I . 11. III

on aura l'équation aux limites (U, )-- (Ù») = o, à laquelle un devra satisfaire, indépendamment des variations y, v', . . ., z, z',

/^2i> LEÇONS SU 11 LE CALCUL

Kt, pour tenir conipto de la v;u'iali(»n do ,r, il n'y aura qu'à changer y, z, I eu V — y .i\ z — z'.t, t — /'.r, et ajouter à la valeur de (U) le terme \ .r.

Comme la nature du prohlème peut fouruii' aussi des équations de condition entre les variables .r, r, ::, /, ..., rapportées à ces limites, désignons par A = o, B = o, ... ces équations de condition, de mani(Te que A, B, ... soient des fonctions données de ir„, ^r,, .Vo' Ji» yo'

On Ibrniera les écjuations variées A = o, B = o, ..., duesaux varialions de chacune des (juantités .r„, ,r,, r„, r,, r,,, r,, .- ., ou ajoutera ces équations multipliées par les coefficients indéterminés a, [i, . . . à l'équation aux limites.

Ou aura ainsi l'équation

(Ù,) — (Ùo) + aÀ + |3B-l-... = o,

dans laquelle on égalera séparément à zéro le coefficient de chacune des vai'iations dont il s'agit.

(]es foi'mules servent à répondre à toutes les questions où l'on cherche des maxima ou minima absolus. Voyons aussi comment on y peut rappeler les questions où l'on ne demande que des maxima ou ininima relatifs, c'est-à-dire dans lesquelles la fonction primitive d'une fonction donnée ne doit être un maximum ou un minimum entre des limites assignées, qu'autant que les fonctions primitives d'autres fonctions données auront des valeurs données entre les mêmes limites.

Soit u la fonction donnée dont la fonction primitive doit avoir une valeur déterminée entre les limites assignées. Supposons que .s- soit cette fonction primitive, en sorte que l'on ait l'équation s' — u=. o. La condition dont il s'agit consiste en ce que la quantité s^ — .v^ doit avoir une valeur donnée; par conséquent, sa variation devra être nulle, ce (]ui donne l'équation aux limites s^ —s^ = o.

Pour introduire cette condition dans la solution générale du problème de maximis el minimis, je regarde l'équation s' — ?/ = o comme une équation de condition, et je la traite comme les équations de cou-

• litioii Fi = o, M = (), le iiiiilli|>lic |);ir un cocniciciil variable cl

iiKlcIcniiim'' t la varialioii v' //, cl j'ajoiilc ii la Inriiiiilc i^ciicralc

V 4- A I> -h ... ; j'ai

V 4- 7 s' — u] -{- IL + ;Al -h . . . .

\a' Icrmc '7.v' se (l'aiisfoniie en ccnx-ci : '':.vi' — t'.v; cl, ('(ininic ces termes sont les seuls (|ni conlienneiil la variaMe .v, la vaiialKtn v donnera (l'ahonl re(|nati()n 't' 1 (), d'oii l'on lire n=(i, ^/ etaiil une conslanle arbitraire.

Ensuite l'auli'c |)arli(! (r7.yy', qui esl une déiivée exacle, (bniiiera dans rexpression de (U)lo terme <:s, el dans re(|ualiou aux limites le^ termes r/i 5', — s^^), à cause de G = a. .Mais on a, par les conditions (\[\ maximum ou minimum l'cdatif, .v, — .v„ = o. Dmie la valeur de l ne recevra aucun changement.

11 n'y aura donc que la variati(Ui — (/// (jui devra être ajoutée ii la formule générale, ce (jui revient ii substituer l\ la [)laee de la l'onction \ la lonclion V — (fn, et ;i cliei'cdu'r les conditions du maximum ou minimum absolu de la l'om'tion [uimitive de \ — (ta, a étant une constante (juelcon(jue arl)itraire.

On tr(»uv<'rail de la même manii're (jue si la l'onction primitive de \ ne devait être qu'un maximum ou minimum relatif, en supposant (juc les fonctions primitives de u et de c aient des valeurs déterminées, la question se réduirait au maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de Y ~ an — /h-, a et h étant des constantes arbitraires.

Ce résultat s'accorde, comme l'on voit, avec celui (|u'l']uler avait trouvé j)ar la considération des variaticms des ortbmnées successives dans les courbes.

