VI

ajoutant donc à ce logarithme celui de 2/, qui est

on aura le logarithme de 2.ie, savoir

auquel répond le nombre 462.

Ensuite on a

et par conséquent

- = ii''44'7' ;

d'où

logtang - — 9,3i75o4o, el loglang- — = 8,635oo8o, 2 ' 2

à quoi ajoutant le logarithme

log/--^ 4, 1383338,

on aura

auquel répond le nombre 593.

Ainsi les deux premiers termes de notre formule seront

— 462 sin(9 — a) — 593 sin2<p,

où a, longitude de l'apogée, est = ?>^(f ~ 99*^, et ^ est la longitude vraie du Soleil.

Or il est facile de se convaincre que ces deux termes répondent précisément à ceux que nous avons trouvés à posteriori d'après nos calculs. En effet, ayant pris pourT, dans les Exemples ci-dessus, le terme de la Table de l'équation du temps qui répond à la longitude 1 1*10'', et ayant mis 70 degrés de distance entre un terme et l'autre, il est clair que l'on aura, pour un terme quelconque dont le quantième est m,

ainsi roii aura

sin(<p — a)--- — sin(6i"-4- m. 70"),

et

d'où

sin 2 9 =: — sin ( 1 4o° {- m. 1 4o") ;

de sorte ((u'on aura la lormule

462 sin(6i"-f- m, 70") -h 593sin(i4o'' ;- m. i4o";.

Or la formule trouvée à posteriori est

Asin(« -h ma) -+- B sin(6 -h m(3),

c'est-à-dire, h cause de A — 45i, B = 591(0° 42), et « = 69^59', |3 = i4o°i', a = 6o°5o', Z>-=i39«56'(n°4-4),

45i sin(6o"5o' + m.6g"5çi') -\- Sqi sin(i3o"56' -4- m. 140° i'),

laquelle s'accorde, comme l'on voit, à très-peu près avec la précédente. On voit aussi par là que les vraies valeurs de A, B; a, h; a et p sont

A = 462, 6 = 593; « = 61°, bz-1^0"; a --: 70", jj i4o",

d'où l'on peut juger combien les résultats de nos méthodes approchent de la vérité.

A l'égard des autres termes de la formule ci-dessus, il est facile de se convaincre d'abord qu'ils seront nécessairement très-petits vis-à-vis des deux premiers, puisque ces termes décroissent dans des raisons moindres que I : e et I : lang- — • En effet, si l'on suppose

e=r. sine,

on aura

„ sine £

K = = lang - ;

iH-cose 2

or, ayant on trouvera d'où

loge = 8,2253662,

logK = loglang28'23"= 7,9167994,

et de là on aura pour le coefficient de sin2((p — a) le nombre 2, 9; ensuite on trouvera pour celui du terme sin49 le nombre 12, 8; d'où l'on voit que ce dernier terme est le plus considérable après les deux premiers, mais qu'en même temps il est extrêmement petit à leur égard, de sorte qu'on sera en droit de négliger tous les suivants; c'est pourquoi l'équation du temps pourra être représentée avec toute l'exactitude requise par cette formule

— 462"sin(9 — a) — 593"sin2 9 — 3"sin2(cp — a) + i3"sin49«

Remarque III.

45. Puisque, dans les Exemples ci-dessus, on n'a poussé le calcul que jusqu'à la seconde division, et qu'on a ensuite négligé le reste de cette division comme nul, quoiqu'il ne fût que très-petit, il n'est pas surprenant que les valeurs trouvées par ce moyen diffèrent un peu des véritables; en effet on voit, par la formule précédente, qu'outre les deux équations proportionnelles à sin((p — a) et à sinatp, qui sont les plus considérables, il y en a encore deux qui montent à quelques secondes, et dont l'une est proportionnelle à sin/jfp et l'autre à sin2{o — a); il est vrai que cette dernière, outre qu'elle est très-petite, peut être combinée avec la seconde, de manière qu'il n'en résulte qu'une seule de la forme — Psin(p H- 2'^); car, puisque

sin2(9 — a) = sin2(p ces 2 a — 00529 sin2 a.

il n'y aura (jii'ii faire pour cela

V cosp - 5<j3" -r- 3"cos2a, l* sinp ~r- — 3"sin2 5i:,

ce qui donne

3 si 11?, a ' 093 -i- 3 ces 2 a

et '

P r= v/(, 593 )' -1- 2 . 593T3 CCS 2 a -f- 3^ ;

et en faisant le calcul on trouve

/> — 5'24" cl P^ 590; (le sorlc (ju'au lieu du terme (Remar([ue précédente)

593 siii (i4o" -f- m. 140") il faudra mettre celui-ci

590 sin (i4o"5' -1- m. i4o"), ■

ce qui altère un peu les valeurs de B et de b, et les change en celles-ci

B — 590, et /> = i4o''5'.

