PROPOSITION VI
Problème.
Etant donnée une suite de nombres dont la loi de la progression soit inconnue, on propose de trouver si chaque terme de cette suite peut être représenté par la somme d'un certain nombre de sinus d'angles qui varient d'un terme à l'autre par des différences constantes quelconques, chacun de ces sinus étant d'ailleurs multiplié par un coefficient constant quelconque.
Les principes posés ci-dessus fournissent différentes manières de résoudre ce Problème.
Première Solution.
35. De ce que l'on a démontré dans les n"* 5 et 6, il s'ensuit que. pour que la suite proposée soit de la nature dont il s'agit, il faut qu'elle soit récurrente d'un ordre pair, et que de plus la IVaction généralrice ail
pour dénominateur un polynôme réciproque d'un det^ré pair, lequel soit résoluble en facteurs trinômes de la forme
I — 2^ cosa H- ar% I — 2^ cos[3 -\- x\ . . . .
Ainsi, pour résoudre le Problème proposé, il n'y aura qu'à l'aire usage de la métbode générale de la Proposition II, et chercher par son moyen ia fraction génératrice de la série. Cette fraction, si la série en a une, étant trouvée, il n'y aura plus qu'à voir si elle a pour dénominateur un polynôme qui ail les propriétés dont nous venons de parler; c'est de quoi on pourra s'assurer aisément par les formules du n'' 6; car, d'abord, il faudra qu'en égalant le dénominateur à zéro on ait une équation réciproque de la forme
ensuite il faudra que la transformée
r + [(Ol^;- + [(2)]z- -f- [(3)] -'-3 + . . .+ [(v)] = o
ait toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre les limites — 2 et + 2. On trouve, dans les Mémoires' de l'Académie de Berlin, pour les années 1767 et 1768 (*), des méthodes directes et faciles pour reconnaître si cette condition a lieu, et pour trouver en même temps la valeur de chaque racine aussi approchée que l'on veut.
Supposons que ^7, p, 7,... soient les racines dont nous parlons; on fera
cosa=— 5 cosp=-i COSy =-■)■■ ■■,
et l'on en conclura sur-le-champ que le terme général T-'"' de la série proposée sera de la forme
A sin(a + ma ) -h B sin(6 -+- m|3) + C siii , c + my) -+-...,
m étant l'exposant du rang, et A, B, C, . . . , a, 6, c, . . . des constantes qu'on déterminera aisément par les méthodes connues.
(*) OEuvres de Lngrange, t. II, j). SSg et 58 1.
En cfTct il est clair, par les formules du n" 6, que le dénominateur de l;i IVaction génératrice aura alors pour lacliîur les trinômes
I — "f.x cosoc -h x', I — 2JC ros(3 4- x^, . . . ,
en sorte qu'on pourra, par les niélliodcs connues décomposer celle fraction en autant de Irai lions partielles, telles qnc
F + Go: H-f-I^
I — a^ccosa -+-^'" I — '?.xcos^-\-x'
Or on sait, et il est d'ailleurs très-facile de démontrer que toute frac
lion de la forme
I — 2:r cosa + :c*
donne une série dont le terme général est
sin(m 4- i)a
sina '
donc la fraction
F+ Go;
I — 2X cosa -h ar'
produira une série qui aura pour terme général la quantité F sin ( m -I- I ) a 4- G sin m a
sina mais
sin m 4- I ) a = smmx cosa 4- cosma sin x;
donc, si l'on fait
,. , . Fcosa4-G
t" = A sma, : = A cosa,
sina
et par conséquent
Fsma , ^F'4- 2FGcosa4-G'
r cosa 4- G sina
le terme général de la série provenant de la fraction
I — 2^ cosa H- x""
se réduira à la forme
A sin(« -f- moL] x'" .
Ainsi l'on connaîtra les valeurs des constantes A et a, et l'on déterminera de même celles des constantes B et è, à l'aide des quantités H, I, et sin|3, cos/3; et ainsi des autres.
Deuxième Solution.