Telles sont les l"(»rniu!es iiénérales p(mr la soluti(Ui des probli'UU's (/c maximis (i naiiinas i^\\\\ dépendent de la metliode des \aiiations, et l'on voit (jue ces l'ormnlc's s'étendent ii tous les cas; mais dans cluujue cas j)ai'liculier, au lieu d'y ap|)li(|uer ces t'cu'mules, il sei'a (|U(d((uel"(»is piel'erable d'ojjercr diiectement sur les fonctions pro[)osées, en suivant la marche (|ue nous venons de tracer.

Ouaiil à la nianièro de distinguer les niaxima des minima, et même de s'assujer de leur existence, nous avons vu qu'elle dépend des variations du second ordre; mais nous n'entrerons pas dans un détail qui nous mènerait trop loin; on peut voir d'ailleurs ce que nous avons dit là-dessus dans la Théorie des fonctions ('). Nous remarquerons seulement qu'en prenant la variation du second ordre de la l'onction \ , il sera inutile d'avoir égard aux variations du second ordre de la variable r, parce que, les termes affectés de y, y', . . . daus l'expression de V étant les mêmes que ceux affectés de j, y' dans V, ces termes doivent disparaître par les conditions du maximum ou minimum, (juelle que soit la valeur de 7 ou de j. Ainsi on aura, pour la vai'iation du second ordre, les mêmes formules que dans l'endroit cité, en changeant seulement aussi r en co, et par conséquent les mêmes résultats.

Pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, nous dirons encore un mot des maxima et minima qui dépendent des fonctions de [)lusieurs variables. La première question de ce genre a été résolue par la méthode des variations, dans le second Volume des Mémoires de Turin (-). Il s'agissait de trouver, parmi toutes les surfaces courbes qui sont terminées par le même périmètre, celle qui est la plus petite possible; problème qui est, par rapport aux surfaces, ce que les problèines dont on vient de traiter sont par rapport aux lignes.

En nommant z l'ordonnée perpendiculaire aux deux abscisses x et r, et qui est censée fonction de ces deux-ci, et désignant par des traits séparés par une virgule fonctions dérivées de z, prises par rapport à x et.r, comme on l'a fait dans la Leçon XIX, la grandeur ou la quadrature (le la surface est exprimée parla double fonction primitive de la lormule

prise d'abord par rapport à une seule des variables x, y, et ensuite par rapport à l'autre, en substituant pour la première sa valeui- donnée par l'équation du contour de la surface. Ainsi le problème con-

( ') OEiwres de Lng/vini^r, t. IX.

(-) OE livres de La grange, t. I, p. 335.

sislc ;» Iroiivcr la l'oiiclioii :: de r cl y, (|iii icmlra cclhi (IouIjIc IoikIioii pi'iiiiilivc iiii iiiaxiiiiiiiii nii un iiiiiiiiiiiiiii.

Pour le rendre plus liéncral, n(»iis supposerons (pi'on demande de rendre un niaxininni on un niinininni la doulde lonelion primitive d'une roiiclion donnée de j;-, >', z, z'\ z'', z"-, z'-', c", ....

Desii^iions eetle fonelion pai' V, de manii'i'e (jne l'on ail

et soit U ladouble fonction primitive de \ , (jiii doit devenir un maximum on un minimum, il faudra, par les prineipcs établis ei-dessus, (juc sa variation V soit nulle. Or, l.''= ^'; donc, prenant les variations, L"'— \. Si l'on dénote de même par des traits placés au has les jonctions piimitives, ainsi qu'on l'a indicjué dans la Le(;on Xlil, on pouria passer de l'équation précédente à celle-ci qui est inverse, U = V, ,, par huiuelle on voit que le problème consiste à rendre nulle la double lonelion primitive de la variation \.

Or ou a, en prenant les variations de r et de ses dérivées,

\ = zf[z)-^z''f\z'']-i-z''f[z'')+z'''f[-''')-i-z''\f^z'-')+z-''f'[z-'')+...,

formule que nous représenterons, pour plus de simplicité, pai-

Y = Lz -h M z''-h^ z^' -\- V z"- ^ Qz'-' + l{z"-i-. . ..

On fera dans cette formule les transformations emplovées pins liaiil, pai- les(iuelles les dérivées de la variation r ne se trouvent (|in' dans des termes qui sont des dérivées exactes.

Ainsi le terme M:;" se changera en (M^)''— iM''G, le terme N:; ' se changera en(N^)''— N'':?, et ainsi des autres, en conservant la position des virgules qui séj)arent les traits relatifs aux variables .r et v.

