lL,0'-pO"^8^^-rE--^^E'-^E"^a
laquelle devant être vraie, quelles que soient les valeurs des dilférentielles o'o, Oc, ott f Articles III et IVj, nous fournit les trois suivantes
La première de ces équations servira à déterminer les lois de l;i iol;i-
SlIU LA LIHKATION DE LA LUNK. 37
lion (le la Lune aiiloiir (h^ son axe, la seconde à (Ictcnnincr la inilalion, et la troisième à déterminer la prércssion.
XYIII.
Scoi.rE. — Les équations fi), (2), (3), (|ue nous venons de li-oiivcr, répondent exactement aux équations (Gj, H;, (K; données par M. d'Alemhert, dans les Mémoires de l'Académie de l'année r^S/j, paijjes /ja'i et 425, pour la précession des équinoxes et la notation de l'axt; de la Terre, en vertu de l'action du Soleil et de la Lune.
Pour en l'aire la comparaison, on remarquera :
1" Que les angles P, s, 71, dans les formules de .M. d'Alemherl, lépoii- (l<'iil dans les nôtres aux compléments des angles 'ù, e, rr;
2" Que les lignes /et a — l^ dans celles-là ont dans celles-ci pour valeurs rcosP et rsinP, et que les angles X" sont la même chose que les compléments des angles Q';
■^° Que les angles V, X', V, X répondent aux compléments des angles ^-180", Q-5, f-i8o«, Q-$';
4" Que les angles v' et -j répondent ici aux angles i» — (e-f- 270'^j,
Enfin on mettra dans les formules citées T au lieu de L, et 0, 0' et — ). au lieu de //', u et p .
Résolution de l' équation (i)
J'observerai d'abord qu'en regardani la Lune conime peu didennir d'un globe, ainsi qu'elle l'est en effet, les (juanlités .M, N sonl incomparablement plus petites que les quantités H, K ' Article XI^; d'où il >^iiii (jiU', dans l'expression de 12 (Article IX), on peul négliger les lerme> (|iii
:JS RECHERCHES
renferment M el X vis ;i vis de ceux (jiii renferment H; ce qui la réduit à
d[d(j'> H- cosTT^e)
dt^
J'observe ensuite (ju'au lieu de l'ani'le oj, (jui représente le muuvenienl de rotation de la Lune, il est beaucoup plus commode d'employer l'angle 5 (Article XVIj, lequel est toujours nécessairement Irès-pelit, à cause que la Lune montre toujours à peu près la même face à la Terre. Or, pi>ur Irouvei* la valeur de w en 0, on aura recouis aux formules de l'Article cité, et l'on remarquera :
i^^Que
Asinr.)-i-x\.cosw:=y/i-4-/- cos^p(cos0siiioj-i-sinô coso))=:y'n-/^ cos^j^ siii oj-f-6y, et que de même
A cos c) — A sin Cl) := v' I -I- V cos '\) cos ( m 4- 0 ) ; 2" Qu'en substituant pour A et pour A leurs valeurs [Article XIV, (M)], A sinoj 4- A cosco = sin(y — ej CGsr — XsinTr,
et (jue, pai- les mêmes substitutions,
A cos w — A sin oj ^^ cos {u — e ) ; d'où il s'ensuit que l'on aura
sin(&) -+- 0 ) sin(u — e) costt — X sin?:
cos ( 00 -H ô I cos ( u — e )
ou bien
lang(w H- ô) = lang(u — e) cos- — ÂsinT: séc(i; — e)
= tangi^;; — £) — ?. sin' - lang(y — e) — /. sin:: séc(y — ej,
parce que, comme l'on sait,
. r I — COSTT
sin'- = ;
SUH I.A IJIM;\TI0N I)K I. a I.UNE. 39
'^" Que la quantité >., (|ui dénote l:i limiiciitc de l:i hiliUnlr de l;i l.iiii.' (Article XlIIj, est toujoni's une (|ii;iiiiité assez petite, puisipie s;i jjliis tj^rande valeur est d'euviioii tangS^q';
4" Que I'aui;I(; tt, (jui représente l'iiK linMison de ré(|ii;iteui' liiii:iire ji l'éOipti(iue ' Arti(de V), est aussi tri's-petil; car, suivant les uliservali(»Ms de .M. Cassini, on a tt -- 2""^o', et, suivant relies de .M. Maver, on ;i seulement TT = l^2C)\
D'où il s'ensuit (ju'on aura à tiès-peu pri's
tanpfo) + 0) — - laiii^ v — sj, et par eonséqùent
ou, si l'on veut faire le calcul plus exn,('t(MneMt, en ne néglii(e;in! iiiie les quantités de l'ordre sin*?: et de >.-sin-7:
1 %\W~ tang V — i) . .
