De ces trois équations je tire celles-ci

dP -^ ' dP dv '"

lesquelles, étant multipliées par dt et ensuite intégrées, donnent, en faisant, pour abréger,

f=C{Yz — Zf)dl, Q= j{\z — Zx)dt, l\= j{\y—Yx)di,

ces trois autres-ci

xdy — y dx x dz — z dx ydz — z dy

'IIF' "" ' d} ^ ^' di ' " '

d'où je tire sur-le-(;liamp cette équation finie

P^ — Q)- H- Hs = o.

3. Si les quantités P, Q, R étaient constantes, on du moins dans des rapports constants entre elles, il est visil)l(; (jue cette équation serait celle d'un plan tixe passant par le [)oint (|ui (îst l'orii;;ine des coordonnées a?, j, s, et dont la position dépendrait des inèmes quantités?, Q, K. Et il est très-aisé de démontrer que, dans ce cas, l'intersection du plan dont il s'agit avec celui des coordonnées a? etj, c'est-à-dire, la li^ne des nœuds de ces deux plans, fera, avec l'axe des abscisses x, un anii;le dont

la tangente serait ^■> et que l'inclinaison mutuelle des mêmes plans serait égale à l'angle (jui a pour tangente - — jr

4. Or les quantités P, Q, R ne peuvent être constantes qu'en faisant leurs différentielles nulles, ce qui donne

Ys— Zr=o, \z — lx = o, Xj — Y^ = o; d'où l'on tire

x = n^, Y = nr, z = n2,

n étant une (juantité quelconque; ce qui fait voir que les trois forces X, Y, Z se réduisent à une seule essaie à

IIv/^'+ r' + 2',

et toujours dirigée au point fixe qui est l'origine des coordonnées.

Mais, si l'on veut seulement que les rapports de ces quantités soient constants, en sorte que l'on ait

P = mR, Q=:«R

(m et « étant des coefficients quelconques), alors il faudra que l'on ait ces deux équations

Or, si dans l'cquation

?x — Qr -t- R2 = o

on met à la place de P et Q leurs valeurs ci-dessus, elle devient

mx — ny -h z = o,

et si ensuite on substitue dans les deux équations précédentes ny — mx au lieu de z, on trouve qu'elles se réduisent à cette équation unique

On aura donc, entre les forces X, Y, Z, une équation semblable a celle qui doit être entre les coordonnées x, y, z, et de là on conclura aisément que ces forces doivent être telles que leur résultante soit toujours dirigée dans le même plan qui est représenté par les coordonnées dont il s'agit: c'est ce qui est d'ailleurs de soi-même évident; mais nous avons cru qu'il n'était pas inutile de le déduire aussi de nos formules.

5. Voilà donc les seuls cas dans lesquels un corps puisse se mouvoir dans un plan fixe; dans tout autre cas, c'est-à-dire, lorsque l'équation

n'aura pas lieu, le corps sollicité par les forces X, Y', Z décrira nécessairement une courbe à double courbure.

Cependant, si l'on fait attention que les trois équations différentielles du n*" 2, d'où Ton a tiré celle-ci

P^ — Qr -H FU = o,

donnent également cette autre-ci

Vdx~Qdr^\\dz = o,

qui n'est autre chose, comme l'on voit, que la différentielle de celle-là, dans la supposition où les quantités P, Q, R seraient constantes, ou au moins dans des rapports constants, on verra que, quoique les rapports

de ces mêmes quantités ne soient pas justement constants, ils pourroni néanmoins être rec^ardés comme tels pcmdant (|ue le corps parcourt It^s espaces intininient petits r/a?, dy, dz\ d'où il suit (jue le plan représenlc par l'écjuation

Vx — Qr -H |{2 = o

sera celui dans lequel le corps se meut dans l'instant où il décril c(;s espaces infiniment petits; mais la position de ce plan, au lieu d'être fixe, changera d'un instant à l'autre, à cause de la viiiiabilité des quan-

tites j^, -j^.

