VI. -TO

Corollaire I.

24. Soit -p la fraction génératrice de la série récurrente de l'ordre n

P étant un polynôme du degré n, et M un polynôme du degré n — \ .

Que Q soit le polynôme contraire à P, et N le polynôme contraire à M,

N on aura — jr pour la fraction génératrice de la série

( B ) ^T + "T X + '"T x^ 4- ''T x^^^'ïx'^

Donc, si l'on ajoute ensemble les deux séries (A) et (B), ou qu'on les retranche l'une de l'autre, on aura la nouvelle série

dont la fraction génératrice sera égale à

Supposons que le polynôme P soit le produit d'un polynôme réciproque n d'un degré quelconque pair 2v par un autre polynôme P', qui sera par conséquent du degi'é n — 2v, en sorte que l'on ait

p = np'.

Soit Q' le polynôme contraire à P'; comme n est un polynôme réciproque, il est clair qu'on aura

Q = nQ'.

Ainsi l'on aura

np' ^nQ'

r)'AI»RÈS LKS OBSERVATIONS. 555

c'esl-à-diie, vu icduisjÉiil ;ui mèiiie dénominateur,

MO^=pNF

pour In l'i;ution génératrice de la série (Cj.

Or, eonnnc M cl \ sont deux polynômes contraires du degré n - i , et P', Q' deux polvnùines aussi contraires du degré n — iv, et que d'ailleurs Il est un polynôme réciproque du degré 2v, il s'ensnil de ce qu'on a démontré dans le n"* 23 ;

i" Que le dénominateur nP'Q' de la IVaction dont il s'agit sera un polynôme réciprocjuc du degré pair

2" Que le numérateur MQ' rp NP' de la même fraction sera égal à un polynôme réciprotjue du degré pair 2 ht — v— 1), multiplié par 1 =p.r.

Corollaire II.

25. Si l'on ajoute à la série (A], ou qu'on en retranche la série ;By multipliée par x, il viendra celle ci

{ D) T + (T' ±T) ^ + (T" dz"T ) x' -h (T'" dt"T) x' + . . . ,

dont la fraction génératrice sera donc égale à

Soit, comme ci-dessus,

Pr=nP' ei Q = nO';

on aura donc

M Njr , . ,. MQ'=r:NP'.r

ffF + ïfô^' C'^^t-a-d.re, nFQ'

pour la fraction génératrice de la série (D); d'où l'on voit :

i" Que le dénominateur de cette fraction sera le même que celui d«« la fraction génératrice de la série (C), c'est-à-dire, un polynôme réciproque du degré pair 2 (n — v) ;

2" Que, si l'on prend le signe supérieur, la fraction aura pour numérateur un polynôme réciproque du degré 2(/i — v — i) multiplié par i—x^; car ce numérateur, étant égal à MQ'— NP'^, sera représenté par un polynôme du degré 2{n — m) divisible par \ — x, et qui, par cette division, deviendra un polynôme réciproque du degré 2{n — v) — \ (n*'23, 5"); or ce dernier polynôme, étant d'un degré impair, sera encore divisible par i ■+- x, et deviendra, par cette division, un polynôme réciproque du degré 2(/i — v) — 2 (numéro cité, 4"); donc, etc.;

3" Que, si l'on prend le signe inférieur, le numérateur de la même fraction sera un polynôme réciproque du degré 2(71 — v), c'est-à-dire, du même degré que son dénominateur; ce qui est évident par ce qu'on a dit dans le n** 23 (i**). Donc, si l'on retranche de la fraction le premier terme T de la série, la fraction restante, après avoir réduit au même dénominateur-, aura encore pour numérateur un polynôme réciproque de même degré (n°23, 3°); mais ce numérateur doit être divisible par^c; donc il faudra que son premier terme, où x n'entre pas, soit nul; par conséquent le dernier terme, qui renferme a?^*""'^ et qui a le même coefficient que le premier, sera nul aussi; effaçant donc les deux termes extrêmes du numérateur, et divisant les autres par x, on aura un polynôme réciproque du degré 2 (n — v) -- 2 pour le numérateur de la fraction génératrice de la série

Corollaire III.

26. Donc, si l'on divise la série fC) du Corollaire I par 1 qz r, ou, ce qui revient au même, qu'on la multiplie par la série

I =b X + ,r- zt ,r^ -t- ^ ' ± . . . ,

on aura, en prenant successivement les signes supérieurs ou les inférieurs, deux séries dont l'une sera

dans laquelle

et dont l'autre sara

dans laquelle

Et ces deux séries auront l'avantage de tirer leur origine de fractions génératrices qui auront pour dénominateur un même polynôme réciproque du degré pair 2{n — v — i) et pour numérateur des polynômes aussi réciproques et du degré 2( n — v — i).

De même le Corollaire II fournira deux autres séries qui auront les mêmes propriétés, et donf l'une sera la série (D), prise avec les signes supérieurs et divisée par i — x^, ou, ce qui revient au même, niultij)liéc par la série

et dont l'autre sera la même série (D), prise avec les signes supérieurs et divisée par r, après en avoir retranché le' premier terme T. Ainsi la première de ces séries sera de la forme

(G) t -h t'x -^- t"x' + t"'x' ->r f^X' -h rx'-h. ..^

où

et la seconde sera de la forme

Ht ( / ) H- • t' :X -\- ( t" ) X' -1- , /'" ) .r^ H- f /'^ , x" -^\t\x'-Jr.

(rj==T'^ — '^'T,

On a donc par là le moyen de transformer une série récurrente d'un ordre (|ueiconque n en d'autres de l'ordre 2[n — v) qui aient les conditions dont on vient de parler. Or, quoique ces transformées soient en elles-mêmes d'un ordre supérieur à la proposée, elles peuvent néanmoins être abaissées à un ordre inférieur; car nous allons faire voir, dans le Problème suivant, que toute série récurrente dont la fraction génératrice a pour numérateur et pour dénominateur des polynômes réciproques de degrés pairs peut être transformée en une autre aussi récurrente, mais d'un ordre moindre de la moitié; d'où l'on pourra conclure que les séries transformées de l'ordre 2 (/i — v) seront réductibles à d'autres de l'ordre n — v, lequel, tant que v n'est pas nul, sera toujours moindre que celui de la série primitive proposée.

I)'\IM\ÈS LES OlJSEHVATiUiNS. 559