Soil proposée la série

i-\- 3 ^ 4- 5 o:^ + 6 ^'^ -t- 7 .îr* 4- 9 ^= H- 1 1 ^* + 12^'-+-. . . ;

on trouvera que la transformée sera

laquelle, à commencer du second terme, est une progression géométrique dont la raison est 2; de sorte qu'on aura sur-le-champ la formule

I H •) c est-a-dire,

iy I — 2 j

pour la fraction génératrice de cette dernière série; d'où l'on voit que cette série, quoique du premier ordre seulement, est cependant essentiellement une série du second ordre, mais dans laquelle le coefficienl du terme y- dans l'échelle de relation est évanoui (n° 18); de sorte (|ue la série proposée sera nécessairement du quatrième ordre.

En effet, mettant — - — ; à la place de j, et divisant ensuite la friiction

parv 1 -h a?^, on aiir;i cclloci

pour la fraction génératrice de la série primitive

et il est clair par là (jiie si l'on avait voulu opérer immédiatement p;u' cette même série, suivant la méthode de la Proposition II, il aiiiail lallii procéder jusqu'à la quatrième division avant que l'opération fût terminée.