Il ne restera donc ainsi que l'équation i3"sin/|Ç); et il est clair que, pour trouver cette équation à posteriori, il aurait fallu continuer l'opération et en venir à une troisième division; on aurait pu par là trouver les trois équatio-ns à la fois, avec toute l'exactitude requise; mais il y a ici une observation importante à faire.

Lorsque les termes donnés d'une série récurrente sont exacts et rigoureux, on est assuré de trouver toujours par nos méthodes la vraie loi générale de ces termes; c'est de quoi on a vu plusieurs exemples dans tout le cours de ce Mémoii'e; mais il n'en est pas toujours de même lorsque les valeurs des termes donnés ne sont qu'approchées; car, dans ce cas, il est clair qu'il doit y avoir des limites au delà desquelles l'opération ne saurait être continuée sans craindre de s'égarer; et voici comment on pourra déterminer ces limites.

Supposons, pour plus de généralité, que les termes de la série sur laquelle il s'agit d'opérer soient composés d'entiers et de décimales, el que leur exactitude s'étende jusqu'à la V^'"^ décimale inclusivement; supposons de plus que le premier terme/? de la série, par lequel on divise préalablement tous les autres (n°40) pour avoir la série s, dont le premier terme soit l'unité, supposons, dis-je, que ce terme/? ait une valeur qui soit renfermée entre lo'^ et lo^"^', ce qu'on peut connaître d'abord par la place de son premier chiffre significatif; il est clair qu'après la division par/? les termes de la série s ne seront exacts que jusqu'à la place décimale (X -hz^y^'"^ inclusivement. Ainsi tant le quotient que le reste de la première division ne seront exacts que jusqu'à cette limite.

Soit maintenant le coefficient/?' du premier terme du reste dont nous parlons, renfermé entre lo^' et lo^'"^', et comme ce coefficient doit servir de diviseur à tous les autres, il s'ensuit qu'après la division les termes de la nouvelle série s', sur laquelle on devra opérer, seront exacts jusqu'à la (X -f- 27 -h zs')'^'"^ place décimale, mais non pas au delà, de sorte que le second quotient, ainsi que le second reste, n'auront pas non plus une exactitude plus grande; et ainsi de suite.

De là il sera facile déjuger, dans chaque cas particulier, jusqu'où l'on peut continuer l'opération avec sûreté ; car il est clair qu'il faudra nécessairement s'arrêter dès qu'on sera parvenu à un reste dont les termes ne contiendront plus que des chiffres douteux.

Il est clair que les termes de la Table de l'équation du temps ne sont qu'approchés, puisqu'ils sont exprimés en nombres ronds de secondes; ainsi les séries que nous avons examinées dans les Exemples précédents sont dans le cas dont nous venons de parler. Considérons le cas de l'Exemple II, et l'on aura d'abord X = o; ensuite, dans la première série, on a (à cause de /? = 772) w = 2, d'où il s'ensuit que le premier reste n'est exact que jusqu'à la seconde place décimale inclusivement; de plus (à cause de/?'= — r, 23. . .) on a zs' = o; de sorte que le second reste n'aura aussi que le même degré d'exactitude; mais la plupart des termes de ce second reste ne contiennent de chiffres significatifs que

dans la troisième place; donc ce reste doit être regardé comme douteux, et par conséquent doit être rejeté. On appliquera le même raisonnement aux autres cas, et l'on en conclura que l'on ne doit pas aller au delà de la secontie division, de crainte que l'opération ne donne faux.

Remarqtii: IV.

46. L'inconvénient que nous venons d'exposer empêche donc souvent ({u'on ne puisse trouver directement la loi exacte d'une séiie proposée; c'est pourquoi il est très-important de chercher des moyens d'y remédier. Un des meilleurs est de tâcher de simplifier la série, en la dégageant de la partie dont la loi est déjà à très-peu près connue, ainsi ([u'on l'a déjà fait voir dans la Remarque du n° 20.

Ce moyen réussira d'autant mieux que, comme le dénominateur de la série ne dépend que des angles a, /3, . . . , il suffira de connaître avec précision quelques-uns de ces angles pour pouvoir détruire dans la série la partie qui dépend de ces mêmes angles; or nous avons donné, dans la Remarque I, une méthode pour approcher autant que l'on veut de la vraie valeur de ces angles; ainsi l'on pourra toujours employer avec succès la transformation dont nous venons de parler.