36. Puisque la question est de savoir si la suite proposée résulte d'une fraction génératrice, dont le dénominateur soit un polynôme réciproque d'un degré pair 2v, supposons que cela soit ainsi, et il est clair qu'on aura dans ce cas f n° 24)
par conséquent
D'où il s'ensuit que chacune des séries transformées du n'' 26 sera de l'ordre 2(2v — v) = 2v, c'est-à-dire, du même ordre que la proposée; en sorte que, par la méthode de la Proposition IV, on pourra les transformer de nouveau en d'autres qui ne seront que de l'ordre v, et par conséquent d'un ordre moindre de la moitié de celui de la série proposée; moyennant quoi la recherche de la fraction génératrice deviendra beaucoup plus simple et plus facile.
Soit donc T un des termes du milieu de la suite proposée, et soient
les termes qui suivent celui-là,
ceux qui 1(^ précèdent. On formera, par les formules du n'' 26, les deux
D'APRÈS LKS onSKin ATIONS. 577
séries transformées (Ej et (F;, ou bien l(!s deux autres (G) et (H), qu'on rcpi-ésentcra, comme dans le numéro cité, de cette manière
ensuite on transformera, par les formules du n" 27, ces deux séries dans ces deux-ci
(K) (Q^^^9')y^^e")r + {0"')r^ + i9^nr' + ---'
et l'on opérera sur l'une ou l'autre de ces deux dernières séries, suivant la méthode de la Proposition II, pour trouver sa fraction génératrice, si elle en a une. Cette fraction étant trouvée pour l'une des deux séries dont il s'agit, il sera facile d'avoir la fiaction de l'autre série, puisque les deux fractions génératrices doivent avoir le même dénominateur (sur quoi voyez la Remarque I, au n" 38j, car la difficulté ne consistera qu'à trouver le numérateur de la fraction inconnue; et pour cela il est clair qu'il n'y aura qu'à'multiplier la série elle-même par le dénominateur déjà trouvé, et prendre pour numérateur autant des premiers termes de ce produit qu'il y en a dans le dénominateur, moins un, les termes suivants devant d'ailleurs s'évanouir d'eux-mêmes, ce qui peut servir de confirmation à la bonté du calcul.
Connaissant ainsi les fractions génératrices des deux séries (I) et (Kj, il faudra examiner d'abord si leur dénominateur commun, étant égalé
à zéro, donne, en y faisant r= -■, une équation en z de la même nature que celle du n" 35, c'est-à-dire, dont les racines soient toutes réelles inégales, et comprises entre les limites 2 et — 2, en sorte qu'on puisse les supposer égales k
2C0sa, 2cos(3, 2cosy,...,
auquel cas on pourrait décomposer les fractions dont il s'agit dans les VI. 73
fractions partielles
I — 2>-cosa I — 2;cosp I— 2vcosy (F) . iG) , (H)
I — 2/ cosa I — 2>' cosj3 I — 2}' cosy
On mettra ensuite clans ces fractions à la place de y, et on les di-
visera par i + ^-, ce qui les changera en celles-ci
I — 2xcosa-+-x- I — "xx CQ<s,p -{- X- I — 2^7 cosy H- :r:^
I — 2xcosa + ^^ I — 2^ cos(3 -+- a;^ i — 2^ cosy + ^^ qui seront par conséquent égales aux séries
Il faut maintenant distinguer deux cas, suivant que ces séries répondent aux séries (E) et (F), ou aux séries (G) et (H) du n^ 26.
Dans le premier cas, il n'est pas difficile de voir que si l'on multiplif la série
t-\rt'x-^t"x''^l"'x''-^...
par I — .r, et la série
par I H- .r, et qu'on les ajoute ensemble, il en résultera celle-ci
On aura donc dans ce cas
F-t-(F) F-(F) G + (G) G-iG)
:— '^.r cosa-f- JT'' i — 2 .r cos S -4- a;^
D'APRÈS LES OnSKKVATlONS. 879
d'où l'on tirera aiséinciit rcxjucssion du iciiiic général V"\ comme dans la soiulion préfédcnlc.