De cette manière on aura la transformée

-f-(M.^ hVz■•-V'•z-^Qz■'-^-...y•

-4-(iSz-+-n=" - ii-'c ~-Q"z-¥- ..;•'.

i^G LEÇONS SUR LE CALCUL

On voit d'ahoi'd ici (m'il est impossible que la double t'oiu'tion primitive de V devienne nulle, quelle (jne soit la variation z, à moins (jue les termes affectés simplement de :: ne disparaissent; ce (|ui donne d'abord l'équation générale du maximum ou mininunn

La premii're ligne de l'expression de V étant effacée, si l'on prend maintenant les doubles fonctions primitives de part et d'autre, on aura

\]={Mz-i-Vz''-V''z + 02'')" + [^ z + l\z'' - K''z - (Y- zy .

Comme il n'y a plus ici que des fonctions primitives simples, cbacune d'elles se rapporte uniqiiement à une des variables x, y, en regardant l'autre de ces variables comme déterminée par l'équation qui donne la courbe des limites entre lesquelles le maximum ou minimum doit avoir lieu.

Le cas le plus simple est lorsque le contour de la surface représentée l)ar l'équation en x, y, z- est supposé tout à ùûl donné et invariable. Alors les variations de z et de ses dérivées sont nulles relativement à la courbe de ce contour, et par conséquent aussi dans toute l'étendue des fonctions primitives simples de la variation Û, et la condition de U ^ o se trouve remplie d'elle-même.

L'équation du maximum ou minimum sera donc, en substituant les valeurs de L, M, . . . ,

(ju'on voit être du genre de celles que nous avons considérées dans les Leçons XIX et XX, et dont les équations primitives contiennent des fonctions arbiti'aires.

Les cas plus compliqués se résoudront par des considérations analogues à celles que nous avons faites sur les problèmes oîi l'on ne cbercbe que des fonctions d'une variable.

Pour donner maintenant quelques applications des méthodes et des

lorjiuilcs (|ii(' lions venons d'exposer, nous pi-eiidiMnis (TMltoid le prol)lt'nie le |)liis simple de ce i;enre, (|ni consiste à Ironver l:i lii;ne l;i pins courte (Milre des termes donnés. \']\\ supposniil (|iie la lii;iie ( liereliee snif tonte dans un même plan, el pi'eiiant n-, y pour ses eoordoniiées, la loiliiiieiii' de la ligue; sera expi'imée eu t^énéral par la roiicliiui primitive de l'expression \/i-t-y"' (jui, élaiit représentée par \ on /(•^■♦J'7')' «lonnera

Ainsi ré([uation i^éuérale du niaximiim on niinimnni sei-a

r.nsuite on aura

et 1 é(|nation aux limites sera

Ûi — Uo = o.

f.'é(|uation générale donne tout de suite

d'où l'on tire

= consl. ;

y' ziiz. /;, el (le là y = bx -\- c.

h et r étant deux eoustanles ai'hitraires; ce (|ui est ré(|ualii»n liéiiérale de la Iii2ue droite,

si les deux extrémités de la ligin; étaient données, (m aurait v,, = n et >',<); |)ai' eousécjuent l'équation aux limites aurait lien sans anenne ciniditioii.

I']n général, ré(|uation aux limites se réduira à

ou (l =

: de sorte (jue, si la liuiie elierehée devait être lenninee

(les deux côtés on d'un seul par des lignes perpendiculaires à l'axe des ^, les variations )'o. ,>'« sci'aient toutes les deux, ou une seulement, arbitraires : dans l'un et l'autre cas, ré(|uation aux limites donnerait r/= <), et par consé(juent h = (); ee qui réduit la ligne la j)lus courte à une droite parallèle à l'axe.

Si la ligne la plus courte devait être terminée de part et d'autre par deux lignes données droites ou courbes, il faudrait alors tenir compte ^ans l'équation aux: limites des variations de .r et y à la fois. Il faudra donc mettre dans l'expression de U, y — y x à la place de r, et y ajouter le terme V.r. On aura ainsi

et, réduisant,

L'équation aux limites étant Ù, — Û„-= o, si l'on suppose que les deux limites soient indépendantes l'une de l'autre, on aura séparément U„ = o et U| = o; et par consé([uent

Soit maintenant

!Î>(jr,j) = o

ré(|nalion de la ligne qui forme la première limite; elle donnera l'é- ([ualion variée

mais elle donne aussi l'équation dérivée

^'[x] ^- r'fl>'(7) = o; de sorte que la combinaison de ces deux équations produira celle-ci

Il faut remarquer, à l'égard de cette équation, que les vai'ialions j:-, v

DES FONCTIONS. 'r2!)

