Lorsqu'on aura ainsi trouvé les (juotients successifs

p -h qx -\- px^, p' -h (j'x -h p'x\ p" -\- <j"x -^- p"x^,. . .,

on pourra en déduire la fraction génératrice de la série j)ar la inétliodc (In n^ 2, en prenant ces quotients à la place des quotienis

p -+- qx, p' -(- q'x, p" -\- q"x, ....

Mais il sera encore plus simple et plus commode de prendre pour quotients les simples quantités

P -^ </ >'» p' + (i'X' p" -^ y"/' • •• • » V'^''"'^ -t- q^'^-'h- ; car, ayant formé par leur moyen la fraction en y, il n'y aura plus qu'à

y substituer -^ à la place de y, et à la diviser ensuite par i -i- x'^,

comme on l'a vu dans le n'* 28.

Remarque \.

32. La méthode précédente est donc très-utile pour reconnaître si une série quelconque proposée est récurrente et due à une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur soient des polynômes réciproques de degrés pairs; car elle réduit à la moitié le nombre des opérations que demanderait la méthode générale de la Proposition IL

Si la fraction génératrice de la série devait avoir pour dénominateur un polynôme réciproque de degré pair, et pour numérateur le produit d'un polynôme réciproque de degré pair par un polynôme quelconque donné, alors on pourrait encore résoudre la question par la même méthode, avec cette seule différence, qu'au lieu de prendre l'unité pour le premier dividende, comme dans les opérations de la Proposition II, il faudrait prendre pour premier dividende le polynôme même donné; car il est visible que, de cette manière toute la fraction continue se trou-

vera multipliée jDar ce même polynôme, et que, par conséquent, la fraction résultant de la réduction de cette fraction le sera aussi. C'est pourquoi, après avoir trouvé dans ce cas les quotients des divisions successives, il n'y aura qu'à chercher, à l'aide de ces quotients, la fraction génératrice de la série, en faisant ahstraction du polynôme donné, et ensuite multiplier le numérateur de cette fraction par le polynôme dont Htous parlons.

Exemple.

33. Je prendrai pour exemple la suite que nous avons déjà examinée dans le n*' 29, d'après la méthode de la Proposition IV, savoir,

i -h 'ix -h 5x' -h 6x^ -{- 'jx* -h ()x^ -\- Il x*^ -\- iix'' -h i3x^ ■+■ i5^^ -+- 17 .r'" + iHx^' -h 19^'^ + -21 x" -h . . . ,

et voici comment je procède.

Je commence par diviser l'unité par la série donnée

que j'appelle s, et je trouve dans le quotient le terme 1 , à la place duquel j'écris tout de suite i + ^-; je multiplie i h- x"^ par la série s, et je soustrais le produit de l'unité, ce qui me donne le reste

Je continue à diviser ce reste par la série s, et il me vient dans le quotient le nouveau terme — 3^, qui, étant multiplié par le diviseurs et soustrait du reste précédent, donne le reste

3^^ -^6x^ -+- 6^^-i- Gx" -+- gx'^ ■+- i2x' -i- . . . .

Ainsi le premier quotient est

Maintenant je divise le dernier reste par son premier terme '5x'^ pour avoir la série

DAPUÈS LKS OBSERVATIONS. 5G«)

que j'appelle s', <'l p;ir hujuello je divise la série s, (jiii a servi de diviseur dans l'opération précédente.

Cette division me donne d'ahord le quotient i, à la place duquel j'écris de nouveau i-+-œ^; la multiidicalion et la soustraction faites, j'ai le reste

X -^- ix- -^ ix^ -{- 2 jf* -f- 3 jfc' -4- 4 -ar" -f- 4 •^' -t- • • • )

qui, étant divisé derechef par la série s, produit dans le quotient le terme x; et ce terme, étant multiplié par le diviseur s et soustrait du reste ()récédent, ne laisse plus rien; d'où je conclus que l'opération est terminée, et que la série proposée est récurrente du quatrième ordre, en sorte que sa fraction génératrice a pour dénominateur un polynôme réciproque du quatrième degré, et pour numérateur un polynôme réciproque du second degré.

En vertu de l'opération précédente, la série proposée s est donc égale à la fraction continue

laquelle, en înettant/ k la place de -^» c'est-à-dire, /(r -f- a;-) à la

place de x, se réduit à celle-ci

savoir

d'où l'on voit que l'expression de s en y est la même que celle en x, en réduisant les quotients

I — 3x -h x^, i -^- X -h X- VI. 72

aux deux premiers termes

I — Sx, I -4- ^,

changeant ensuite x en j, et divisant le tout par i -t- a;-.

Ainsi, pour avoir la fraction génératrice, on considérera les quotients

avec le premier terme 'ix^ du reste de la première division, par lequel ce reste a été divisé; et l'on en formera (n" 13) les quantités

^ = 1, -^'.^i-hx, l"={^-3x)l'-\-3x'l = l-'ix;

on changera^en y dans la fraction ^,y et, la divisant ensuite par i-hx-, on aura celle-ci

pour la fraction cherchée, dans laquelle il n'y aura plus qu'a mettre à la place de j, ce qui la transformera en

[1 -\- X'') [l — IX -\- x^ )'

ce qui s'accorde avec le résultat du n° 29.

