PROPOSITION V

Problème.

30. Les mêmes choses étant supposées, comme dans la Proposition IV, on demande une méthode plus simple que celle de la Proposition II, pour trouver immédiatement la fraction génératrice de la série proposée .

On voit, par l'analyse du Problème précédent, que la fraction génératrice de la série (E), laquelle a pour dénominateur un polynôme réciproque du degré 2|j., et pour numérateur un polynôme réciproque du degré lu. — 2,.étant multipliée par i h- a?^ peut se transformer, par la substitution

en une autre fraction qui ait pour dénominateur un polynôme en v du degré ;x, et pour numérateur un polynôme en y du degré |u — i .

Or il est clair que, par la méthode de la Proposition II, cette dernièn' fraction peut se réduire en une fraction continue de la forme

p + qy+ —^

,(i^-«) i fld»-")!

Donc, si l'on remet dans cette expression ——, à la place de y, et

qu'on la divise par i -^x^, elle deviendra égale et identique à la fraction génératrice de la série donnée (E).

Or il est facile de voir que, par ce moyen, la fraction continue précédente deviendra celle-ci

/j[l-hx^)-i- qx

/j"[l-i-X^) -4- fj"x

D'où je conclus que la série (E) peut se réduire elle-même aussi en une fraction continue de cette forme, c'est-à-dire, dans laquelle les quotients provenant des divisions successives, au lieu d'être simplement de la forme

p-^qx, i)'-\-q'x, p" -\- q"x,. . .,

comme dans la Proposition II, soient de la forme

et comme les iQvmes p x"^ , p' x- , p"x'^,..., dont ces quotients diffèrent de ceux de la Proposition citée, n'influent point, dans l'opération de la division, sur les termes précédents /? 4- qx, p -^ q'x,..., il s'ensuit que, pour réduire la série (E) en une fraction continue de la forme cidessus, il n'y aura qu'à faire sur cette série les mêmes opérations que dans la Proposition II, avec cette seule différence qu'après avoir trouvé les deux premiers termes de chaque quotient il faudra y ajouter encore le premier terme multiplié par x"^, et tenir compte ensuite de ce nouveau terme dans la soustraction. De cette manière, l'opération se terminera après fx divisions, au lieu qu'en employant la méthode de la Proposition II elle exigera 2i± divisions.

D'APHÈS LES OBSERVATIONS. 507

Corollaire.