Dans le second cas, la série
l -h l'a; ^ l" X' -(- l'" x'' + . . . , ét;int niulli|)li(''(' par i — x- cl cnsuilc ajoutée à la série ^
multipliée para:, donnera iclUî-ci
T + 2 T' X -+- 3. T'x' -f- x T'x^ + . . . , en sorte (jue l'on aura
Or, si l'on fait dans cette équation a: = o, on a
Donc, ajoutant cette équation à celle-là, il viendra
I — 2 or eus a -f- x'' I — 2 X COS [3 -H .r'
d'où il est facile de trouver, pour le terme général T''"\ l'expression
r cosma H : sinma + (j cos/«p H ; — r- sinmS -t- . . .,
2iiina 2sinp ^
qu'on réduira aisément à la forme
A sin(a -i- my. -t- ii siii (6 -f- /?jj3) h- . . .,
en faisant
2Fsina . /.,
4sin'(
iang6 = --^, B = i/G'H- /. ., (G) V 4sin'(3
Troisikme Solution. 37. Ayant noiïfmé, comme ci-dessus,
les termes de la suite proposée, on en formera ces delix séries ('24j
iC)
( (T — T) + (T' - "T) X + (T" — "'T)x"- + f T'" - -T) .r' + . . . , ou bien ces deux-ci (n° 25j
ensuite on opérera sur une quelconque de ces quatre séries, suivant la méthode de la Proposition V, en ayant seulement attention (32) de prendre pour premier dividende, au lieu de Tunilé, la quantité i — x si l'on choisit la première des deux séries (G), la quantité i H-a; si l'on choisit la seconde de ces séries, ou la quantité i — oc' si l'on veut opérer sur la première des deux séries (D); mais, à l'égard de la seconde des séries '^Dj, il ne faudra prendre que l'unité, comme à l'ordinaire.
On pourra donc trouver, par cette méthode, la fraction génératrice de la série, si elle en a une; et pour cela il faudra se souvenir de multiplier ensuite le numérateur de la fraction qu'on aura trouvée directement, par la même quantité qui aura servi de premier dividende, pour avoir la véritable fraction génératrice cherchée (numéro cité).
Ayant trouvé ainsi la fraction génératrice de l'une des deux séries (C) ou (D), il faudra chercher encore celle de la série compagne, et pour cela on pourra, si l'on veut, s'y prendre de la même manière; mais, comme on sait d'avance que ces fractions doivent avoir le même dénominateur, il suffira de chercher le numérateur de la nouvelle fraction, en multipliant la série correspondante par le dénominateur déjà trouvé, et ne prenant dans le produit qu'un nombre de termes moindre d'une
D'APUKS I.ES OBSKHVATIONS. 581
uiiilé (jiic celui (lu (léiioiii'malcui'; ou |M»urr;i inruic se contenter de clierclier ainsi les v premiers termes du produit (^v -h i étant supposé le nombre des termes du dénominateur); car, comme on sait que les deux séries (C) doivent avoir pour numérateurs de leuis IVactions génératrices des polynômes réciproques du degré 2V — 2 uiullipliés pai- 1 — x ou par i-hx, il s'ensuit que la seconde des séries (Cj aura pour numérateur un polynôme réciproque du degré 2v — i, et que la première aura pour numérateur un polynôme du mémo degié 2v — i, dont les termes extrêmes, ainsi que les équidistants des extrêmes, auront les mômes coefficients, mais avec des signes contraires, polynôme qu'où pourra apjx 1er anti-réciproque ; de même, puisque la première des deu\ séries (D doit avoir pour numérateur de sa fraction génératrice un polynôme réciproque du degré uv — 2, multiplié par 1 — x-, il est facile de voir (jue ce numérateur ne sera autre chose qu'un polynôme anti-réciproque du degré 2v; et, quant à la seconde des mêmes séries fD), elle aura naturellement pour numérateur un polynôme réciproque du degré 2v — 2. D'où l'on voit qu'il suffira toujours de connaître la première moitié des termes du numérateur cherché, puisque les termes restants seront les mêmes avec les mêmes signes, ou avec des signes contraires. Sur quoi voyez encore ci-dessous la Remarque II (39).