son! cciisccs les iiiriiics (jiic celles (|iie nous ;iV(ms (lésiiiiiées ci-dessii^ |);ir .r„, v„, parce (]iie ce son! les v;iri;ili()iis des coordonnées j:*, v ;i hi prcniii'i'c linii(e; ni;iis l:i dérivée v' n'es! p;is l:i niénie (jue l;i dérivée v^,, (|Moi(|M'(dies se rapportent toutes les deux an même point; car eidle-ci se rapporte à la lii»ne la plusconi'le, et exprime la laiiiiciile de l'ani^le (jue la tangente ii cette lii^ne fait avec l'axe; an lien (jue l'antre se lappni'te à la ligne qui sert de limite, et exprime de même la tangente de l'angle (lue la tangente à cette lii;ne l'ait avec le menu- axe. Nous désignerons cette dérivée par (y'), et, ap[)li(piant le ( liillVe d an lias de chaque Icllre [)oni* la rap[»orler ;i la jiremii're limile, ré(jnalioii précédente deviendi'a

ro— (r')o-^o=o-

Telle est récjnalion de condition (pii doit avoir lien enire les varialions y^ ct.r,,; ainsi, substituant dans l'équation

Xo}'o 4- ^u = "

(l(^ la première limite la valeur de y„ tirée de récjuation précédente, on aura

[.ro(>'')o + ']-^ = '^'

cl par conséquent

Or, y'„ ct(y)o étant les tangentes de deux angles, on sait (|ne la tangente de la différence de ces angles est exprimée par la lormnle ^JLlliO?-- donc, |)uisque ici le denominatenr devient nul, cl parcon-

'+.ro(r'o ^

sé(iiicntla tangenle infinie, il s'ensuit que la diirérence des deux angles dont il s'a"it sera égale ii un angle droit.

D'où il est aisé de conclure que les deux lignes, celle (|ni doit être la plus courte et celle qui forme sa première limile, doivent se couper à anales droits.

El, comme l'eipiation ;i la seconde limile est tout à fait semidalde ii Teipialion pour la première, on trouvera nécessairemeni le même résultat relativement iila seconde limite; c'esl-;i-dire (|ne la ligne la plus

coiirlL' devra au>si couper à aiii^k's di'oits la lii^nc (lui lorincia la scfoiidc limite.

On salislcra ii ces conditions par le moyen des iMUialions

r'o (/ )o + ' = o et x\ [y ) , + 1 =r ()

cl dc> coiislantcs arbitraires A, r, ce (jui n'a aucune difficulté.

Supposons maintenant, pour donner plus de généralité au pr(d)Ii'me, (|u'on demande la lii^ne la plus courte, sans la condition (|u'(dle doive être toute dans le même plan; en prenant or, y, z poui' les trois coordonnées, dont deux r et s vSont censées fonction de la troisième .r, on aura la fonction \ i -\-y"--^ z''\ dont la primitive exprimera la longueur de la ligne (dierchée et devi'a par conséquent être un minimum.

Faisant donc

on aura

foiinule qui, par les principes établis, se ti'ansforme en celle-ci

v = -(-Ï.Vr-(^)^+(-^r) +lr-

d'où l'on tire, pour l'équation générale du minimum,

et ensuite, pour l'écpiation aux limites.

L — -^ et U, — Uo = (>.

Supposons d'aboi'd que la ligne la plus courte ne soit assujettie à aucune condition dans toute son étendue; il faudra alors (jueles variations/ et :; demeurent indéterminées, ce qui donnera les deux éijualions

d'iMi l'on lire

- = rt. v='''

(( cl A rl;iiil (les constiiiitos ;n'l»ili;iii'i's; cl comiiii' \ — \ ' -♦- Y' -^ '■ ' ^ il s'ensuit (|iie )'' cl z' ;iiir'<ni[ (l(!s valeurs c(>ii>-l:inlcs (jui, clanl (Icsiiiuecs pai' (' et (l, (loMiiei'oiil loul de suite

y =■ ex -^ /«, z = dx -i~ Il ,

m cl // claiil aussi des eouslaulcs arhilraii'cs.

^'y<. (Icu\ c(|uali(>us loul voir (|uc la lii^ue clierehé(! est une droilc (joui la |)ositioii est ai'hitraire.

