N- (IV ^- (/M

I;i(|M('ll(' devra avoir lien iiidrliiiiiiiciil |)(tiir Icuitcs les valeurs de .v cl \' comprises eiilre les limilcs données.

(^cllc é(iiialioii est, en d'antres (ermes, e(dlc (|n'l'jiler a Ironvec lr premiei' pour le niaxiniiini on le niinininni de la roininle inlci:rale

fZdr. Knier l'ail ,-= p, V- ~ 7 cl il suppose Z londion de .r,

.V, />, (/ telle (pTon ail par la diUV'rcnlialion

ûfZ =z M dx + N (ly + 1» dp + {) dq -\-

Il l'ail ensuite varier Tordonnée r de la lii^nc inlininienl |)clile // v ; e|,

en rci^ardant la l'orniule Jldx coiiinie l'airi' d'une nouvelle courlic

dont Z serait l'ordonnée, il trouve pour la valeur din'érenti('ll(.' de ••elle

aile, la l'orniule

\ ^^? u 'llR ^

dx ' dx- ' ' ' I '

d on il lire l'écpialioii

dx dx-

(|ui coïncide avec la |)rccédente.

Xotre méthode donne de plus rcijualion délermiiu'u;

( P — i/Q + . . . ) ^j- + O Joj + . . . + K r- O.

hupudle doit avoir lieu dans les deux limites entre lesqut'lles la lormule/Z <7^ doit être un maximum ou un minimum.

Désignons par )'„, 1>„, 0„, ... les valeurs d(> v, \\ Q. ... à la i)remi<'iv limite où .r est par exemple éi^al à (i, et piir,)',, \\, (j leurs valeurs à l'aiilre limite où ,r serait éi^al à h; on aura ainsi les deux é(|iia-

lions

( Po — d()Q + . . . ) ô)-,, -\- 0„ d 0 )■« -f- . . . -1- K = o,

[Pi — dQx +. . .)ô;-, -h O, </o)-, -I-. . .-4- K = 0.

La premii're doiuicr'a la valeui' de la constante K, laquelle étant siihslitiiéc <laiis la seconde, donne

( 1*1 -— f/Qi + . . . ) oKi + Qi doy, -h. . .

— ( Po — dQo — • . • ) àfu — (J„ (i oK„ — . . . = o,

cqualioii (jui reste encore à véritier pour la solution coni[)lète du problènic.

Si les valeurs de >„ et >',, aiusi (|ue C(dles de -!—■, '—-■> •••, sont cen-

sces données, leui's variations seront nulles, et tous les termes del'équalion s'en ii'ont d'eux-niènies; c'est le cas de l'Analyse d'Euler.

Si toutes ces valeurs on seulement quelques-unes sont indéterminées, on s'il y a entre elles des relations données par la nature du problème, alors, apri's avoir efïacé les variations qui doivent être nulles et réduit les autres au plus petit nombre possible, il faudra faii'c disparaître les variations restantes en égalant leurs coefficients à zéro; ce qui donnera autant d'équations auxquelles on satisfera par le moyen des constantes arbitraires que les différentes intégrations introduiront dans l'équation du problème. [Uo//- là-dessus le deuxième et le quatrième Volume des Mémoires de Turin ('), et les dilférents Ouvrages de Calcul intégral où cette tbéorie est exposée.]

(') OEiurcs de Lagnirigc, t. I. p. 'î")"). cl l. II. |). 3;.

DES l'ONCïIONS. :imi

LIXON MK(iT-l)i:i VIKMK.

(doiiliiHMtidii lie la I.iMiiii |H(Tcili-iilc. ) MirniODK DKS VAIIIMIO.NS, DKDI ITF, ItK l,A CONSiDi;!; AilON DKS I ONCTIONS.

La niélliodc des varialions, l'oiidrc sur r('ni|)Ioi cl la coinhiiKiisoîi des ('ai'actéristi(jiies d et f^ qui répondent à des ditl'érentiations dill'érciilcs, ne laissait rien à désirer; mais eelte méthode ayant, eomnie le (lalcnl diderenliel, la supposition des iniiniment petits pour hase, il étail nécessaire de la présenter sous un autre point de vue pour la lici- au (^aleui des fonctions : c'est ce (pie j'ai déjà fait dans la Thcorie des Fonr- //o//^; mais je vais reprendre ici cet (d)jcl,pour le traiter d'une manii'rc pins directe et plus complète.

Lorsqu'une fonction donnée de plusieurs variables et de Icnis dérivées ne satisfait pas aux conditions que nous avons trouvées dans la Leçon précédente, elle ne peut pas avoir une fonction primitive, à moins qu'il n'y ait des relations établies entre ces variahles, de nianii-ic (ju'il n'y reste qu'une seule variable indéterminée; et les questions de maximis et de ininimis dont il s'agit ici consistent à trouver des relations telles que la fonction primitive qui en résultera soit nii niaxiniuni ou un minimum entre (les limites données, c'est-it-dire entre des valeurs données de la variable (\\\\ dennMirera indéterminée.

