Puisque /j = e*v/-^, ^ = e-^^^-' , on aura

p -+- q =: e'*/-' -f- e-«\/-' = 2 cos a, pq =^ i;

de même

/■ H- 5 = 2?cos(3, rs = i,

t -h u= 9.cosy, tu = i,

D'APUKS IJ-:S OJiSEUVATlONS. 515

el ainsi de suite; donc on ;iura

{i — px) {i ~ (jx)=^ i — 2x cos a + x',

{l— rx){t — SX-)=:: J — 7.x C.OS^-{- X\

(i — tx){i — itx) = 1 — T.x cosy -f- x\

Par conséqiienl le dénoniinateiir

sei-a le produit de ces - facteurs doubles

I — 9.x COSa H- ^% I — "ix cos [3 -f- X-, I — -ix cosy -t- x^,

D'où il. est facile de conclure qu'on aura nécessairement {n)=i, (n-i).^(.), (« -2)z=(2),...,

c'est-à-dire, que les coefficients des termes extrêmes, ainsi que ceux des termes équidistants des extrêmes, seront les mêmes : ce qui est la propriété des polynômes qu'on appelle réciproques.

Or, pour trouver facilement les valeurs des coeificients

(i), (■>), (>)'•••(-) ''" COSa, cos [3, cosy,...,

on mettra le polynôme; en question sous la forme suivante, en faisant, pour plus de simplicité, n = 2v,

(i-\-x'-' +{\)x{i-{- x'-'-')-h{9.)x'(i-hx''-*) -h ..-|-(v)^-;

ensuile on supposera

i -h x- = xz,

et l'on remarquera que

[j -{- x^Y = 1 -¥- "zx^ -\~ x* = jc^z\ d'où i -\- x* = x^z* — 1),

{i -h x^y = i -h x^ -hSxHi + ^^) = ^^z\ d'où i -[- x'''z=x^{z^ ■— 3z),

et, en général,

en ne conlinuant cette série que tant que l'on aura des puissances positives de z.

On fera donc ces substitutions, et, divisant ensuite tous les ternies par cc^, il viendra un polynôme en z de la forme

z'-^. [(i)]z- + [(2)]^^-+ [(3)]z-3 + . . .+ [(v)], où l'on aura

De même, si l'on substitue ooz à la place de i -f- ^- dans le produit des V trinômes

I — 2^C0Sa-f-^% I — 2X cos^ -\- x^, . . .

et qu'on divise ce produit par x^, on aura celui-ci

{z — 9. ces a) (z — 2 cos(3) {z — 1 eosy). . .,

lequel devant être identique avec le polynôme précédent, on en conclura aisément les valeurs des coefficients [(i)], [(2)], r(3)],..., et de là celles des coefficients (r), (2), (3),

Quoique les formules précédentes soient connues depuis longtemps, j'ai cru devoir les donner ici,. parce que j'aurai occasion d'en faire usai^»; dans la suite.

Quant aux coellicients [o], [ij, [2],... du numéraleur, il est trèsfacile de les déterminer par le moyen des équations trouvées dans le numéro précédent, lesquelles donnent

Corollaire II.

7. On voit, par l'analyse du Problème précédent, que non-seulement tonte suite composée de sinus d'angles qui croissent en progression arithmétique, mais, en général, toute suite composée de termes qui procèdent en progression géométrique, est récurrente d'un ordre égal au nombre de ces termes.

Il est facile de prouver de même que toute suite algébrique qui a des différences constantes d'un ordre quelconque, multipliée, si l'on veut, terme à terme par une série géométrique quelconque, est une suite récurrente d'un ordre supérieur d'une unité; et qu'en général toute suite formée par l'addition de deux ou de plusieurs suites de cette espèce sera pareillement récurrente d'un ordre égal à la somme de ceux de chaque suite particulière.

En elfet, on sait que la somme d'une suite infinie, dont le lermu général sera [m -h \\p"^x"^, est exprimée par -•> que celle dont le

^ *^ '1 — pxy ^

terme gênerai sera ^^ «'"^r" est exprimée par -. (lue

c 2 r I '^ (i — px ^ ^

111.1. '1 /;ï -4- I ) ( m H- 2 ) ( m H- 3 ) „, ,„ celle dont le terme gênerai sera ^ ^ p"'x'" esl expn

lïiée nar ^ > et ainsi de suite; donc la somme de la suite qui aura

' I — px)*

le terme général

Ko+K,(/»-»-iH-I^'^^ ^H-K, ^ ^^ ^ +...