6. Nommant donc w l'angle de la ligne des nœuds avec l'axe des ahscisses x, et 0 la tangente de l'inclinaison du plan de l'orbite avec celui des coordonnées x et r, on aura, d'après les détern)inations du n^' 3, ces formules fondamentales

langw =-^, 0= ^- — Y^ '

(|u'on peut réduire à celles-ci

Qsinw=— , 9coso)=Yr'

7. Puisque, dans l'Astronomie, on a coutume de représenter le mouvement des planètes par les longitudes et les latitudes, nous supposerons que le plan des coordonnées x, y soit celui de l'écliptique, en regardant l'écliptique non pas comme l'orbite réelle de la Terre, mais comme un plan fixe qui passe toujours par les mêmes étoiles, et nous prendrons l'axe desiT pour la ligne des équinoxes, ou plutôt pour la ligne qui passe par le premier point (VAries supposé fixe, duquel nous comptei'ons les longitudes; nous nommerons ensuite q la longitude du corps. /> la tangente de sa latitude, et r le rayon vecteur projeté sur l'écliptique: il est visible (ju'on aura

x=rcosq, f=rsïn<], z = rp,

ce qui, étant substitué dans l'équation

?x — Qr + Rz — o,

donnera celle-ci

P cos^ — Q sinq -+■ Rp = o,

laquelle servira à déterminer p.

Si, de plus, on met dans cette équation pour P et Q leurs valeurs RÔ sinw, Ko cos^i) (6], on aura, en divisant par R et réduisant,

p = B sin{g — w),

équation qu'on peut aussi tirei' immédiatement de la Trigonométrie sphérique.

8. Pour rendre nos formules plus simples et plus commodes pour le

calcul, nous ferons

s = 9 sinM, u = Q cosco,

ce qui donnera (numéro précédent)

p = us'mq — s cosg,

et les deux équations du n° 6 deviendront

R* = P, Rw = Q,

lesquelles étant différentiées pour faire disparaître les intégrations des quantités P et Q deviendront celles-ci

ds dR R -j — — i— s = \ z — Z r,

dt dt •' '

, du dR .

R ~, 1 — 7— uz=Xz — Lx,

dt dt

équations qui serviront à déterminer les deux variables s et u, d'où dépend la solution du Problème. En effet, ces deux quantités étant connues, on aura sur-le-champ le lieu du nœud cl l'inclinaison par les formules

DES MOUVEMENTS DES NOEUDS, ETC. fi'il

1^)111' l'aire usiiîj;(! des ('(jiiMtioiis pircrdciilcs, il ii'v aiiia (ju'i» y Slil)sliliicr il la |»la('(' des (jiiaiiliU's x, y, - leurs valeurs

i'COS(j, /siiuy, iits\u(j — rscosf/;

et, coinine dans la rechorclie du niouveinenl des nœuds el de la varialiDii de rinclinaison on peut rei^arder l'orbite projetée sur récliptique eomuir déjà connue, du moins à très-peu près, les quantités r elz/senint données en t, et il ne restera d'inconnues que s c.{ u

11 est bon de remarquer encore, à l'éi^ard de la (|uaMlilé H, qu'elle est

é^ale à — r-^> <iui est ce (lue devient la quantité — ' — j-^ ■■> en y substi-

^ ut ^ ' • dt

tuant, pour^ et/, leurs valeurs (;i-dessus, de sorte (ju'on pourra l'ei^ar-

der aussi cette quantité R comme déjà connue.

9. Tous les Géomètres qui se sont occupés, jus({u';» présent, de la recherche du mouvement des nœuds et des variations de l'inclinaison des orbites planétaires, ont cherché immédiatement les valeurs de la tangente 0 et de l'angle oj; leurs formules sont faciles à déduire des précédentes, mais nous ne nous y arrêterons pas, parce que d'un côté elles sont très-connues, et que de l'autre elles sont peu propres à la recherche dont il s'agit lorsqu'il est question de déterminer à la fois les mouvements des nœuds et des variations des inclinaisons de plusieurs planètes (jui s'attirent mutuellement. [VWr plus bas (23).] Cest par cette raison que, dans les essais que j'ai donnés ailleurs sur la Théorie des satellites de Jupiter et de Saturne, j'ai fait abstraction des nœuds et des inclinaisons des orbites, et je n'ai considéré que les tangentes de la latitude '"j; mais la méthode que nous proposons ici est préférable, parce qu'elle conduit à des é(juations beaucoup plus simples et |)lus faciles à résoudre.

(*) OE livre s de Ln grange, t. I. p. O09, ot t. VI, p. 67.