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à cause de e^=f\ donc, si l'on substitue cette valeur dans la formule

i80 RECHERCHES SUR LA THEORIE

précédente, on n'aura dans les valeurs de dùh, doa, dâ/,... que des termes de cette forme 1 cos^^^sinVo, p. et v étant des nombres entiers positifs, tels que fx + v non > 5 pour les premiers termes de n' et sr', ni > 7 pour les termes suivants; j'excepte toujours les termes affectés de t dans la valeur de d^i [voir ci-après le n° 56). Qu'on substitue maintenant dans 1, à la place de H, yj, Ç, leurs valeurs

en sinus et cosinus de ô i/—^ (n" 43); et pour cela on remarquera que,

à cause de la petitesse des quantités W et w', on peut sans scrupule négliger l'effet de l'excentricité de la planète, et faire simplement

en dénotant par A l'anomalie vraie de la planète qui répond au nœud ascendant de son orbite sur l'orbite non altérée de la comète; mais, si l'on voulait absolument avoir égard à l'excentricité de l'orbite de la planète, il n'y aurait qu'à ajouter aux valeurs moyennes de p et de 1 les inégalités du rayon vecteur et de la longitude de la planète, inégalités dont les premières sont représentées par une suite très-convergente de termes qui procèdent suivant les cosinus de M, 2M,..., et dont les autres sont représentées par une semblable suite, mais qui procède suivant les sinus des mêmes angles. {Voiries pages 6 et 8 des Tables astronomiques de Berlin, où a dénote l'anomalie moyenne que nous désignons ici par M.)

Ces substitutions rendront la quantité 1 de la forme

A + Bsinu + Ccosu H- D sinau -+-...,

/a' les coefficients A, B, C,... étant constants, et l'angle v étant = 9 i/ — •

Ainsi les valeurs des différentielles dâh, dâa,... se trouveront composées de deux sortes de termes : les uns indépendants de l'angle v, c'està-dire, du mouvement moyen de la planète, les autres affectés des sinus ou cosinus de cet angle ou de ses multiples.

53. A l'égard des termes de l;i incmière espèce, il est clair qu'ils seront de la forme

cosi^<p sin'tp ddf,

et par conséquent tous inlégrables, /j. et v étant, par l'hypothèse, des nombres entiers positifs.

Quant à ceux de l'autre espèce, ils seront évideniiuent de la forme

cosi^cp sin'cp sinN j ^/(p, ou cos^^cp sin'(p cosNu Jcp,

N étant un nombre entier. Ces termes ne sont intégrables par aucune méthode connue; mais nous allons faire voir que, dans la j)arlie supérieure de l'orbite de la comète, à laquelle est destinée la méthode que nous exposons, ces termes seront considérablement plus petits que les précédents; en sorte qu'on pourra le plus souvent' les négliger sans scrupule.

Pour cet effet, je remarque que

dv

mais (n*' 20 j et (n°21) donc

r'f/cp

dt =

^ih[i -t- m )

, ir'^d'~jj , ,, , dvs/oc^/i dv = -■> ei de la a© =

Si l'on substitue cette valeur de d(p dans les termes dont il s'agit, et qu'on fasse, pour abréger,

ils deviendront

— Or/cosNu, <I)r/siiiNu/.

dont rintéi]jrale est

— <I>cosNi; -f- / cosNufM), OsinNi; — / sinNi>r/<I>. VI. 6i

Les expressions / cosNvd^ et 1 sinNuc^O représentent, comme l'on

voit, les aires des courbes qui auraient <1> pour abscisse et cosN'j ou sinN^i pour ordonnée; et il est facile de concevoir que l'aire totale de chacune de ces-courbes sera toujours moindre (abstraction faite du signe) que le produit de l'abscisse totale par la plus grande ordonnée, laquelle est égale à i ; de sorte que, dénotant par (<I>) cette abscisse totale, on aura ± ($) pour les deux limites entre lesquelles seront nécessairement

renfermées les aires 1 cosNu d<l> et / sinNuû^O.

Or, dans la partie supérieure de l'orbite, la distance rde la comète au

Soleil est supposée beaucoup plus grande que la distance moyenne - de

la planète au Soleil; de plus la distance périhélie ■-, égale à A à trèspeu près, est dans la plupart des comètes, et surtout dans celles dont on attend le retour, moindre que l'unité, distance moyenne de la Terre au

Soleil; de sorte que la quantité ^,^r^ sera nécessairement fort petite. Par conséquent les quantités $ et (<I>) seront beaucoup plus petites, généralement parlant, que la valeur de / cos^ç s'in^cpdfp.

Il faut remarquer au reste que, pour avoir la valeur de (0) pour toute la partie supérieure de l'orbite, c'est-à-dire, la valeur totale de l'intégrale de d^^ pour cet espace, il faut prendre les éléments </$ toujours avec le même signe. Si donc dans tout cet espace la quantité $ n'a ni maximum ni minimum, on prendra l'intégrale à la manière ordinaire, et l'on aura pour ($) la différence entre les deux valeurs extrêmes de $. Mais si entre ces valeurs extrêmes il se trouve des maximum et des minimum, alors la valeur exacte de (<î>) sera égale au double de la différence entre la somme de toutes les plus grandes valeurs de <ï> et la somme de toutes les plus petites, en regardant les maximum négatifs comme des minimum et les minimum négatifs comme des maximum, et comptant les deux valeurs extrêmes de 0 parmi les maximum ou minimum, suivant que 0 va en diminuant ou en augmentant, mais en ne prenant que la moitié de cha-

DKS PFJ{ TU II HATIONS DES COMÈTES. ÏSi

cune de ces valeurs. C'est i\a (juoi l'on |)eul se convaincre aisément par l'inspection d'une; figure p;ir;iij()li(|iic (luciconejuc (jui aurait diUV-rcnts maximum et minimun).

Or jr (lis (|n(î, si r ^ (2 -h jU-j//, l;i (juaiililc <l» u'ain-i ni ni;i\liMnm ni minimum l(»i'S(|U(' y sera impair, et qu'elle aura un seul minimum au périhélie où o = kSo^' lorsque a sera pair. En ell'et, à cause de