^ ii i/:i-t-')U» + 2)im + 3)...(m + f/ — I ,; 1 „, -^ '^^ ; ..3...(^-r) J P '

sera égale à •

Ko K| Kt Ka-i

I — />^ (i — pxy (i — pxY (i — pxf

c/est-à-dire, à la fraction simple

Koji — px}'~' -+- K,{i— px-y-' + K;(i — pxf-'-h ■ . ■ + K,,,

[i—px)''-

d'où il s'ensuit que, si l'on a une série dont le terme général soit représenté par la formule

il n'y aura qu'à chercher les quantités Ko, K,, Ko,..., K(x,, en sorte que l'on ait l'équation identique

K + K'm4-K"m^ + ...+ K^i^-')mi^-'i=K„H-K, w+i +K2— ^ ^

f m -f-i ) ( /7ï + 2 ) ( /w + 3) ( An + I ) i /?? H- 2 ) . . . ! /7z H- u — i )

2,3 I*. 3. . .( fy. — i)

et l'on aura, pour la somme de la série, la fraction ci-dessus, dont le numérateur est, comme l'on voit, un polynôme du degré p.— i et dont le dénominateur est la puissance [j.'^'"^ du binôme 1 — px; de sorle que la série proposée sera une série récurrente de l'ordre [x, et dont l'échelle de relation sera

D'APRÈS LES OBSERVATIONS. 51î>

Quant aux cooiïicients K,,, K,, K.,,..., il est facile de les Irouvei- <le l;i manière suivante. Qu'on sui)j)ose, en général,

K -I- K'nt H- K" m' + K'" ni' + . . . -f- K'i'-'hn'''-' = S,

et qu'on dénoie par S', S", S",... les valeurs de S lorsque m = — i , — a, — 6, ..; on aura donc, en vertu de l'équation supposée,

S' = Ko,

S" = Ko-K„

S"' = Ko-iK, -4-K,,

S'^= Ko — 3K, -f- 3 K, - K3,

d ou 1 on tire

Ko = S',

en sorte que les coetficients Ko, K,, Ko, Kg.... ne seront autre chose (jue les diflerences successives des quantités S', S", S' ,... prises alternativement en — et en -h.

Enfin il est clair que, si la suite proposée est composée de plusieurs suites de la forme précédente, il n'y aura qu'à ajouter en.semble les fractions qui expriment la somme de chacune de ces suites continuées à l'infini, et l'on aura une fraction unique qui sera égale à la série proposée, et dont le dénominateur sera de la forme

{i — pxY{i — qxy... .

De sorte que cette série sera récurrente de l'ordre

ayant pour échelle les coetficients pris négativement des puissances j\

r-, x',... du polynôme qui résultera du développement de la formule

{i — pxf{i — qxy

En général, si l'on a une suite récurrente quelconque

T -hTx-h T'x' -h T"x' -+- T'^'x' -h T^x' + . . . ,

et qu'en dénotant par © une fonction rationnelle, et sans diviseur, d'une ou de plusieurs quantités, on forme les nouvelles séries

9(T, T') + 9(T', T")^ + cp(T", T" ) x' -^ o {V , T"):c^ -+-... ,

et ainsi de suite, toutes ces séries seront pareillement récurrentes, et l'on pourra en trouver l'échelle de relation, dès qu'on en aura formé le terme général à l'aide de celui de la série proposée; et ces nouvelles échelles pourront toujours s'exprimer par les seuls termes de l'échelle de la proposée; car la difficulté ne consistera qu'à chercher les coefficients d'une équation dont les racines dépendent de celles d'une équation donnée. Problème dont l'Algèbre fournit plusieurs solutions.

De plus, si dans la série proposée on ne prend les termes que de deux en deux, ou de trois en trois,..., les séries résultantes

seront aussi récurrentes et du même ordre que la proposée; et il est facile de voir que, si l'échelle de relation de celle-ci est représentée par

le polynôme

{i—pxf{i — qx)\..,

celles des séries dont il s'agit le seront par les polynômes

(i — p^'x^yii — q^x^y. . .,

ainsi, niellant a? it la plac'c «le /r-, ouœ^,..., les séries

seront rémn-cntcs et anront ponr éclicllcs de relation les polynômes

(I — p'x fil — g^x)' . . . ,

{i — p^xYii — g^xy. . . y

Enfin, si l'on a difTérentes séries récurrentes, telles que

et que l'on en eompose une nouvelle de la forme

celle-ci sera encore récurrente, et son échelle dépendra uniquement de celles des séries particulières d'où elle est formée; et la difficulté de trouver cette échelle ne consistera qu'à trouver ré(jualion dont les racines seront des fonctions données de celles de (juehjues équations données, Problème toujours résoluble par les méthodes connues.

CoilOLLAIlîi: III.

8. De même que, lorsqu'on connait le terme i^énéral d'une série récurrente, on peut trouver la fraction i;énéralrice de la série, de même, en connaissant cette fraction, on pourra en déduire l'expression du terme général; car il n'y aura d'abord (ju'à chercher tons les facteurs du dénominateur, et à décomposer ensuite, par les méthodes coiinnes, la liac- VI. 66

lion proposée en autant de fractions partielles qu'il y a de facteurs, et dont chacune ait un de ces facteurs pour dénominateur, en observant cependant que, s'il y a des facteurs doubles ou triples, . . . , ou uy"''^^', chacun de ces facteurs donnera p. fractions partielles, dont les dénominateurs seront successivement la première, la deuxième, la troisième,..., la p."'"" puissance du même facteur.

