VOS

la (|iiaiilit(! K étant une ((tiistaiilc aihiliairc.

dette Ibnclioii ayant iiiainleiiaiit niie valeiii' (létniiiiiire, |»()iir (jiic cette valeur soit nulle eiilre les liiuiles données, il landra que la dillei-encc (les valeurs (jui répondent à ees limites soit nulle.

Désii-nons par 1'^ et i\ les valeurs (h; U qui répondent à la premii-re et il la seconde limite, dans lesquelles a? aura des valeurs données, et représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans ces limites; ou aura cette équation particulière aux limites l', — L„ — o, savoii' :

-MO. -«'.+■• -If, + (ii, -...)r;

-(Po-q; + r;-.

-(Qo-R'o -+-... )j-o

-{iu-...)r"o

à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxiuia el minima du genre ordinaire; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de v r\\ .r pourra admettre.

Si les valeurs de y, y\ y", . . . étaient supposées données aux <leu\ limiles, alors il est visible que les variations v„, y'„, y^, ... et r,, v , }\, ... seraient nulles à la fois; par consé(iuent ré([uation, ayant lieu d'elle-même, ne donnerait aucune condition à rein|)lir.

Si au contraire aucune de ces valeurs n'était donin-e, alors il lau-

(Irait égaler séparément à zéro tous les coefficients de ces mêmes variations, ce qui donnerait autant d'équations relatives à chacune des deux

limites.

.Mais il arrive le plus souvent que les valeurs de v et de ses dérivées aux deux limites ne sont ni toutes données ni toutes ai'bitraires, mais (jn'il V a entre elles des relations données par la nature du problème. Alors il faudra, par le moyen de ces relations, réduire les variations , V, y', y", ... dans les deux limites au plus petit nombre possible, et égaler à zéro les coefficients de celles qui demeureront indéterminées.

[/é(| nation liénérale

(|ii(' nous venons de trouver pour le maximum ou minimum de la fonction primitive de V, est, comme l'on voit, la même que celle que nous avons trouvée dans la Leçon précédente pour l'existence de cette fonction, indépendamment d'aucune relation entre les variables.

On voit maintenant la raison de cette identité des formules par la conformité des opérations analytiques dans les deux cas.

Il est d'ailleurs évident que, lorsque la fonction Y est d'elle-même une dérivée exacte, sa fonction primitive est une fonction déterminée de .T, y, y, y" qui doit alors être rapportée aux deux limites, de

manière que l'équation

ne doit plus donner de relation entre jc et r, et par conséquent doit se vérifier d'elle-même.

C'est par cette considération qu'Euler a trouvé le premier cette même é(] nation, ou plutôt l'équation équivalente

IN h -7-^ —...=:: o

dx dx-

ponr la condition de rinlêgrabilité de la tormule Z c/.r. Condorcet a observé ensuite que, si la formule /Z <^/j;; était intégrable, il fiillait que la variation ^/Zf/.r le fût aussi; et de là il a conclu que les équations

(le coïKlitioii pour riii(ri;r;il)ilil(' (|cv;iicii( rlic lc> liiriiirs (|iic les ('(lu;!lioiis ciiliT les v;iri;il)I('S |)()iir les iii;i\iiii;i cl iiiiiiiiii:). Noire ;iii;ilv>(' iic (loil rien liiisscr ;i (Irsircr sur ccl ohjci.

Nous avons supposé jiis(|ii'iri (juc l:i v;iri;ilioii de .r rtîiil iiiillc: c'i'sl ce qui n toujours lieu l(>rs(|ii(' les liniilcs soiil lixrs; iiiiiis, couimc (l;iii> la plupart dus cas les limites s(uil varialtics, il c>l Ix'n de \oir ce (jiie doit donner la variation de .v.

l'our c(da, il siiflil de coiisiderer (|iie, la l'oiiclion l élaiit censée une louclioii de .x\ si l'on fail croître .r de /.r, raccroissenieiit de l ser;i. co/iiiMc on l'a vil diins les preniii-res Leçons,

i^l'-^'-lfll'

Or r'— V par l'iiypothèse; donc

U" = V', L""'=V', et ainsi de suite.

