IX

i — 'ix -{- x'

d'oîi il est facile de conclure qu'en retranchant de la série s les deux premiers termes i -t- ^r, et divisant les autres par a:^, on aura une série récurrente régulière, dont la fraction génératrice sera

Remarque IV

19. La solution du Problème précédent n'est, comme l'on voit, qu'une simple application de la Théorie des fractions continues; mais, quoique cette Théorie ait déjà été traitée par plusieurs grands Géomètres, il paraît que l'application dont il s'agit peut néanmoins être regardée comme neuve à plusieurs égards, et surtout relativement au point de vue sous lequel nous venons de l'envisager. En effet on n'avait point encore de méthode générale pour reconnaître si une série proposée, dont on ne connaît que la valeur de quelques termes consécutifs, est du genre des récurrentes, et pour trouver en même temps la loi de ses termes. Le seul cas où l'on pût trouver à posteriori la loi d'une série était lorsque, en prenant les différences successives de ses termes, on parvenait a des différences constantes; or il est clair que ce cas n'est

D'APUKS LES OliSEU NATIONS. iW

qu'un cas particulier «le iiolrc riiéoi'i(3 générale, car on sait (juc loulc série qui a des ditrérenccs coustanlcs d'un ordre (juelconcjuc n'est autre chose qu'une série simplement algébrique; du même ordi'e; par consé- (juent ce n'est (ju'une espè(;e de séries récurrentes dont l'éclielle, an lieu d'être un polynôme ()nclcoM(jue, est une puissance du hiiiôuic particulier I — X (n*'7j. J'avoue (jU(; la uielhode des dillerences est plus simple et plus commode que celle des fractions continues (pie nous venons d'exposer; aussi est-elle préférable pour trouvei' la loi des séries qui ont des diflerences constantes d'un ordre quelconque; mais, si en prenant les différences successives des termes d'une série on ne parvient jamais à des dillerences constantes, il faut alors avoir recours à notre méthode, pour voir si la série est au moins du genre des récurrentes.

Au reste il est bon de remarquer que, si l'on prend les différences successives des termes d'une série récurrente quelconque, ces diflerences formeront elles-mêmes une autre série récurrente du même ordre; car soit la série récurrente

T + T X + ï" X' + T"x' + T'^x^ -h T^:r» + . . . , laquelle résulte de la fraction

io) + {l) X -h il) x"" -\- . . . -Ir {n) x" '

qu'on mette, tant dans la série que dans la fraction, —j- — à !a place

de X, et qu'on divise ensuite l'une et l'autre par i -\- x, il est clair (jue la série deviendra celle-ci

Vx T'x' T"x^

x'"" \i + xY ( I + ^)^

laquelle, en développant les puissances de \-\-.x, suivant les règles connues, et ordonnant les termes suivant x, se réduit à cette forme

c'est-à-dire, a

en marquant par AT, A-T, A^T,... les ditlerences successives des premiers termes de la série T, T', T",..., c'est-à-dire, les difïerences première, deuxième, troisième,... de ses termes, en sorte que l'on ail

Ai'T = T(i") — y-TO^-') H- cil- '- TO^-2) — . . . ± T,

Cette nouvelle série sera donc égale à la fraction

[o](i + ^)"-' H- [i]:f(i H-:r)"--4- [2]jr=(i -4- ^)'-^ + . . .-h[n — i]:r"-'

(^o) (i -\- x)" -h {i) X [i -^- X )"- ' -+- {7.) x''{i -\- X )"-•' + . . . -4- ( /z Kr"

dont le numérateur et le dénominateur, étant développés et ordonnés suivant les puissances de x, seront aussi des polynômes, l'un du degré n — \ , l'autre du degré n, comme ceux de la fraction génératrice de la série primitive; d'où il est aisé de conclure que la série des différences

T + AT.^^ + An\^-'^ + A'T.,r^ + . . .

sera également une série récurrente du même ordre n que la proposée

On pourra donc aussi appliquer noire méthode a la série des différences dont nous venions de parler, et dès qu'on en aura trouvé la fraction génératrice, si elle en a une, il n'y aura qu'à y substituer — - — à la

place de x, et la diviser en uième temps par i —ac\ on aura sur-le-champ

la fraction génératrice même de la série proposée.

Si la série proposée est purement algébiique de l'ordre n — \ , alors

on sait que les différences de l'ordre n — i doivent être constantes, et

par conséquent celles des ordres suivants nulles; en sorte qu'on doil

avoir dans ce cas

D'AI'UKS IJ-:S OnSKKVATIONS. f>45

or c'est aussi ce qui résulte de l'anulyse précédente; car dans ce cas la fraction génératrice de la série aura pour dénominateur f i — a;)", et il est lacile de voir qu'en y faisant les substitutions et les réductions indiquées pour avoir la fraction génératrice de la série des dillerences, cette dernière fraction ne conliciidi;! plus x à son dénominateur, de sorte qu'elle deviendra un simple polynôme du degi-é n— i; d'où il s'ensuil que les termes afléctés de x'\ x"-^\... dans la série des dilférences devront être nuls; ce (jui donnera donc

En général, si la série proposée

qu'on suppose toujours de l'ordre n, contient une partie purement algébrique de l'ordre m — i, le dénominateur de sa fraction génératrice aura nécessairement pour facteur la puissance (i — oo)'", laquelle s'évanouira par la substitution de — ^ — à la place de x; en sorte que la série

des différences se trouvera rabaissée d'elle-même à l'ordre n — m\ mais elle aura au commencement m termes irréguliers, après lesquels elle deviendra régulière de l'ordre n — m, comme on l'a expliqué ci-dessus (n" 18).

Ainsi, en rejetant les termes irréguliers

ï, AT.jr, yj.x\..., A"-'ï.a.'"-',

et divisant les autres par x'" , on aura la série régulière

laquelle sera donc récurrente de l'ordre n — rn ti ne contiendra plus de partie algébrique.