IX- IOX-(l -\- X

ces deux écjuations reviennent au même, car elles se rédoisenl l'une et l'autre à celle-ci

qui est, par conséquent, l'équation primitive singulière tie la pioposée (lu seeond ordre.

On aura h; même résultat en éliminant immédiatement a, h et //, au moyen de ré(juation primitive

r — - X- — bx — a- — b- = o,

i\v sa première dérivée

y — ax — /;-—()

et de leurs deux dérivées par rapport à a,

— -h la -h{x -\- 2b)b'^^ o, x-\-b'=zo.

Ces deux-ci donnent, en éliminant //,

En combinant celle-ci avec la seconde, on trouve

et, ces valeurs étant substituées dans la première, il vient

comme ci-dessus.

Si de l'équation primitive

on tire la vah^ur de a en fonction de

et (ju'on la désigne pai'

il est clair qu'en substituant cette fonction à la place de a, dans la

l)i:S FONCTIONS. LSI

niêtiK^ (M|iiali(»ii, clic dcvicndia iicccssaircniciil idciilKjiic ; [)ar couse (|iicii( SCS C(|ua(i()iis (Icrivccs, relatives à

jc,r,r', . . .,r'(''-"

(Ml parliciilici", aiiroiil lien aussi.

On aura donc

F'(j)H-F'(«)(l)'(j)-o, F'(/)-^F(rT) (!>'(/ o,

où j'ai coiisorvé, sous le signe F', la lellre (i ;i la place de sa valeur De là on déduii'a

V'ir') - F» '

Donc, puiscjue la (juantilé Via) devient nulle dans le cas de l'équalion priniilive singniici'e, il s'ensuit ([ue, dans ce même cas, les valeurs de

deviendront chacune infinie.

Ce caractère fournit aussi un moyen général de trouver réqnalion primitive singulière; et ce moyen est surtout utile, lorsque ré(|ualioii |)i'iniifive est sous la forme

la(jU(dle parait échapper à la règle générale établie ci-dessus, car on aurait ici

cl, (le là,

d'où l'on ne pourrnit rien conclure relativement à l'cMiuatioii primitive singulière.

Il faut néanmoins observer que, quoiqu'il soit vrai que l'équation primitive singulière rend les fonctions

^'[x], (i>'(r), ci)'(/), ...

infinies, on n'en doit pas conclure que toute équation qui rendra ces quantités infinies sera une équation primitive singulière; il faudra, de plus, que cette équation ne rende pas la fonction

égale à une constante, car on n'aurait alors qu'un cas particulier de l'équation primitive générale.

Par exemple, si

on aura

l'une et l'autre de ces quantités deviennent intinies, en faisant y — x=o, pourvu que /;? < j .

3Iais cette équation

rend la valeur de ^{.x, y) égale à zéro ou à l'infini, suivant que m est positif ou négatif; donc elle ne peut pas être une équation primitive singulière.

Prenons l'équation du premier exemple