Lorsqu'on emploie la première ou la seconde solution des n°* 35, 36, alors il n'y a qu'à faire usage de la méthode du n° 20, sans aucune préparation; mais il n'en est pas de même quand on emploie la troisième solution du n° 37, ou (ce qui est la même chose) les méthodes du n° 40, ainsi que nous l'avons fait dans les Exemples ci-dessus. Dans ce cas, il faudra modifier la règle du n° 20, d'après ce que nous avons démontré dans le n° 34.

Pour cela on remarquera que les séries des sommes ou des différences, dont il s'agit dans les deux méthodes du n° 40, ont des fractions génératrices dont le dénominateur commun est un polynôme réciproque formé du produit des trinômes

I — 2x cosa -:- X-, I — IX cos^ -\' x^, i — ix cosy -^ x\. . . ,

et dont les numérateurs sont aussi des polynômes réciproques d'un degré moindre de deux unités, mais qui sont en même temps multipliés par I — X, s'il s'agit de la série des sommes de la première méthode; par 1 -+- X, s'il s'agit de la série des différences de la même méthode; et par I —X-, s'il s'agit de la série des sommes de la seconde méthode. Donc, si l'on suppose qu'on connaisse déjà assez exactement la valeur de quelques-uns des angles a, |3, 7,..., et que le nombre de ces angles connus soit p, il n'y aura qu'à former le produit des trinômes correspondants

I — '2:c cosa -t- ^-, i — 2^ cos{3 + x', . . . ,

que j'appellerai, pour plus de simplicité, H, et l'on multipliera parce polynôme connu II la série des sommes ou des différences qu'on se propose d'employer; ce qui donnera, après avoir ordonné tous les termes par rapport aux puissances de x, une nouvelle série, qu'on partagera en deux parties, l'une que je désigne par R et qui contiendra les p premiers termes; l'autre, que je désignerai par a;PS et qui contiendra les termes suivants, lesquels seront tous divisibles par ^p, en sorte que, après cette division, on aura la série S.

On formera maintenant le polynôme contraire au polynôme R (n** 23), et le dénotant par (R) on distinguera quatre cas, suivant la forme de la série que l'on aura employée.

i" Si l'on fait usage de la série des sommes de la première méthode, on ajoutera le polynôme (R) à la série S, et la série résultante S -h (R) sera de la même nature que la série primitive des sommes; mais elle en sera plus simple, puisqu'elle sera débarrassée de la partie qui dépendrait

des angles connus a, /3, On traitera donc cette nouvelle série suivant

les règles prescrites pour la série des sommes de la première méthode,

et 1 on en déduira la traction en y, ^ ' ^^^ -, que nous désignerons ici

par ^- Ayant trouvé cette fraction en j, pour avoir celle de la série primitive, on prendra la différence R — (R)a;? des deux polynômes R et (R)a;^, la({uelle sera nécessairement divisible par i — x (n^23, 5°), et

après la division on aura un polynôme rcciproqui; du degré p — 2, (jue nous désignerons par P, en sorte (|ue

on considérera maintenant la fraction —-> dont le numérateur est un polynôme réciproque du degré 2p — 2 et dont le dénominateur en est un du degré 2p, et, l'ayant multiplié par i -1- x-, on le transformera, par la

substitution déjà la place de — — -■> en une simple fraction en 7, ayant

pour numérateur un polynôme Q du degré p — i et pour dénominateur un polynôme ^ du degré p (n° 27). Pour faire cette transformation avec facilité, il n'y aura qu'à employer les substitutions enseignées dans le

n*^ 6, changer ensuite z en -•> et multiplier le bas et le haut par jf^; ou

bien, ce qui sera encore plus simple, on fera d'abord

^ ^^{\ — ajcosa) (i — ?.jcos[3). . . ;

ensuite on retranchera du polynôme P les p — i premiers termes, et l'on mettra dans les p derniers, à la place de x'^, x'^^\ ^P"^-,..., x'^'^'^, les quantités

et l'on aura le polynôme Q; en sorte que ^ sera la fraction en y qu'on cherche.

Il ne restera plus maintenant qu'à ajouter cette fraction ^ à la frac-

tion V? divisée par ^, et la somme, c'est-à-dire, la fraction -^^-nrv — ^^'"^

la véritable fraction en j, qui répond à la série des sommes, et qu'on aurait dû trouver directement en faisant toutes les opérations requises. On traitera donc cette fraction de la manière prescrite à l'égard de la

fraction ^ \ , •> dans la première méthode du n" 40.