Dès qu'on connaîtra les fractions génératrices des deux séries C) ou (D), on pourra achever la solution du Problème, comme dans le numéro précédent; car il est visible qu'en faisant
on pourra mettre les deux fractions génératrices des séries ^C) sous la
forme
cl les deux fractions génératrices des séries (D) sous la forme
TT^ y' i-f-^' y '
V, (V) et Y étant des polynômes en j, dont, les deux premiers seront du
degré v — i, et le dernier du dep,ré v; et il est facile de se convaincre
que les fractions ^ et -rr- ne seront autte chose que les fractions génératrices des séries (I) et (K) de la seconde solution; en sorte qu'en opérant sur ces fractions, comme nous l'avons enseigné dans cet endroit, on en tirera, pour l'expression du terme général T<'"^ les mêmes formules que nous avons trouvées à la fin de la Solution précédente, en remarquant que le premier des deux cas que nous y avons distingués répond à celui où l'on aura employé les séries (C), et que le second répond à celui où l'on aura fait usage des séries (D).
Remarque l.
38. Nous avons dit, dans la seconde solution du Problème précédent, que les fractions génératrices des deux séries (I) et f K) doivent avoir le même dénominateur. Cela est vrai, en général, comme on peut s'en convaincre en relisant les n°* 24, 25 et 26; mais il peut arriver que le dénominateur ait un facteur commun avec le numérateur d'une de ces fractions, auquel cas ce facteur s'évanouira de lui-même, et la fraction deviendra plus simple. Dans ce cas donc, si l'on multiplie par ce dénominateur l'autre fraction, on aura encore après la multiplication une fraction dont le numérateur sera le même qu'auparavant, et dont le dénominateur sera le facteur commun qui s'était évanoui dans la première fraction. Par conséquent cette fraction donnera aussi une série récurrente, mais dans laquelle il y aura au commencement autant de termes irréguliers qu'il y a d'unités dans le degré du polynôme par lequel elle aura été multipliée (17). D'où il est facile de conclure que, si après avoir trouvé la fraction génératrice de l'une des séries (I) ou (K) on multiplie l'autre série par le dénominateur de cette fraction, et qu'après avoir pris autant de termes de ce produit qu'il y en a dans le multiplicateur, moins un, on trouve que les termes suivants ne sont pas nuls, ce sera une marque que la fraction trouvée est dans le cas
D'APRES LES OBSEHVATIONS. 583
dont nous venions de icirlcr; alors il faudra considérer ces derniers termes, el, aprrs les avoir divisrs par la piiissauce i\ii y (|ni iiiiilli|die le premier d'entre eux, oti eherchera de nouveau, j)ar la mélliode générale, la fraction gcnéralriee de la série qui en est formée; on multipliera ensuite celte fraction par la puissance de j, par laquelle on avait divisé les termes de la série, et l'on y ajoutera les premiers termes dont on a parlé; on aura ainsi, après avoir réduit le tout au même dénominateur, une fraction (jui, étant encore divisée par le dénominateur dit la première fraction ti'ouvée, sera la véritable fraction général lice de l'autre série en (jueslion.
Remarque II.
39. Il est visible (jue la môme; difficulté, qui vient de faire l'objet de la Remarque précédente, pourra se rencontrer aussi dans la troisième Solution; el cela arrivera lorsque les termes du produit de la série par le dénominateur trouvé ne fornu'ront pas un polynôme réciproque ou anti-récipro(jue, comme nous l'avons supposé dans cette Solution. Dans ce cas donc, il faudra chereber de nouveau la fraction génératrice de la série formée par le produit dont nous parlons; mais, comme cette série contiendra au commencement autant de termes irréguliers, moins un, qu'il y en a dans le dénominateur déjà trouvé, il faudra se débarrasser de ces termes par la métbode du n" 34. Voici donc comment on s'y prendra. Ayant trouvé la fraction génératrice de l'une des deux séries (C) ou (D), pour avoir celle de la série compagne, on multipliera cette série par le dénominateur de la fraction trouvée, et, retenant les premiers termes de ce produit, on retrancbera des termes suivants ce qu'il faut pour (ju'il en résulte un polynôme réciproque ou anti-réciproque de la forme et du degré dont devrait être le numérateur de la fraction cberchée, si elle avait le même dénominateur que l'autre fraction. On divisera tous les termes de cette partie retrancbée par la puissance de a- (jui en afiecte le premier terme, et l'on opérera ensuite sur la série résultante comme on aurait opéré sur la série elle-même, si l'on en avait
o8i FORMATION DES TABLES DES PLANÈTES
cherché direelement la fraction génératrice sans supposer son dénominateur connu.
