PROPOSITION III
Problème.
21. Étant donnée une suite récurrente dont on connaisse déjà la fraction génératrice, on propose de trouver la fraction génératrice de la même série continuée en arriére.
Soient
j J, rr// jm J(m) T(m+i)
D'APKÈS LES OBSERVATIONS. 549
les termes de la série donnée, et supposons que, en eontinuiint la même série en arrière, on ait les tenues
de sorte que la série continuée des deux cotés soit représentée ainsi
...("•^OT, ("')T,..., ™T, "T, T, T, T, T", T'", . . . , TC"), TC"-^",...,
oii les termes en allant de la i^auche à la droite soient tous formes les MUS des autres, suivant une même loi générale. Soit de plus
{o) -\- (i) X -\- {2) x^ -\- {3) x^ -h . . . -h in) X"
la fraction génératrice de la série
ï + Tx -+- T'x' H- T'"^» + . . . ; la question est de trouver la fraction génératrice de la série
T -<- Tx — "ï X' -4- "''Tx'- -t- "'T^* + . . . .
Pour la résoudre, supposons que la fraction donnée soit décomposée en ces n fractions simples
I — px I — qx I — rx I — SX on aura, pour l'expression du terme général T'"^ x'" , celle-ci
(K//" H- Lq'" -t- M;-" h- N*'" -f- . . . ? x'",
d'où
T"") = K;;'" + hq"' -f- M /•'" -+- N *"' + ... .
Or, comme cette expression de T''"' <loit être générale pour tous les termes de la série, il est visible (jue, poui- avoii' les valeurs des termes
T "T "T {^yr
qui précèdent le terme T**, il n'y aura qu'à faire successivement
de sorte qu'on aura
donc le terme général ''"^Ta?'" de la série
T + T^ + " Tx' + "T.r» -\- . . .
sera représenté par la formule
[Kp-"'-^ Lq-"'+ Mr-"'-f- Ns-'" -^ . ..} x"";
d'où il est facile de conclure que cette série résultera du développement des n fractions
KLM
lesquelles étant réduites à une fraction unique, on aura la fraction génératrice cherchée.
Considérons donc l'équation identique
{o)-h[l)x-i- {2)x^-\- ...-h {/i).t:" \—px I — qx i — rx '"'
et voyons quelle transformation on doit faire subir au premier membre, pour que le second se change en celui-ci
KLM
Je remarque d'abord qu'en faisant x= o on a
fc]=K-4-L-f-MH-...;
ensuite, si l'on iiicl — à la plate de x, et qu'on fasse les réduetions oidi lia ires, on aura
[oj ./•" -h [i J J;"" ' -^- [ij-r""^ -+■ . . . -h [n — i \x Kx Lj: M-t
{o)x"-h (i)af'* -h{7.)x"~^-i- . ..-i-{n) " p — x » y — .r r — .r '"''
retranelions eelte équation de la précédenic, cl l'on aura celle-ci
[o] [o]x" -h [i] ^•"-'-f- [a] X" '-H . ■ . -H [« - i].r Kjj Ly Mr
(o) (o).r"-(- (i)^-' -f- (a)^""*-!-. . .-!-(/?) ~ p — x fj — X r — X
KLM
On aura donc
[oJ [o]j:"-i- [i].r" '^-[a].r"-'-^-.. .-!-[«— i]j: „, .,^ „ , „„ ,
(o) (o)j(;"H-{i).r"-'-H(a)jr"---4-...-h(/i) '
or, taisant a =o, on a ^^=1; donc, retranchant cette équation de la
lO) ^
précédente et divisant le reste par x, on aura, en ordonnant les termes suivant les puissances croissantes de a-,
— [«-!]-*- [/?- a].r + [/^-3]■J^ + . . . + [o]x"-' ^ vj ^ v^Tx + ™Ta^'^-^ '^Tx^ + .... («) -1- [n — \)x-\- (« — a)j:'-i- (« — Z)x^-v- ...-*- (o)j:"
Ainsi le Problème est résolu.
Remarqle I.