Il l'aul maintenant considérer rc(|ualioii au\ liuiilcs, la(|ucllc, ^i l'on suppose les deux liuiilcs iiidcpciulaulcs l'une de l'aulrc, >c p;irtai;(' loul de suite en ces deux-ci

l'o =o, Ù| = o, savoir,

r'(. 1'» -^ -0 -<> = "' r\ .ri + -', ^ « = <>,

c(juali(uis (|ui auront lieu d'idies-mènies, si les deux i'Xlrcinitc> de la lii;nc sont supposées données de position, parce ([u'alors les varialiiuis des ordonnées V et :^ seront nulles dans ces deux points.

JMais, si la ligne la plus courte doit être comprise eiiti'c Av\\\ lii^nes données, alors il faudra, comme nous l'avons fait plus haut , tciiiic()ni[)te des variations des coordonnées »r, >', z à l'une et i» l'autre Av ses extrémités.

Pour cela, il faudra d'ahord ajouter ;i la valeur de \ le ternie \.r. cl V changer en nicine temps y et :; en y —y' x, z — z' jc. On aura ainsi, à cause de V^ = i 4-/'" + :;'-, apri'S les réductions,

et les deux écjualions aux limites l]„ = o, U, = o dcvicudionl

•^1 -^ y\ï'^ -I- 2', Si ^ O-

Supposons que la première limite soit une coui'l)e dont les deux équations soient

la première de ces équations donnera, comme nous l'avons vu plus haut, l'équation variée

et la seconde donnera de même

Z ]nXn = O.

Tirant de ces deux équations les valeurs de jo et z-^, et les substituant dans la première des deux équations ci-dessus, on aura

[i + j'o (r')o + So (2')o]^o = o,

et, comme la variation Xq doit demeurer indéterminée, il eu résultera cette équation de condition pour la première limite

à laquelle on satisfera par le moyen d'une des constantes arbitraires r, d, l'autre devant être indéterminée par l'équation de condition de la seconde limite, laquelle sera de même

Mais, si l'on veut savoir ce que ces équations représentent, il n'y a qu'à se rappeler que, dans la théorie du contact des courbes, on démontre qu'en regardant les dérivées de r'o et ^„ comme constantes, les deux équations

où [j. et y sont aussi des constantes par rapport à x et y, représentent la ligne droite qui touche la courbe de la première limite; et que de la même manière les deux équations

représentent la ligne droite qui touche au même point la ligne la plus courte, - et p étant aussi des constantes par rapport à x et y.

I)i:S FONCTIONS. \X\

Or, dans l'application de rAiialvsc ;i la (Iroiiirlric, on driiiond'c (|ii(' les deux droites rcprésciilrcs parées é(|iialioiis, si elles se eoiipeiil, loiil entre (dies un ani^ie dont le cosinus est

[v(n'('z les lenillcs de /M//^//v.sy' de M()ng(^). l)on<' puisipie, dans le cas présent, le nnineraleiir de cette expression devient nnl, il s'ensnil (pie i'ani>le des deux droites seia droit; par conséquent, il faudia que la ligne la plus courte eoup<' ;i angles droits la courl)e qui l'orme la jtreuiii're limite.

On parviendra de la même manière à une conclu>ion senil)laMc pour l'autre limite. D'où il résulte <}ue la ligne la pins courte (pi'on puisse mener entre deux courbes (juelconques est toujours la droite (pii coupera ces courbes à angle droit. Ce tliéorènu' est connu depuis longtemps et se démontre de ditrérentes manières; mais aucune n'est aussi directe que celle que fournit l'analyse précédente.

Mais, si, au lieu d'une simple ligne, il y avait une surface |)oui' servir de limite à la ligue la plus courte, désignant par

la surface de la première limite, (die donnerait cette é(piation variée

^•o <î>'(.r) + jo <t> {)■) + ;.. <!)■(;) ^o,

(pi'il faudrait combiner avec l'équation de la premii're limite trouvée

ci-dessus,

•*'" +.ro )•(» + ^i, Zo = o.

Substituant dans re(juatiou précédente la valeur de .t„ tirée de c( lle-ci, on aura

l'^'ir) -r'o <i>'(^)]ro + [*i>(--, - z, (i)»].-„= o,

d'où, ;i cause (jue les variations ^ „, ^^ doivent demeurer indéterminées, ou lire ces deux-ci :

^'(r) —ri. <i*'[-^; = o, a>' 2 - s; <i''(^; --= «>,

;>ii\(|tii'll<'s il r;iii(lr;i salislîiiir [);ii' deux des couslaiik's arbitraires de lu lii^iic la j)his coiirtc.

