YL>+(Z
+ [(V)r]' + lAV)/]'H-...
+ [fZ).j'-t-[(Z)ô'T + ----
Done, puisqu'on peut maintenant rei^ai'der les variations r et :: eoninie indépendantes, on aura d'abord, par les prineipes poses ci-dessus, les deux équations générales du njaxinuun ou niininiuin
Yh-(Y)=o, Z-f-iZj = o,
entre lesquelles il faudrait éliniiiier l'indéterminée 7., et ré(|nation l'ésnltante, eomhinée avec l'équation de condition, donnera les valeurs de )' et ; en .r.
Knsuite la variation 1' deviendra
ij = [Y-4-(Yi]j-i [V + (Y)]r' + ...
H-[Z-+-{Z)Jz-+-[Z-+-(Z)]2'-4-...,
valeur qu'on suljstitucra dans l'équation aux limites
Ù| — lo = o.
Si l'on veut avoir égard vu luvnw temps à la variation do .r, on ajouteia à Ù le terme Yor, et l'on rliangera les ({iianlités >% ^ et leurs dérivées en Y — yx, z — z'x, et dans les dérivées de eelles-ci.
Il faudrait, à la rigueur, dans ee cas, ajoutei* ;i la valeur de V le terme >. [r F(.r, v, ...il', d'api es les formules trouvées plus haut pour la valeur complète de la variation de x' Y[x, y, ...). Ce terme se transforme en \^.xY(x,y, ...)]' — V^ F(a-,v, ...); mais il disparait ici en vertu de l'équation F(.r,r, . . .) = o. Il faudrait néanmoins le conserver si l'équation de condition n'était donnée que par l'équation variée F(.r, r, . . .) = o.
Dans l'équation aux limites, on pourra regarder aussi les variations .1-, Y viz, ainsi que leurs dérivées, comme indépendantes, à moins que la nature du problème ne donne aussi des conditions particulières aux limites.
Supposons, par exemple, que l'on ait une ou plusieurs équations de condition entre les quantités x, y, y', y", . . ., z, z', z" , . . ., rapportées aux deux limites, c'est-à-dire entre les quantités .ry, >'«, Vy,
y] ^0, ^0' -0' •••' ^'m 7.'.:>vjv •••' -i' -'.'-i' •••' ^'t q"^
le maximum ou minimum ne doive avoir lieu que parmi les fonctions qui, prises entre les limites données, satisfont à ces conditions; il faudra que les mêmes équations subsistent dans l'état varié, c'esta-dire en y mettant x -+- ix, y -h ? y -h — y 4- ... , z ^ iz -{- — :; -t- . . . à la place de x, y, -; par conséquent on aura aussi les variations de ces équations, comme nous l'avons déjà vu plus haut. Désignons par
une de ces équations de condition; elle donnera l'équation variée
xo 0)' ( xo ; + ro <!'' 'J\^ ) + zo ^I^' ( ::o ) + .r'o '^' (j-'o ) + • •
DES FONCTIONS. VIO
On iiilllliplicr;! celle éqiKilioll et les iilllfes seliiMiibles |i;ir des coel-
lieieiils iiideleniiiiiés 7, 'y e| on les lijonlei';! ;i re(|n;ili()n <le> limites
données ei-dessns, npil's (pioi on |)onti;i li;iiler lonles les v;iii;ilions
^0, ^1, y\n j'o, .r'ô' • • •' Ji' T'i' /• ^" ^'' ^" • • •
conune independiinles, el éi^:iler ;i zéro (dnicnn de leiiis coeriieienls. ce (jlii donnera anlanl d'é(|nalioiis paiiicnlii-res an\ liniile> (|m il y ;ini:i (le ces vai'ialions. On salisfera ensnile ii ces é(|iialion> |iar le moyen des coel'licienls arhiliaires -/, [i, ... et des constanles ailtiliaiics (jni enlrei'onl dans les expressions de v, r en r,
A l'égard d(!s variations z,,, z\ r-,, c, il es! lion de reniar-
(jner (jne, la lonclion r étant donnée par une é(|iiati<Hi deri\ee, si cette
é(|uation esL de l'ordre // par rapport ;i -, les valenrs de -, r , -"
-C'-i)^ correspondantes à une valenr d(tnnée de r, sei'ont arbitraires el devront être déterminées par les conditions dn pr(d»li'nie. Ainsi, en rapportant ces valeurs à la premii'rc limite, il faudra rei^arder les (jnaii-
tités z^,, ;„, . . ., z'^ ' comme des ronctions données de .r„, i'„, v :
donc les variations c„, z\ seront aussi données en lonctioiis de
.Vo, y\, .v„, multipliées par les variations .r„, .v,,, .v| \l'>i> l<'s
variations ^,, :?,, :;',, ..., qui se rapportent ;i la seconde limite, seront al)S(diiment indéterminées, et il fandi-a les l'aire évanouir en égalant leurs coefficients à zéro.
On pourrait demander (pie la fonction r donnée par reipialioii de condition fût elle-même un maximum ou un minimum. Il n'y aurai! alors qu'îi supposer U = z, et par consé<|uenl \ = z' . •On aurait donc dans ce cas
ny] = o, f'[y)=o, ..., ./\r, --<., f\z'] = i, f\z": = o, ....
Diuic
