dérivée
l^renant maintenant les dérivées de l'une et de l'antre relativcmeni à a, il viendra
ba ~ -^ + ■ — — o, X a:
6y Gy' 3//
h étant supposé Ibnction de a.
En éliminant d'abord //, on a
= o, d'où n = ;•' ;
les deux premières donnent ensuite, en éliminant h,
o 3«- — 6ny'
substituant la valeur de a, il vient
^x ^^ = o, ou y'- — x-^^o,
comme plus baut.
Soit encore l'écjuation du second ordre
y - xf' + - y" - [y - .rf)-i y."-2 = o,
dont ré(juation primitive en x et y est
y X- — bx — a- -- b- = o.
DES FONCTIONS. ITf)
Si l'on riiiiiiiic loiir ;i loiir a ri h de celte é(}ii;ili()ii, an moyen de
son é(|nalion dérivée
y' — ax — h -= o.
on a ces denx-ci
J + ( a-\ x- — ( I — oa ) xf — a- — y-
En prenanl l'équation dérivée de la premii're relativement à a, on trouve
( za\x- -{- 2 xy — 2 rt = o ;
d'oii résulte
.r- -+- ixy' a —
4(n-x^) valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne
l^xr' ■+■ X-]-
De même l'équation dérivée de la seconde, relativement à A, sera
d'où l'on tire
et la substitution de celte valeur donnera
xy' /- [ir' — x^Y
