Soit proposée ta série des nombres
I, I, I, 2, 4, 6, 7, 7, 7, 8, lo, 12, i3, i3, j3, i4, i6,...,
Ê^owi /a loi est assez claire ; on demande si cette série est du genre des récurrentes, et quelle doit être, en ce cas, l'expression de son terme général.
On formera pour cela la série
et l'on divisera d'abord i par 5, ce qui donnera le quotient i — x et le reste
— X'^ — IX'' — 1X^ — X" i^i^ — X'^ — 2^'" — 2^" — x'^ ît- ^ — x'^^ — ... ;
qu'on divise ce reste par le premier terme —x^, et l'on aura le polynôme
s' =lx-^ o.x + o.x- -\- X" +** -1- X* -f- 2.2;' -f- 2 .r* -tr .^'^ * * -I- o:'^ -f- . . . ,
D'APKKS LF.S ()BSKK\ ATIONS. 535
par lequel on divisera maintenant le polynôme s, ce qui dotlHera le quotient I — 07 et le reste
.r'H- 3. r'-f- 5 jr*H-6:r*+ 6 jc'H- 6. r' 4- 7 ^"-1- 9^" -t- 1 1 ^'°-i-i2.r"-f-i9.x"-i-r2x"-j-...;
on divisera donc ce reste par le j)ieinier terme x^ pour avoir le polynôme
et ensuite on divisera le polynônie s' par le dernier polynôme s", ce (jui donnera le quotient i — a? et un reste nul; d'où l'on conclura d'abord que la série proposée est effectivement récurrente.
Poiii- (Ml trouver maintenant la fraction génératrice, il n'y ;iiira (|u'à considérer les quotients i — x, i — x, i — x, et les premiers termes des restes — x^ , x^\ et, prenant tant les uns que les autres à rebours, on en formera les quantités suivantes
^" = (i — x)'il — x'^\ = I — ix H- 2^%
dont les deux dernières donneront la fraction cherchée ^^ savoir
D'où l'on voit que la série proposée est récurrente du quatrième ordre, ayant pour échelle de relation les coelïicients 3, — 4» ^ — • • Or, comme
le dénominateur
se résout dans les facteurs
o3(i FORMATION DES TABLES DES PLANÈTES
et que ce dernier se résout encore dans ces deux facteurs imaginaires
ou bien
I — (cos6o° -f- y/—! sin6o°)^, i — (cosôo" — y — i sin6o°}^,
ou, ce qui revient au même,
on pourra décomposer la fraction génératrice en ces quatre-ci K K, L M
i^ {i — xY ,e6o°V-i^ ,e-60'Y-i^
et Ton trouvera
^ZO'.V'-i ^ g— 30°.v/-l 2 cos 3o°
et de même
g—SO°.\/~l
2 cos3o° de là on trouvera le terme général
[K -f- [m + i)K, 4- Le'"«"°-^^' + Me-'''-^»"-^^]^",
c'est-à-dire, en substituant les valeurs des coelFicients K, K,, L, M et réduisant,
cos(3o° -f- m.6o°) cos3o°
D'APIIÈS LKS OHSKIU \TI()NS. .i:}-
Rkmakoi i: II.
15. Au reste il serait peiit-èli-e encore plus simple el plus coiniiiodr (l'euiployei' dans \v ealeul les i'(;sles tels (ju'ils se Irouvent, sans les diviser par leurs premiers termes, eoinuie nous l'avons dil ci-dessus; il est vrai (jue, de cette manière, les quotients rent'ermeronl nécessairement des puissanees négatives de œ; mais il n'y aura alors (ju'à faire
disparaître les puissances négatives de la fraction génératrice ^,77 ' en
multipliant le haut et le bas par la plus haute puissance négative qui s'y trouvera.
Ainsi l'on peut réduire la solution du Problème précédent à cette règle
fort simple :
Divisez l'unité par la série proposée s, et continuez la division jusqu à et qu'il y ail dans le quotient deux termes qui renferment deux puissances consécutives de x, comme px'' -+- qv''^'; divisez ensuite la série s par le reste de cette division, et avec les mêmes conditions; divisez, après cela, le second reste par le premier, et continuez ainsi en divisant le nouveau reste par le précédent, de manière qu'il y ail toujours dans chaque quotient deux termes de la forme précédente ; si la série s est récurrente, on parviendra nécessairement à unt' division exacte; et alors, nommant
px'- H- (jx'-^\ p'x' -+- q'x^-^', p" x^ 4- q" x'-^\ . . . , p^'-'^ix" + g'."-'') x'-*-'
les quotients trouvés dans les n divisions, on aura
px'- -+- q x*-"^' H
Donc, faisant
^"=i(y[>(«— O^p -4- ^(«-2)xf+' TH- \,
oAî a//r<^/
Exemple III.
