I -f-/ coscp

on aura

coscp =j,(^-.);

en sorte (jue, si /•> (2 -h [jl)A, coscp sera négatif et ne changera point de signe, mais sin<p sera positif en deçà de l'aphélie et deviendra négatif au delà. Or

(D j-n; cos'^ysiiry sJ^Ti ('^ \'^sin-(p^

mais la quantité

I / 9, /Al*

diminue à mesure que r augmente, et vice versa, du moins tant que r> f^a -h 2jh, puisque sa diirérentielle est

donc, si rest impair, la quantité

2/t\ :* sin'cp

ira en diminuant jus(ju'à l'aphélie où elle sera nulle, et continuera à diminuer au delà de l'aphélie où elle sera négative; mais, si v est pair, la même (|uantité, après avoir diminué jusqu'à l'aphélie, augmentera de nouveau au delà de l'aphélie, en demeurant toujours positive.

Donc, si l'on suppose que la partie supérieure de l'orbite commence

au point où 9 = '/, r = r', et finisse au point semhlablement situé au delà de l'apliélie où 9 = Sôo*' — 9' et r = r' , on aura, pourvu que

r' > (2 -)- iJ.)h,

si V est impair, et

(t>) = sJoc'/i

[cos^^cp'sin'cp' CCS'* i8o°sin* i8o°"l

rtll

si V est pair, étant la valeur de r dans l'aphélie.

A l'égard de la condition de r'> (2 -h rj.)/?, comme nous avons vu (n" 51) que p. ne peut être > 5 pour les premiers termes de H' et z?', auxquels il suffira le plus souvent d'avoir égard, il est clair que cette condition aura toujours lieu dans la partie supérieure de l'orbite où l'on

suppose r beaucoup plus grand que -, puisque pour Jupiter et Saturne,

qui sont les seules planètes qu'on ait à considérer dans la Théorie des

perturbations des comètes, on a à peu près - = 5 ou g-^.

54. Si les limites ± {^) n'étaient pas assez petites, en sorte qu'on ne crût pas pouvoir négliger les quantités renfermées entre ces limites, on pourrait les resserrer davantage de la manière suivante.

Les deux ditférentielles

cosNuf/4), sinNur/$, étant mises sous la forme

-j- cosNuf/9, -j- sinNi;</9,

se changent, par la substitution de ^ ^ ^^/ ' à (h, et par la supposition de

^^^rr-, -J- = ^ . en celles-ci

(I>V/rosNu, O'f/sinNi;,

DES PEUTUH BATIONS DES COMÈTES. 485

dont l'intégrale est

— <ï)rosNu-l- / co.sNu^Al>', <l''sinNu— I sinNi> cAl»' ;

cl Ton pourra appllipu'i' aux quantités

/ cosNuirM»', / sinNuri*!»'

les niènies raisonnements que nous avons faits dans le numéro préeédent; ainsi, dénotant par ((p) la valeur totale de l'intégrale de (M>\ prise comme nous l'avons dit dans ce numéro, on aura de nouveau dr fO') pour les limites entre lesquelles seront renfermées les valeurs des quantités dont il s'agit.

Or il est facile de se convaincre que la quantité 4)' est nécessairement beaucoup plus petite que la quantité <I> lorsque r^ est assez grand vis-à-vis de \jc(}h\ ainsi, en négligeant les intégrales renfermées entre ces dernières limites, on commettra une erreur bien plus petite que celle qui pourrait résulter de l'omission des intégrales renfermées dans les limites du numéro précédent.

On voit par là comment on pourrait s'y prendre pour pousser cette approximation plus loin, et diminuer à volonté l'erreur résultant des intégrales qu'on négligerait; mais il suffira, dans la plupart des cas, de s'en tenir à l'approximation du numéro précédent.

55. Il nous reste encore à examiner les termes multipliés par l'angle t dans la (lilférentielle d^i, termes que nous avons expressément exceptés ('n*' 51). Or on voit, par la valeur générale de d^i du n*^ 37 (Section précédente), que les termes dont il s'agit ne peuvent venir que du ferme

, ^ . , m) dèa a

il suffit donc de considérer ce terme et d'en chercher l'intégrale, en supposant que l'on mette dans la valeur de d^a les quantités X', V, Z à la place des quantités X, Y, Z (n*^ 48).