Donc, pour avoir raecroisseinenl de ( dans ce cas, il ^nlïira d'ujonler

respectivement an\ vai-ialions l', ï , ... les termes .r\, .i-\'

Ainsi, comme \ = L', il faudra ajouter ;i la valeui' de V trouvée d;ins rijypotlièse oîi r ne vaiie pas le teiinc (V.r /.

Aïais, comme la variation de .r inllue aussi sur e(dle de v en lanî {\ue cette quantité est fonction de .r, il faudra, dans ce cas, reliiun In-r de celle-ci ce qui est dû à la variation de .x\ donl nous venons de delerminer l'effet total sur les variations de T.

Kn etfet, on a vu ci-dessus que, vêtant o .r i, lors(juc o .i^ di'vient

o(.r, /;,v devient y-{-iy-\ v-f-.... Or, .r deveiuint en même temps

•r H- i.v, y devient par là

De la intMue manii-re. \'. (jui est aussi fonction de .r, deviendra

j-^ixy-t- -^j" + . .,

kOH LEÇONS SUR LE CALCUL

cl y (levicnilra

Donc l'accroissement total de y sera exprimé par

/ (j^. + j^j' j + L- ^y -f- 2.rj-' + x^x" 1 +

ou l'on voit que y -}-.ry', y -i- a^y' -i- .r'-y", ... sont les variations totales de y, dans le cas où Ton a égard à la variation .r de ;r.

Désignant, pour un moment, ces variations par (y), (y), ..., pour les distinguer des variations Y, y, ... (}ni ont lieu I(H'sque œ est nul, on

aura

r + ^x' =■ (r ) , y + 'i xf -f- x-y" — [y) , ... ;

donc

et, prenant les déiivées par rapport à x,

Ce sont les valeurs qu'il faudra substituer à la'place de y, y', y", ... dans la variation V prise en regardant ^ comme invariable. Donc, si l'on a égard à la variation de x, l'expression de V trouvée ci-dessus deviendra, en mettant simplement y au. lieu de (y),

y{r--r'x) + V{j-yx)' + Çi[y--y'x)'' + V\(y-y'x)'''-r...-^[\x''.

Ainsi les termes de la transformée, qui seront multipliés par les val'iations y et x, sans être des dérivées exactes, seront simplement

(^-P' + Q".ir+...)(j-/x), ■ •

d'oii l'on voit (jue l'équation générale

N-P' + (r-iv" + ... = o,

ti'ouvéc d'après la seule variation de y, satisfait en même temps à la variation de x. Donc cette variation n'influera que sur l'équation aux

I il" il ''S r, — r„ -- (), dans la(|iicll(' il l'a m Ira ajoiilcr à la valeur de l le Iciiiic \'.r, et y cliaiiiici' v en v — v'.r.

(Ml |K'iit pai-vciiir au iiiriiic irsiillal (riiiic maiiirrc iiiitins siniplc, mais plus (lircclc, en coiisidrraiil iiiiiiinlialciiiciil les varialioiis de .ïcl de ses (h'-rivccs.

l'oiir ((da, il l'aiil d'ahonl dùpoiiillcr la Ibnclioii V de la supposilioii de .r' --- i,p()Ui' pouvoir' (ciiir compte des varialioiis de r', .r", ..., ee qui se l'ait en subsliUiaiil, comme ou Ta vu daus les l.ecoiis précé-

dénies, —au lieu de )-', — ,- au lieu de; v", et ainsi de suite, er miilti-

pliant la Ibuctiou \' [)ai' .r' pour ({u'cdle [)uisse être la l'onction dérivée (le U.

Soit, pour ahréi^cr,

il faudra dans Y substituer p, q, r, ... à la place de v', y", r'", . . .;

moyennant (juoi cette (juantité deviendra l'onction dej, />, y et

l'on aura la dérivée

V'= Mx' + Nj' + Vp'-i-()q' 4- Rr'4- . . . ,

(|ui se réduit à

V'=[M + N/; + P^ + Q/+IU + ...)^', et la variation

V = Mx 4- N j + Vj) + O 7 -1- Il /• -r-

Ainsi tout consiste à ti'ouver les valeurs des varialions/y, c/. /•

Or, /; étant = —•) ou aura

X /x' y - px' ir -px)' + p'x ir-px)'

à cause de ^ =q

ilO LEÇONS SUR LE CALCUL

On peut faire ici x'= i, et l'on aura simplement

p' De même, q étant = ^^ on aura

■ ___ P' P^ p'-q-^-' ^ [p-qxY-hq'x ^ ip — qx)' ^ ^ ^

Mais la valeur de /> donne

p-qx=[x-pa;)';

(lone, faisant cette substitution, et supposant x' = i, ce qui est permis ici, il viendra

On trouvera de la même manière

r=: [f — px)'" + SX,

et ainsi de suite.