De celte manière, la fraction dont il s'agit se trouvei'a décomposée en

autant de fractions simples de la forme ^- que le dénominateur

' (i — px ;/' ^

aura de facteurs, et chacune de ces fractions donnera une série dont le terme général sera

de sorte que, en ajoutant ensemble tous ces différents termes, on aura la valeur du ternie général cherché. Tout cela est trop connu pour que je doive m'y arrêter davantage; je crois cependant qu'on me permettra de donner ici une formule générale et fort simple, pour trouver tout d'un coup, à l'aide du Calcul différentiel, la partie du terme général qui vient d'un facteur multiple quelconque du dénominateur de la fraction donnée.

Soit (i — px)'^ ce facteur, et dénotons par X la fraction proposée, après en avoii retranché par la division le même facteur, en sorte que

X . , -soité^ale à la fraction donnée; on cherchera, en faisant varier.*-

[i—pxf ®

et regardant dx comme constante, la valeur de la quantité

xf- d^-' iJLx-"-' ) r . 2 . 3 . . . f y. — I i ( — dxY" ' "

ensuite on v mettra - à la place de x, et la quantité résultante sera le p i H

coeiricient de .r'" dans le terme général de la série provenant du facteur

en question.

Je supprime la démonstration de ce Théorème, parce qu'elle n'est pas

difficile à trouver d'après les principes connus.

("ohoi.r. \iiti: IV.

9. Concluons (le là (jue lIkkjuc fîKiciir siinplc ilii (Imoiniiialcur de la frac lion i:;énL'ralii('C' proposée, lel (|ih' i — px, donnera, dans l'expression du terme général de la série, le tonne K/>"'a:"', et que chaque faciciir multiple, tel que (i — pxf, y donnera les ternies

Si/> est imaginaire, il sera réductible à la forme t -h u\'— i , et il y aura nécessairement un facteur correspondant r — qx, où q sera de la forme / — u\/ — I ; de là on trouvera que les coefficients K, K', K",... seront chacun de la forme

et les quantités coi'respondantes, provenant de l'autre facteur i — qx, seront de la forme

h - / y/^^ , /i- r V - 1" , h" - l" v'^^ , • . . . Or soient

^^ P ^ H' — r, - = langa, ^J* -f- l^ =f, j = tangrt, ^' +- /" =/', j-, = tanga', . . ;

on aura

Donc

p = rf cosa + sinay/ — i j,

p'" = i"'{cosm y. -\- sinma y* — i ),

K =/ f cosa H- siofl y/ — i ), K'=/'frosa'-f- sina'y/ — i )

K p'" = //■"' ^ cos ( a -I- m a ) H- si n ' a -I- m a ; sj — i J , K'/v"' :=/'/"'rcos(a'-i- ma. + sin(a'-l- ma. V— ' J»- • ■■>

el les (juanlilés correspondantes ne dillereronl de celles-ci que par le signe du radical \/ — i ; de sorte qu'en rassemblant toutes ces quantités on trouvera que les facteurs multiples imaginaires (i —px)^, (i — qxf donnei'ont, dans l'expression du terme général de la série, les termes suivants

[fcos {a -{- inx) +/' m ces ( a' -h m oc ) -t- /" ///' eos ( a" h- /;? a ) + . . . ] r"'x'",

et chaque autre couple de facteurs imaginaires donnera des termes semblables.

Quoique toutes ces choses soient assez connues, j'ai cru devoir les rappeler à mes lecteurs, parce qu'elles donnent lieu à des conséquences importantes dans la matière qui fait l'objet de ce Mémoire. Une des principales, c'est que, quelque dérangement que les Corps célestes puissent éprouver en vertu de leur action mutuelle, et même de ia résistance d'un tluide très-rare dans lequel ils nageraient, leurs mouvements en temps égaux seront toujours représentés par des séries du genre des récurrentes; car les termes les plus compliqués que la Théorie puisse jamais donner dans l'expression du mouvement vrai d'une planèl(; quelconque

seront de la forme

K cp'" c"? cos ( a + 60),

'D étant l'arc du mouvement moyen et a, b, c, m, n, K des coefficients constants quelconques; or il est clair, par ce qu'on a vu ci-dessus, que toute série qui naitra de cette formule ou de la somme de plusieurs formules semblables, en donnant successivement à 0 des valeurs qui augmentent en progression arithmétique, sera toujours récurrente.

Donc, si l'on a une suite d'observations d'une planète quelconque, faites à des intervalles de temps égaux, on est en droit de regarder les résultats de ces observations comme formant une suite récurrente d'un ordre quelconque, et toute la ditïiculté se réduira à trouver la loi de la série; c'est l'objet du Problème suivant.

D'MMIKS LKS OBSERVATIONS. 525