On trouvera deux é(juatioiis seinhiahles poui' la seconde limite, si (die est aussi fiu'uiée par une surface donnée.

Pour voir maintenant ee (jue siiinifient ees é([uatioiis, on rcmai'(|ueia (|iie re(|ualion de la surface

donne la dérivée

dont la primitive, en regardant les coefticients de j:-', y', z' comme constants, savoir

X <I)'(jr) -i- y ^y[y) + z (1)'{^1 + a = o,

représente le plan langent à eette surface, comme on le sait par la théorie des courbes, a étant une constante arbitraire par rapport ii ■i-, V, r.

Substituons dans cette équation les valeurs de <î>'(v) ^'^ *1'(^) ti''t'<'s des deux é(juations trouvées ci-dessus; elle deviendra, en la divisant |»ar <]'' .X (|ui est regardée ici comme constante,

TC -i— 1 ■ 1' — i— ~ Z — t— O

D'un autre côté, on sait que cette équation représente aussi nn plan pei'pendiculaire à la droite dont les é(|uations seraient

y = y\^ X -I- a, - = ^^ jr + v

[voyez les feuilles citées), les quantités y\^ et z\^ étant regardées ici comme constantes, ainsi que a et v. Donc, puisque ces équations sont celles de la tangente à l'extrémité de la ligne la plus courte, que nous regardons en général comme une courbe quelconque, il s'ensuit que les deux équations données plus haut expriment que la ligne la plus courte doit rencontrer la surface donnée à angles droits.

Kt, comme la même conclusion aurait lieu aussi pour l'autre limite, si elle était formée par une-surface, il en résulte cpie la ligne la plus

I)i:S FONCTIONS. 435

courte ciilrc deux surfaces doiiiiées sera encore la droite niii reucoiilrc CCS surfaces à aiij^les droits.

.Ius([u'ici nous n'avons (dicrcdic (juc la li^nc la pins courte parmi luuU's les li;;iies possibles qu'on peut lueuer entre des points, ou Ai'>' iiii'ues, (Ml (les surfaces doiiuccs; prohlcuic (juc la simple GeouuHrie peut résoudre, parce (lu'oii sait (juc dans un plan la lii^iie la plus courte est la liiiiie droite. .Mais, si l'on demande eu i;éuéral la iii:ue la plu-- (■(Mirle sur nue surface ([Uidc^JuipH- donnée, le prohlt'Uic depeiul alors essentiellement de la méthode des variations, et les lormnle> tr(Mivées ci-dessus s'y appli(|ueut avec la même facilité.

Soit

l'écpiation de la sui'face douuée; (die donnera ré(|ualiou variée

laquelle étant combinée avec l'équation i;éuérale du maximum ou minimum trouvée j)lus haut.

|)roiluit celle-ci

pmir l'équation de la lii^iie la plus courte sur la surface donnée. h]nsuile on aura l'éipialion aux limites

Il — l (."<>»

dans laquelle on a en général

et, si l'on veut avoir égard aussi ;i la variation de r, on aura

comme ou Ta trouvé plus haut.

Il fçiudrait ici substituer pour g sa valeur tirée de l'équation variée

.Mais, en faisant abstraction de la surface, l'expression précédente de L conduit directement aux mêmes conclusioas qu'on a trouvées plus haut rclalivenient aux limites, c'est-à-dii*e que la ligne la plus courte tracée sur la surface donnée devra aussi couper à angles droits les courbes (|tii lui serviront de limites.

A l'égard de la nature de la ligne la plus courte sur une surface, elle jouit d'une propriété particulière et caractéristique, par laquelle on |)('ut la déterminer indépendamment de la considération du minimum ; c'est que ses rayons osculateurs sont tous perpendiculaires à la surface. En effet, il est clair que cette ligne doit être celle suivant laquelle se dirigera un fil tendu sur la surface donnée, et il est facile de concevoir, en même temps, que le fil tendu ne peut être en équilibre qu'autant que la pression résultante de la tension, et dont la direction est suivant le rayon osculateur, sera perpendiculaire à la surftice. Pour voir comment la propriété dont il s'agit résulte de l'équation trouvée pour la ligne la plus courte, nous remarquerons d'abord que l'équation du plan tangent à la surface représentée par l'équation

F[x,r, z) = o est, comme on l'a vu plus haut,

xY'[x] -\-x¥'[r]-h zl''[z) +a = o,

les fonctions F'(j?), F'(y), ¥'{^-) étant regardées comme constantes, ainsi que la quantité a.

Nous remarquerons ensuite que, si l'on représente par