Par ces substitutions, la variation V deviendra

;M -f- Vq -i- Q r + R5 + ...) ^ -+- Nj+ P (j — /^^)'+ Q (j — P'^)" + I^ (r — P^)'"-^ ■ ■ ■

+ N [y -px) + P(j ^px)'^ Q(r - />^)" + R(.r - P^'i" + • • • • Or on a trouvé ci-dessus

d'ailleurs /; = - ; donc, faisant ces substitutions et supposant ici x'= i , on aura simplement

V = V X + N [y — y'x)+V [y — y' x]' + Qiy — y' x)" + R{y — y' x ]'" +

(Test la valeur complète de la variation de Y, déduite des variations de .V et de y et de leurs dérivées.

Mais on a vu qu'il faut mettre? V.r' à la place de V; donc on aura \x' -h\ji-' à substituer à la place de V dans les formules données plus

liaiil; donc, iiicKiinl ici l:i viilciir de \ (jii'dii vient de trouver, (;l oliservîiMl (jiie

on ;inr;i, en faisant a?' — i, le même l'ésnl tat an(|nel on est parvenu cidessus |)ai' niH' anti'e voie.

An reste, en regardant la quantité \ roninie une fonction de .r, y et

de leurs dérivées j?', .r" y', y" on pourra traiter les vai'ia-

lions de a- eojnuje on a l'ail celles de )'.

Dans ce cas, la fonction V étant représentée |)ar-

j yx , X , X , . . . , 7 , ) ^ y , . . . , on trouverait les termes

xf'[x] + x' f'[x' ] H- x" f'[x") -{- . . .

il ajoutera la variation \ ; et, en désignant ces ternies par la lorniule

nx -r px -\- qx" -\- vx"' -i- . . . ,

on parviendrait, par des opérations relatives ii la variation .r et analogues à celles qu'on a employées pour la variation y, à la Iransloiiiiée

De sorte que la partie de la valeur de \' (jui ne serait pas une dérivée exacte serait

Lorsque y est censée une fonction de .r, et (]iroii peut [uir conséquent faire j:'— i, nous venons de voir (jue la variation simultanée de •r et de 1' donne, pour la pai'tie de \ qui n'est pas une dérivée <'\acte. la formule

Il faut donc alors (juc la formule précédente coïncide avec celle-ci. el ({ue l'on ait par conséquent

n-p -hq

' 1 ^i> ..III

- ?' N - P -hQ' I{"

D'où l'on voit (jiie l'équation

que donnerait la variation Aq x, est toujours équivalente ii l'équation

N — r' + Q"-lV"+... = o

qui provient de la variation de r.

En effet, nous avons déjà trouvé par une autre voie, dans la Leçon précédente, que ces équations ont toujours lieu ii la fois.

Un des avantages du calcul des variations est de pouvoir faire varier indistinctement les indéterminées x ou r et leurs différentielles; et l'identité des équations du maximum ou minimum, déduites de l'une et de l'autre de ces variations, a été un des premiers résultats de ce calcul auquel les anciennes méthodes n'auraient pu conduire. 31ais les démonstrations qu'on en a données dans le second et le quatrième Volume des Mémoires de Turin (') sont moins directes que celle qui se déduit des formules qui représentent cette double variation, et que nous venons d'exposer d'après Euler. Voyez le Tome III de son Calcul intégral.

Considérons maintenant le problème dans toute sa généralité, et d'abord, soit, comme ci-dessus,

on aura

^=f'[fn P=/'(/). Q=/'(r"), K=/(y"). ••••

Soit, (le plus, pour abréger,

(') OEuvres de La^ia/igc, t. I, p. 335, cl L. II, p. Sj.

DKS FONCTIONS. Vi:{

l.;i v;iri;ili(»ii \ , (hiiis le eus où .r ik; vai'ic pus, s('r;i