On voit d'aboi'd (jue cette question (lé])end in'cessairement de ce (|ne la fonction primitive ne puisse avoir lien sans une relation entre les variables; car si elle pouvait être une fonction déterminée des difr(''rentes variables et de leurs dérivées, elle ne serait plus susceptible que des maxima on minima du genre ordinaire, relativenn'ut à cha-

(■une des variables et de leurs dérivées considérées comme des variables particulières.

(Considérons donc une fonction quelconque da .r, y, y', y", .,., que nous désignerons par V et que nous supposerons n'avoir point de fonction primitive dans l^état où elle est; pour qu'elle en ait une, il faudra sui)poser y = o(^); et, pour que la fonction primitive qui en résulte, et (|ue nous dénoterons par U, soit un maximum ou un minimum entre des limites données qui répondent à des valeurs données de .r, il faudra qu'en faisant varier tant soit peu la fonction '^[x), la valeur de la fonction U prise entre ces limites diminue dans le cas du maximum, ( l augmente dans le cas du minimum.

Supposons que l'expression de j soit, en général, une fonction de x «'t i, que nous représenterons par o(.x, i), et qui soit telle qu'elle devienne cp(vf) lorsque / = o.

La fonction U deviendra aussi une fonction de x et i, et, pour qu'elle soit un maximum ou un minimum, il faudra qu'en donnant à / une valeur quelconque très petite, et supposant d'ailleurs la composition de la fonction ç(.r, i) arbitraire par rapport à i, elle ait une valeur moindre dans le cas du maximum, et plus grande dans le cas du minimum que lorsque i = o. Si l'on développe cette fonction suivant les puissances de i, elle deviendra

L ^/ù + -U + Arii + ...,

en indi(juant par des points les fonctions dérivées par rapport à ?', dans lesquelles il faut faire, après la dérivation, « — o, comme on l'a vu dans la Leçon IX.

Ainsi raccroissement de U, à raison de la quantité î, sera exprimé par les termes

et il faudra pour le maximum que la somme de ces termes ait une valeur négative, et pour le minimum que sa valeur soit positive, i étant une quantité quelconijue très petite et indépendante de x.

On ;i pioiivr (hiiis la [.ccoii citrc (lu'oii |iriil (oiijoiii'S (loiiiici- ;i i une valeur assez pelile pour (|ne le |ii'eiiiier lernie i[ snrpasse la soinnH' «le tous les suivants; d'oii il snil (pTalors raceroissenienl de l auia le mémo signe (|ue le lernu' /!'; mais il esl visible que ce terme eliani:c désigne avec la (juanlile i t\u\ n'v est «pTa la premii-re dimension; donc il est impossible (jue l'aeeroissement de V soit eonslammeiil posililoii négatil'en donnani ii / de^ valeurs (|nelcoii(|iirs tirs petile>, à moins <|ue le |)remiei' leiine / l du dév(dop|)emenl de { ne disparaisse, ee (jui • loiiiie d'abord la condition L' = o, (|ui esl, eonime l'on voit, commune aux maxima et aux minium.

Cette condition élanl rem[»lie, raccroisseuH'nl de I' se réduira ii

' ir ' i-

et, par un raisonnement semblable à cfdni (pie nous venons de faire,

on poui'ra prouver aussi (|iu' le premier terme — l' devra èti'e positif

ou négatif pour (|ue la vai'ialiou soit positive ou négative; mais, ce terme étant multiplié par le carré <le /, il est clair ({ue son signe sera indépendant de / et ne dépendra que de celui de la <juantité l', laquelle devra donc être toujours négative dans le cas du maximum, et positive dans le cas du minimum; ce qui contient le caiaclire (jui distingue les maxima des minima.

Telle est la théorie générale des maxima et minima (jue nous avons cru devoir rappeler ici ])our ne rien laisser à désii'er.

Dans les questions ordinaires, la (]uantité l', (|ni doit être un maximum ou un mininiiim, est une l'onction donnée de .r, et les dérivées Ù, i', ... sont prises i)ar rapport à .r; abn-s réijuation (' = 0 devient U' = o, et donne la valeur de .r ; ensuite le signe de l distingiu' le maximum du minimum.

Dans les questions dont il s'agit ici, la l'onction l n'est donnée (jue par sa fonction dérivée V; la fonction o(.r) est l'inciuinue, et les dérivées Û, U, ... sont censées prises par rapport à la (juantité / qu'on siip- X. 5i

pose L'oiiteiuie dans la fonction o{'T, i). Ainsi la difficulté consiste à (liMluirc ces dérivées de la fonction donnée \ .

Or, V étant o(.r), loi'S([ue o:,r) devient o{x, i), y deviendra

en dénotant, comme plus liant, |)ar des points les fonctions dérivées par l'apport à /, dans lesquelles on fait ensuit*' / = (), de sorte que ces l'onctions deviennent de simples fonrtioiis d(; .r, (|ui peuvent même avoir une valeur quelconque, parce ({ue la composition delà fonction o^.r, i) est supposée arbitraire par rapport à /.