Dès qu'on aura trouvé hi Traction génératrice de la série en question, il n'y aura j)lus (ju'à la multiplier par la même puissance de x, par laquelle on avait divisé auparavant tous ses termes, et à \ ajouter ensuite le polynôme réciproque ou anli-réciproque dont on vient (h^ parler; la fraction qui en résultera, après avoir réduit le tout au même dénominateur et multiplié de plus ce dénominateur par celui de la première fraction déjà trouvée, sera la fraction génératrice de la série compagne de la première.
Cette l'ègle se démontre facilement par les principes du numéro cité; nous ne nous y arrêterons pas, d'autant que dans la pratique il paraît beaucoup plus utile d'employer toujours la méthode directe pour l'une et l'autre série; car, quoique de celle manière le calcul devienne un peu plus long, il y a néanmoins cet avantage que l'opération qu'on fera sur la seconde série servira de preuve à celle qu'on aura faite pour la première, puisqu'il faut nécessairement que le dénominateur de la fraction génératrice de celle-ci soit le même que celui de la fraction génératrice de celle-là, ou qu'il en soit du moins un diviseur exact.
Conclusion.
40. Comme la troisième Solution mérite d'être employée de préférence, à cause de sa simplicité et de sa facilité, je vais, pour la commodité de ceux qui voudrDul en faire usage, récapituler en peu de mots les procédés qu'elle demande. Pour cela je distinguerai les deux cas qui répondent aux séries (C) ou (D), sur lesquelles on est libre d'opérer : ce qui fournira deux méthodes différentes de résoudre le Problème.
Première Méthode.
Soit T un des termes du milieu de la série proposée; T', T", T", ...
les ternies suivants, et 'T, "T, "ï, '"ï,... les précédents; on en l'oiinera d'abord la série des sommes
et, pour rendre le calcul pins commode, on commencera par diviser tous les termes de cette série par son premier terme ï H-T, que j'appellerai en général p, en sorte que la série résultante que je nommerai s ait pour premier terme l'unité.
Cette préparation faite, on divisera i —oc par 5, et, au lieu de 1 , on écrira d'abord i -h jc^ dans le quotient; ensuite, après la multiplication et la soustraction ordinaires, on continuera la division, et il viendra dans le quotient un terme de la forme qx\ après quoi on aura un reste dont le premier terme sera de la ^orme p'œ-. '
On divisera ce reste par son premier terme p'x"^, pour avoir un polynôme dont le premier terme soit l'unité, et qu'on nommera 5'; après quoi on divisera s par s\ et, au lieu de i, on écrira de nouveau i -^ xau quotient; ensuite, continuant la division comme à l'ordinaire, on aura dans le quotient un terme tel que q'x, et il viendra un reste dont le premier terme sera de la forme p"x'-.
On divisera donc aussi ce reste par son premier terme p"x- , et l'on désignera le polynôme résultant par 5"; on divisera maintenante' pare", en écrivant d'abord au quotient i-\-oc^ au lieu de i ; on continuera la division, et l'on aura dans le quotient un nouveau terme de la forme q"x; ensuite de quoi le reste aura pour premier terme p'x"^.
On opérera sur ce reste comme sur les précédents, et l'on continuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste qui soit exactement ou à très-peu près nul; dans le premier cas, on aura une solution exacte; dans le second, on n'en aura qu'une approchée.