22. Quoique l'analyse précédente soit fondée sur la décomposition de la fraction génératrice donnée dans les fractions simples
I — v X I — nx
décomposition qui suppose que les facteurs binômes i — px, \ — qx,... soient tous iiiéi>aux, cependant il est lacihî de se convaincre que notre démonstration n'en subsistei'a pas moins quand il se trouvera des facteurs doubles-, ou triples,...; car on sait que le cas des facteurs égaux
562 FORMATIOiN DES TABLES DES PLANÈTES
peut toujours se ramener à celui des facteurs inégaux, en regardant les quantités égales p, q, . . . comme infiniment peu différentes entre elles; de sorte que, comme la conclusion à laquelle nous sommes arrivés est indépendante de la forme même des facteurs i —px, i— qx,.,.^ il s'ensuit qu'elle aura lieu, soit que ces facteurs soient tous inégaux ou non.
Remarque IL
23. J'appellerai, pour plus de simplicité, polynômes contraires ceux qui, étant du même degré, ont aussi les mêmes coefficients, mais disposés en sens contraire.
Ainsi les deux polynômes
(o) + (i)^ -t- (2)^^-f- I 3)a:3 -4- . . . -f- (/l)^", (/i) + (n — i)x -h (n — 2')^- -1- [Il — 3)x' -t-. . . + (o) (^)''
seront des polynômes contraires.
Donc, si l'on a
ce qui est la propriété des polynômes qu'on appelle réciproques (n" 6 j, il est clair que les deux polynômes contraires seront les mêmes; vice versa, il est visible que tout polynôme, qui sera le même que son polynôme contraire, sera nécessairement y"eci/?^o^^^e.
De ces délinilions des polynômes contraires et réciproques, il est facile de déduire les propriétés suivantes de ces mêmes polynômes :
i" La somme de deux polynômes contraires est un polynôme réciproque du même degré.
Et, en général, si P et Q sont deux polynômes contraires du degré n, le polynôme P + Qa:""' sera un polynôme réciproque du degré n-^m.
2^ Le pi'oduit de deux polynômes contraires est un polynôme réciproque d'un degré double; ainsi tout polynôme réciproque d'un degré pair peut être regardé comme le produit de deux polynôines contraires.
D'APHÉS LKS OBSERVATIONS. 558
'^" La somme ou la diirérciicc de deux polynômes réciproques du même degré est aussi un polynôme réciproijue d'un pareil degré.
Et le produit de deux polynômes ré('i|)ro(|ues de (juehjue degré que ee soit est toujours un polynônn.' réeiprocjue d'un degré égal à la somme des degrés de ces polynômes. De même le (juotienl de deux polynômes réciproques, lorsque l'un est divisible par j'aulre, sera un polynôme réciproque d'uji degré égal ;i la dillerencc de ceux des deux polynômes.
4" Toiil |)olynôme récipro(|(H' (riiii degré impair est divisible par I -\- X, et le (juolienl sera aussi un polynôme réciproque; car il est visible qu'en faisant oo = — \ les deux termes extrêmes du polynôme se détruiront l'un l'autre, ainsi que les autres termes é(iuidistants des extrêmes; et, comme i -+- oo est lui-même un polynôme réciproque, il s'ensuit que le quotient le sera aussi.
5^ La différence de deux polynômes contraires est divisible par i —x,
et le (juotient est un polynôme réciproque; car soient P et Q deux
polynômes contraires de quelque degré (jue ce soit, il est clair qu'en
faisant x = i on aura V = Q ou P — Q = o; donc P— Q sera divisible
par i—x. Maintenant, si l'on multiplie la dilTérence P— Q par i — x,
on aura
qui sera, par conséquent, divisible par (i — x)-; or P-hQx est un polynôme réciproque, et Q-i-Pa? en est un aussi du même degré (i^j; donc la différence P-hQa; — Q — Px sera un polynôme réciproque (3"); d'un autre côté,
( I — xY:= l — 2X -T- X-
est aussi un polynôme réciproque; donc le quotient de ces deux polvnômes, c'est-à-dire, le quotient de P — Q par i — x, sera encore un polvnôme réciproque (3^).
On peut démontrer de la mênjc manière que P — Q^'" sera divisible par I — X, el que le quotient sera un polynôme réciproque.
Ces propriétés des polynômes contraires et des polynômes réciproques vont nous servir pour tirer dilférentes conséquences de la solution du Problème précédent.