Ainsi, en prenant les fonctions dérivées par rapport à a-, il est clair (jue r' deviendra pareillement

et y" deviendra de même

et ainsi de suite.

Faisant ces substitutions à la place des quantités y, y', y", . . . dans la fonction donnée \ et développant ensuite les puissances de i, cette fonction deviendra

et, par la tliéorie des fonctions dérivées exposée dans les premières Leçons, il est facile de conclure ({ue la cjuantité V, qui, étaut multipliée par /, forme le premier terme du développement, sera la fonction dérivée de V, en supposant .r constant et y, y', y", . . . des variables indépendantes, dont les fonctions dérivées soient respectivement r, v',

y", De même V sei'a sa jonction déi'ivée du second ordre, prise r(da-

livenient aux mêmes variables, et en supposant (jue y, y', y", ...

soi(Mit les fonctions secondes de r, y', y" et ainsi de suite.

Nous appellerons en général rarialions du premier ordre, du second, etc., ces dérivées marquées par des points et relatives à la quan-

lilô /, (hiiis lrs(|ii('Ilrs (('Me (|ii;iiililr est siipposrc nulle. Ainsi v s('r;i l;i v;iri;ili()ii du jUM'uiici' ordre de >', v' ser;i l:i derivi'e (H'diiwHre de celle varialioii, v sera la varialiou du secunil ordre de v, cl ainsi de suile. De luènie, \ , \ , ... seroul les varialions du premier ordi'e, du serond ordre, etc., de \ ; el l , l , ... seroul aussi les \ariahons du premier ordre, du second ordre, etc., de l . I-]! poui' l'ormer ces vaiialions, on suivra les mêmes i'('i.;les (|iie pour les l'onelions derisces oïdinaiics. Ainsi, en laisanl

on aura, suivant la nolalion employée d;ins ces Leçons,

V = rf'{r)^r'f'{r']+y"f[/') -• • • •

Il est visible (|ue celle loncliou \ esl la même ( liose (jue ((die (jue nous avons dL'sii;M(''e par V au cominencemenl de la Leçon précédente, en (diangeant sculemenl v en co, parce (\uc nons avons supposé aioi's <|ne l'accroissement de y était représenté sim[)lemenl par/(o.

Mainlenanl, puis(|ue l' esl supposé la foncliou primilixc de N en y faisant y = '^{x), ([indle (jue soil la foncliou o{-x-), elle le sera aussi en faisant y = ç)(^, i). Dans ce cas, nons avons vu (jue \ devieul

el \' devieul

{ hii-h - ï^...,

de sorte que, comme / [leul être nue (pianlilé (jU(d((Ui(|ne, il faudr;i (jiie les variations r, 1, .. . soient l'cspeclivement aussi les jonction-primitives des variations \ , W ... ; ainsi on aui'a

Ù'=V, Ll'=V, ....

La condili(ui du maximum on minimum consiste donc en ce (|ne l;i lonetion primitive de V soil nulle, (pndle (\[\v soil la valeur de v. ()y>\. pour [)lus de sim[)licilé, on représente la valeur de N par la lormule

i04 LEÇONS SUR LE CALCUL

et (ju'on emploie relativement aux dérivées de y les transformations qu'on a enseignées au commencement de la Leçon précédente, relativement aux dérivées deoj dans l'expression de V, et dont l'objet est de réduire à des fonctions dérivées exactes tous les ternies qui contiennent des dérivées de y, on aura cette transformée

V = ( N - P' + Q" - IV" + . . . ) j

+ (iVr'7-...

où l'on voit que tous les termes, à l'exception de ceux qui forment la première ligne, sont des fonctions dérivées exactes, de sorte que leurs fonctions primitives sont connues et déterminées, quelle que soit la <|uantité y; au contraire, les termes de la première ligne étant tous multipliés par y ne peuvent avoir de fonction primitive, à moins qu'on ne donne à la variation y des valeurs particulières. Donc, comme cette variation doit demeurer indéterminée, il sera impossible que la fonction primitive de V devienne nulle, à moins que la première ligne de l'expression de Y ne disparaisse, ce qui donnera l'équation indépendante de V,

C'est l'équation qui contient la relation nécessaire entre les variables ûo et y pour l'existence du maximum ou minimum, et que nous appellerons cquatioii générale du maximum ou minimum. En Géométrie, c'est Féquation de la courbe qui jouit do la propriété de maximum ou minimum. 11 est facile de voir que cette équation sera en général de l'ordre 2/i, si la fonction proposée V est de l'ordre n, c'est-à-dire si elle contient la dérivée y'; de sorte que son équation primitive en x et y contiendra 2/1 constantes arbitraires.

La première ligne de la valeur de V ayant disparu, on aura, en pre-

ii;mt la loiiclioii piimilivc de \ ,

ij = (p- o'-f-ir'-...]/