Maintenant, soit n le nombre des quotients trouvés, en sorte que l'on ait les deux suites de nombres
p, p', p", />'",..., /?f«-'), et q, q\ q" , </'",..., q'"-'^; VI. 74
on fera
=: I | (^(«-i)-|-^(«-2; +^(«-3))^+ (^(«-')^("-2)H- y(«-Ogf(«-8) + ^jf("-2)^(''-^))j' • )
Et l'on considérera la fraction ^%>— ' dont le dénominateur d;*"^ sera
toujours un polynôme en jdu degré 7i, dans lequel le premier terme sera l'unité; en sorte qu'il pourra être résolu en n facteurs simples de la
forme
I — nrj, i-pj,....
On cherchera donc ces facteurs par les méthodes connues, et ensuite
on décomposera la fraction elle-même en autant de fractions simples,
telles que
i — mj- i — pr
Ces opérations achevées, on reprendra la série proposée, et l'on en formera la série des différences
([u'on traitera de la même manière qu'on l'a fait à l'égard de la série précédente des sommes, avec cette seule différence que, au lieu de prendre I — X pour premier dividende, il faudra prendre maintenant i -h x. En suivant donc les mêmes procédés, on parviendra aussi à une frac-
lion telle que .,.^„) ? dont le dénominateur {^Y"^ devra être exacte-
ment ou à très-peu près le même que celui de la fraction trouvée d'après la première série; ce qui pourra servir de confirmation l\ la bonté du calcul. Ainsi on pourra décomposer pareillement cette dernière fraction en n fractions partielles de la forme
i — mi- i — pr Ayant trouvé de cette manière les valeurs des quantités
m, p,. . ., F, G,. . ., (F), (Gj,. . ., il n'y aura plus qu'à faire
co.sa=-5 tanga— — , A = - i/F' sec'- H- ( J^ )' coser--,
l ) col F tane- ^
cos(3=£, tang6= "^ ^ ' ^, B = - i /G^séc'^ -+-(G)»coséc'2,
2 (G)coi2-Glangi: 2V 2 2
et l'on aura pour le terme général T''"^ de la série proposée l'expression
suivante
T("')=: Asin(a -1- ma) -f- B sin(6 -f- m[3) -+-. . . .
Seconde Méthode.
On formera d'abord la série des sommes
et l'on opérera sur cette série suivant les mêmes procédés prescrits cidessus, en ayant seulement attention de i)reudre i — x- pour premier dividende. On trouvera ainsi les fractions partielles
On formera ensuite cette autre série des différences
(T' — T) + (ï"-^T)x -f- rr"-"ï)a;^ H- . . . ,
et, la traitant de même que la précédente, mais en prenant simplement l'unité pour premier dividende, on obtiendra pareillement ces fractions partielles
- 5JJ I — pr
ensuite on lera
cosa = -î lang«= -./■...
(F) - V 4sin
cosp=!-, iaugb= .. ^, B=i/G= + ^V^ "^2 " (G) V 4 sin'
et l'on aura, comme ci-devant,
T("'>=: Asin(a + ma) + B sinft -i- m(3) +. • . .
Exemple L
41. Pour montrer l'usage des méthodes précédentes, par un exemple relatif à l'Astronomie, je prendrai la Table de l'équation du temps de Mayer [Tabidœ solares, etc., p. i m), dont la marche est assez irrégulière, et, supposant qu'on ne me donne qu'un certain nombre de termes de cette Table pris à des intervalles égaux, je me propose de trouver la loi de ces termes, et de connaître par là la formule générale d'après laquelle la Table est formée.
Supposons que les termes donnés soient ceux qui répondent à
os, asio", 4** 20°, 7», ysio", ...,
dont l'intervalle constant est 2*^10"^, et, réduisant les minutes en secondes, on aura la série des nombres suivants [voir\ç, Tableau ci-contre, première case)
dont il s'agira de trouver la loi.
Dia
Îd
^^r M ^o n CO *^-r
ce CO CO O lO -