Je reprends pour cela l'expression générale de la différentielle d^a du même n*^ 37, laquelle est

dda= ^'^--a'(\dx-\-\ dr),

et, pour embrasser en même temps toute la généralité possible, je remarque que, si l'on n'avait pas supposé 2 =:o et -y- = o, et qu'on eût

par conséquent employé dans les calculs de ce numéro la valeur complète de âa du n" 30 à la place de celle du n*' 31, on eût trouvé cette expression plus générale de dâa, savoir

dda= — aU\ dx -\- Y dr -h Z dz ).

Qu'on change maintenant, dans cette expression, les quantités X, Y, Z en X', Y', Z', et qu'on y substitue ensuite, à la place de ces dernières

quantités, leurs valeurs, lesquelles (en faisant, pour abréger, ^ — :^ = P

sont exprimées ainsi (n° 39)

dP dP dP

dx dy^ dz

il est visible que la différentielle

\' dx -h Y' df + V dz

ne sera autre chose que la différence de P prise en faisant varier seulement les quantités x, y, z, qui appartiennent à l'orbite de la comète, et en regardant comme constantes les coordonnées ^, vj, Ç de Torbile de la planète.

De sorte que, si l'on désigne par la caractéristique D cette différence partielle, on aura, en général,

dàa = ^^ a'DP.

Or on a, par lo n*" 48,

3{xl-hX'n-^ zl^y 3(\r^-(-r-/) + zÇ)p» 5(\r^ -+- j-/) -f-zÇ)'

Et si l'on substitue, dans (•ctte expression de V, les valeurs de ^, n, ^, p

en sinus et cosinus de y (n" 51 ), il est visible qu'elle deviendra de cette

forme

/? -I- R siiiLi -+- S rosi; -f- T sin?.u -+- V rosau + . . .,

dans laquelle R, R, S,... seront des fonctions rationnelles cl entières de (Vy y, z, et dont chaque terme sera de plus divisé par une puissance de r, dont l'exposant surpassera de trois unités ou davantage la soniine des dimensions de a?, y, z dans le numérateur.

Or, comme l'angle v dépend uniquement des quantités ^, /j, 'Ç (jui doivent être regardées comme constantes dans la différence partielle DP, et qu'au contraire les quantités li, R, S,... dépendent uniquement des quantités x, y, z qui sont les seules variables dans cette différentielle, il est clair qu'on aura

DP =: (IR + sinu (ll\ -I- cosu dS -i- sin?, u dT ■+- cos?,u dY -I-. . .,

dR, c?R, dS,... étant des différences ordinaires et totales des quantités R, R,S,....

Donc on aura, en général, v

dàa = ■- {dlî H- sinuf/U -!- cosv f/S -h slniv d'ï -h . . . );

et cette valeur de d^a, en y faisant œ = rcos'^, j = rsin9, et s = o, deviendra identique avec celle du n*^ 50, mais elle sera toujours d'une forme plus simple et plus commode pour l'intégration.

56. En effet on voit d'abord, par l'expression précédente de d^a, que la partie indépendante de l'angle v est inlégrable, son intégrale étant

37 — R, OÙ R est la partie indépendante de u dans la valeur de P,

laquelle sera par conséquent une fonction rationnelle et entière de sin'f et C0S9, en faisant

^ = rcos9, y=rsin^, z = o, r =

De là on tire cette conclusion importante, que la valeur de âa, c'està-dire, l'altération du grand axe de l'orbite de la comète, en tant qu'elle vient des perturbations de la partie supérieure de l'orbite, ne contient aucun terme proportionnel à l'angle (p, et qui puisse par conséquent augmenter continuellement.

A l'égard des autres termes de la valeur de dâa, il est clair qu'après la substitution des valeurs de ce, y, r en cp ils deviendront de la forme

cosi^cp sin'9 sinNu f/9, ou cos'^o sin'cp cosNu Jcp,

et pourront être traités par la méthode des n°* 52 et suivants.