16. Pour confirmer la règle précédente par un Exemple, soit proposée
la série
I, 4> ïo, 19, 3i, 46, 64, 85, 109, i36, 166, 199,...,
on en formera la série
s = r-h 4-^ -+- io.r^ -I- 19^7^ -t- 3i ,r' -+- 46x^ H- 64-c"^ -H 85^' -+- logx* -1- i36a;~'-<- i66.r'°-(- . . . ,
et l'on fera l'opération suivante, qui est analogue à celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux quantités. Divisant d'abord I par s, on trouvera le quotient i — [\x, et le reste
5' = 6^' -t- 21 x^ -I- 45^* H- 78^* + 120J;'' + 171 ^' -h 23i ^' + Soo^* H- . . . . Divisant ensuite s par s' , on a le quotient ç— -\ — —•> et le reste
3^^ qx^ Q.r' \5x^ 45 ar* 63 .r'
continuant ainsi à divisera' par s", on aura le quotient 8 + [\x, et comme il ne reste rien de cette division, l'opération sera terminée ; en sorte qu'on sera assuré que la série proposée est véritablement récurrente.
D'APUKS LES OBSERVATIONS. o39
Or, (uiisque les quotients trouvés sont
1 — 4^, Tt— . H , 8-4-4-2^,
on l'cia
et l'on iiura yj^,-» c'est-à-dire, en nuilti[)liant le haut et le i)as par ^■
pour la liaetion génératrice de la série proposée. On voit par là que, comme le dénominateur de cette fraction est le cube de i — x, la série ne peut être autre chose qu'une série algébrique du second ordre; c'est aussi ce que l'on aurait pu reconnaître d'abord, puisque les difl'érences secondes sont constantes.
Rljiarque III. ,
17. Qu()i(jue, généralement parlant, dans la fraction génératrice .,,„ >
le dénominateur doive être un polynôme d'un degré plus grand que celui du numérateur, cependant il peut arriver que quelques-unes des plus hautes puissances de x s'évanouissent dans le dénominateur, en sorte qu'il se trouve abaissé par là à un degré égal ou moindre que celui du numérateur; dans ce cas, la série récurrente qui en résultera sera aussi d'un ordre moindre qu'elle n'aurait dû être; mais elle contiendra au commencement un certain nomltrc de termes irréguliers, après lesquels seulement elle commencera à être véritablement récurrente. Ainsi
S^i^O FORMATION DES TABLES DES PLANETES
notre règle sert également, soit que la série soit récurrente dès son conimencemènt, ou qu'elle contienne d'abord qucKjues termes irréguliers. Kclaircissons ceci par un Exemple.
• Exemple IV.
1 8 . Soit proposée la série
I, I, 3, 7, i8, 4?» 123, 39.2, 843, 2'9.()7, 5778,...; on en formera d'abord celle-ci
s = I -t- .r H- 3^,=' + 7^' + iSjf* + 47-^^ + lî'^.i'' + 329..»,'' -I- S^'ix* -<-... ,
el l'on procédera comme dans l'Exemple précédent. Divisant donc I par s, on a le quotient i — a;, et le reste
*'= — ix"^ — 4-^^ — 1 1 X* — iCfX^ — 76.2:* — i99'^' — 521 x' — ... ; divisant ensuite s par s' , on a le quotient h •< el le reste
s" = IX' ^ 38.t:« ^^^-- — • • :
divisant encore s par 5", on trouve le quotient 4 — 8^, et le reste
5'"=: — 5^2'* — i5.r* — ^ox^ — n)5.r' — ... ;
cntin, divisant s" par s'" , on a le quotient 1 -, el il ne l'cstc ri<'ii;
' * lox^ lo.r
d'où il s'ensuil que la série proposée est nécessairement reçut rente. Ayant donc trouvé les quatre quotients
\ — X, H 1 4 — ox, 1
.».r-' IX io.z-^ 10
DAPRKS LES OlîSEin \T1()NS. 5il
01) cil formera les quantités suivantes
2jc' 2.r ' 5.r* 5^' ox^ 5x
(lont les deux dernières donnent la fraction génératrice
^" i— Zx -h x' ^
or, comme j? est élevé à une puissance plus haute dans le numéralcm (jue dans le dénominateur, il s'ensuit qu'en divisant celui-là par celui-ci, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste où l'exposant de x soit moindre que ->, qui est le plus grand exposant du dénominateur, la fraction se réduira à
.'i — nx
d'où l'on voit que la série s n'est autre chose (|u'uiie suite iccui icuic
provenant de la fraction
I — 'ix -^ x' à la()uelle on a ajoute au commencement les deux termes arhitraircs
de sorte (ju'en letranchanl ces deux termes de la sei'ie s on aura ccllc-t i