Remarque II.

34. Si, dans le cas du Problème précédent, il arrivait que la fraction génératrice eût pour numérateur un polynôme réciproque d'un degré égal ou plus grand que celui du dénominateur, alors la série aurait au commencement un certain nombre de termes irréguliers, comme on l'a vu dans le n*" 18; or, si l'on se contentait d'effacer ces termes, la série restante serait à la vérité régulière, mais elle n'aurait plus une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur fussent des polynômes réciproques de degrés pairs, comme auparavant. Comme il peut

D'APKÉS Li:S OBSERVATIONS. 571

néanmoins (Hrc (|ii('I(|ii('rois ulilc de ronscrvcr ii l;i série cette propriété, nous niions voir ce (|iril r:i(i(lr;i iMirc pour cet cM'cl. Considérons donc l:i fiMclion

\ -\-Bx -hCx-'' -^. . .-h C.T^'-' -h B.r'^'-' H- A^'' l;i(|M('ll(' soil supposée donner naissance à l;i série

Je dis que l'on peut diviseï- le numérateur de cette fraction par son dénominateur, en sorte que tant le quotient que le reste soient aussi des polynômes réciproques de degrés pairs; en effet, si l'on suppose que le quotient soit

P -f- Q^ -f- \{x + . . . + R^2(P-')-2 H- Q^îCt-'î-' -I- P^r^f-O

et que le reste soit

xi[p -h (jx -h rx--h ...-+- /\r2 '-O-^-f- qx'H'-''-' -\- px""-'-'^],

il est facile de prouver qu'en multipliant ce quotient par le diviseur

A H- Bx -f- Cx^ +. . .

et y ajoutant ensuite le reste, il viendra un polynôme réciproque du degré 2(v + p — i); et, comme le nombre des coelïicients indéterminés P, Q, R,... est p, et celui des coelFicients indéterminés/?, q, r, ... est v, le polynôme dont il s'agit contiendra v -f- p quantités indéterminées; par conséquent ce polynôme sera comparable au polynôme

a -\- bx -\- ex' -f- . . . ,

où le nombre des coefficients donnés a, h, c — est aussi v -+- 0.

Maintenant, puisque le reste est divisible par rf, il est clair que les û premiers termes de la série

devront être les mêmes que les p premiers termes du quotient

afin que, ces termes étant efTacés de part et d'autie, ce qui restera soit tout divisible par ac^; on aura donc ainsi

donc, après avoir effacé ce qui se détruit, et divisé le tout par x^, on aura l'équation

p + qx -\- rx' -\- . . .H- rx'^^''- ''>-''-{- qx^(''-'^-' -+- px-'^'"-'^ "* A + B^ + C^- + ...H- Cx'^-^ -+- ïix'-' -+- \x" '

d'où il s'ensuit qu'on aura

P -\- gx -h rx^ + . . .H- r.r=(''-' )---!- qx"^'"^^-' -+- px^f-''-*^ ~" A. -h- hx -h Cx' -h. . .-\- Cx^''-'' + \ix-''-' -+- \x''''

On voit donc par là que, pour rendre la série

régulière, et en même temps originaire d'une fraction qui ait poui numérateui' et pour dénominateur des polynômes réciproques de degrés pairs, il faut non-seulement y effacer les p premiers termes, et diviser les restants par x'^, mais encore retrancher des coefficients de ceux-ci les coefficients de ceux des premiers termes qui sont également éloignés du terme p'^'"^, c'est-à-dire, en retrancher respectivement les coefficients des termes effacés disposés à rebours, à commencer par le pénultième.

Si la série proposée avait pour fraction génératrice la fraction cidessus, mais dont le numérateur fût de plus multiplié par i + œ, ce qui le rendrait un polynôme réciproque du degré afvH-p — ij + i, on

D'APKKS I.ES OBSERVATIONS. 573

trouverait par un raisonnement semblable que, pour débarrasser la série (les termes irréguliers et conserver v.n même temps' à sa fraction génératrice la même forme, il faudrait y effacer les p picmic'i's termes, diviser les autres par 0?!^, et retrancher ensuite respectivement des coellicieiits de ceux-ci ceux des termes effacés, disposés a rebours, à commencer par le dernier; c'est le cas de la seconde des deux séries fC) du n" 24.

Mais, si le numérateur de la fraction au lien d'èln- niulliplié par I H- a? devait l'être par i — x\ ce (jui est le cas de la première des mêmes séries (Cj, alors on opérerait comme dans le cas précédent, mais en (diangeant la soustraction en addition.

lîlntin, si l'on avait le cas de la première des séries (Dj du n" 25, où le numérateur de la fraction doit être niultiplié par i — .■>-, il est facile de voir qu'après avoir effacé les p premiers termes, et divisé les autics par x^, il faudrait ajouter respectivement aux coefficients de ceux-ci, à commencer seulement par le second, les coefficients des termes effacés disposés à rebours.