2 Asin7:sec(j> — e;
I + tang'i Xi — z) \ H- tang^(y — e)
= u — e — sin=- sin(2u — 2£) — / sin- cos(u — z\
Mais nous nous contenterons ici de {)rendre simplenu'ut ^ — i pour l;i valeur de '/j -i- 5, ce qui nous donnera
w = y — 5 — ô, du) ------ cIj — (h — (/O
et
f/o) -h cosr.de = dv— (i — costt', de — dB — dv — -? sin- - dz — ^/5 = du — db,
en négligeant, comme on vient de le l'aire, les termes de l'ordre de sin'--- Faisant donc cette substitution dans la valeur de i> ci-dessus, on
aura
dv Soit mainlenanlA' le mouvement nmveu de hi Lune autour de la lei-re.
on aura, en regardant l'orbite de cette Planète comme circulaire,
(il faudrait mettre à la vérité T + L au lieu de T, mais la différence (fui
en résulte est trop petite pour (ju'il soit nécessaire d'en tenir compte ici).
3T 3t/V' I 3dy'
3, , ^. |~ dr- I + >;-• ~ dp '
en négligeant le carré de la quantité très-petite À.
On trouvera de même, en nommant V le mouvement moyen de la lerre
autour du Soleil,
mais on rciiiin qucra que V = ^7? a tres-peu près, et par conséquent
Zd\'' I 3JV^
-dp- = Wo~dF ""^™^'
d'où il s'ensuit que l'on peut négliger entièrement le terme ... i>" venant de l'action du Soleil, vis-à-vis du terme —j—- il' qui vient de l'action de la Terre, de sorte que l'équation (i deviendra simplement, après avoii' fait les substitutions précédentes et divisé par ^ -,
Or, par l'Article XIY, on a et, par l'Article XVI,
A = cos B cos 'I V I "•" ^■% A = sin 6 cos '| y' i -f- À' ;
SUR LA LIBRATION l)K L\ LUNE. ki
tlouf, puisque
sin0ros0 -- ^sin9.0, et sin'ô — cos'ô = — ros2 9, oii aui;i
mais ou a (Articles XVI et XIII)
(l'uù l'on lire
fos^" v' I 4- ^' = v'i -^ >'sin»7r — aXsinTTCOSTrsinfu — e) — sin'7:sin'(u — e = i ,
en négligeant, eomme nous l'avons fait jusqu'ici, les ternies où se trouvent les ({uantités très-petites >. et sinrr fonnanl des produits de deux ou de plusieurs dimensions.
De plus, si l'on suppose, ce qui est permis, <]ue le premier méiidicu de la Lune soit celui qui passe par la Terre, lorsque le lieu vrai de cette Planète est égal à son lieu moyen, il est clair (jue l'angle 0, qui représente la distance du méridien qui passe par le centre apparent de la Lune à son premier méridien (XVI), sera toujours très-petit; car, suivant les observations de la libration, cet angle ne va guère au delà de (S degrés; par conséquent on aura à très-peu près, et avec une exactitude sulïisiuitr pour notre objet, sin2$ = 2O et cos2$ = i. Doue enfin
12'=-iN-f-M0.
Il ne reste plus qu'à trouver la valeur de f/-j; pour cela, ou remarquera que V — 180" est la longitude vraie de la Lune (Article XIII ^ ; par conséquent, si l'on appelle m le rapport du mouvement de l'anouialie uioveuue de la Lune à son mouvement moyeu, et (|u'ou n'ait e-jnd (pi'ii sa première inégalité, ou auia
j — 180"= long. inoy. Q, — n sitiwV, VL 6
a étant, suivant M. Glairaut, 6^19', et m un nombre très-peu différent de l'unité; d'où l'on tire
d^xj = ni^a sinmV dS'^.
Faisant donc ces substitutions dans l'équation (4) ci-dessus, on la changera en celle-ci
— tPQ j5- 0 r/V= + -^ d\' -h m'a sin m V ^/V'= o,
d'où l'on aura, par les méthodes connues,
(5) 0 = Csm(^Vy^ — j -!-—[,- ces (^Vy—jJ- --3^- snw,,V.
C est l'une des deux constantes indéterminées introduites parla double intégration, l'autre ayant été supposée telle que l'angle d soit nul lorsque V = o, c'est-à-dire lorsque le lieu vrai de la Lune est le même que son lieu moyen.
De là il est facile de voir que, si l'on veut tenir compte des autres inégalités du mouvement vrai de la Lune, et qu'on suppose pour cela
V — 180" = long. moy. d — a sin mV ~ b sinnV — c sinj^V — . . . ,
on trouvera pareillement
= C sin
sin mV — . ^TTT sin« V — . . . .
Conséquences qui résultent de la formule précédente par rapport à la lihration de la Lune et à sa rotation.
Comme l'équateur lunaire n'est que très-peu incline à récli|)lique, il est clair que l'angle Q représentera, sans erreur sensible, la libration de
SUU LA LIBHATION DE LA LDNE. 43
la Lune en longitude; d'où I'(M) voil (|U(! cetU' iihritlion dilleiern un peu de celle qui a été supposée jusqu'à présent p;ii les Astronomes. Pour vu l'niic l:i comparaison avec |)ius de l'jiciiilé, on iiielliM l'expression de 0 sons l;i l'oiine suivante
=: — a siii/«\ — b siii/iN — ... ~ — --r. siii/// \
