V.-Zj^T,[^-^-^ --.j,i^,](r,.-jzJ-^T

Gïï RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES

12. On .sui)stilu(;ra donc les (juaiilités précédentes dans les deux équations du n" 8; ensuite on mettra à la place de ce, y, z leurs valeurs

rcos(j, rs\nq, r{us\nq — scosq),

et à la place de ^,, y,, z, les valeurs analogues

/', cos^,, /', sin(/,, /', (m, sin^i — 5, cos^i),

et ainsi des autres, en supposant généralement que les mêmes lettres, sans indice, ou avec l'indice i, ou 2,..., représentent les mômes (juantités relativement a l'orbite du corps ï, ou du corps T,, ou du

corps To, On aura donc, en développant les produits des sinus et des

cosinus,

YfZ — yz= '-^ (« -//,)[cos(v - Y,) - cos(7 H-y,)] + ^ (.v+ ,Jsin(v — 7,) - '-^ (.v- .v,) sin(</ + 7,

.■r,z — .rz,= [s — S;[cos(7 — '7,)+ 005(7-1- y, )] -i ^ ("-<-"i) sin(7 — 7,) -i- -7-^ (" — "i)sin(7-h7,

{;t ainsi des autres quantités semblables. Ensuite on aura f 10)

(TS) = /-v'i + ("sinç —s cosq )\ (ïiS) = ^i^/i -+- (a, sin^y, — ^, cos^,)%

(TT,) =: v'r^ — 2/Ti CGs(^ — ^, ) + /'"' + (rusiuq — rs cosq — i\u, sinry, -\- i\s, cosg,)% (TTi) = v''"' — ^ ri\cos{ q — q ,] -h l'I -h ru sinq — rs cosq — r.rhsinqi-h r.s.cosqiV,

13. On remarquera maintenant que, comme les orbites des planètes sont fort peu inclinées à l'écliptique, les quantités 6, Q,,..., et par conséquent aussi les quantités u, s, u,, s,,... (8) seront nécessairement des (juantités très-petites; de sorte qu'on pourra, du moins dans le premier calcul, négliger les termes affectés de ces quantités dans les expressions des distances (TS), (T,S),...; l'erreur sera même d'autant moindre que les quantités à négliger sont très-petites du second ordre.

Les équations du n° 8 deviendront donc par toutes ces substitutions et réductions

„ (Is r/R T, /•/

if' fit -x

' [z-^ — 2/r, cos(7 — </,) H-/-J]'

X [(«-//,) cos (v — y, ) + ( s -h .V, ) sin (y — v, ) — (« - «, ) cos (7 -^ 7, ) - ( •*' — S ) si" (7 -+- 7, ) ]

' [,-'.^,.,.^cos(7-7j + /-^]^

X [ ( z/ - «.,) cos (7 — 7,) H- ( .y H- .V J sin (7 — ,7 J - (« «.J cos (7 -^ 7,) - ( .v - .?,) sin (7 -+- 7,) ]

,^ <tii c/R T, rr, / I

(It dt 2 , , ,

[/•^-2/r, cos(7— 7,) + rî]^

x[-('^-s)f'os(7— 7,) + («-*-",) sin (7 — 7,)- (^-•^■i)cos(7-+- 7.) -f- (« — //,) sin (7 H- 7,)J T, /■/•.. / I

X [ — l'^ — ■^.,)cos(7 — 7.,)-t-(«-t-/z2) si"(7~"72) ~(-^~'^i>) cos (7 -h 7.J-+-(« — «.Jsin(7-(-7,,)J

14. De plus on pourra regarder, du moins dans la première approximation, les orbites comme circulaires, et par conséquent les rayons r, r, , /o,... comme constants, et les angles q, </,, «/.,,... comme proportionnels au temps, en sorte que l'on ait

q := at, q,:=a.t, q.2 = u^t,....

IX, ij.f, a.o, . . • étant des constantes telles que u.f, a, i, u.ol, . . . soient les mouvements moyens des planètes T, T,, T^ qui répondent au temps /.

Donc, comme (8) R = — r-^? on aura, dans celle hvpotbèse, H = u.r-, ^ ' (It -^ ' '

et de même R, = [J-ir\, R^ = //./:;,...; de sorte (jue ces quantités seront

aussi constantes.

Kntin on sait que la quantité rompue et radicale

^r" — irr,cos{q — q,)-*r r\'\ '

peut se réduire à une expression de cette forme

(/', r.) H-(r,r,), ces' </ — </,) + (^ n), coso.[q — q,} -h [r, r,),cos3[q — q,) -h . . . ,

OÙ les coefficients (r, r,), (r, /•,),, ( r, rt)., (r, r, );,,... sont des fonctions (le r et r,, qu'on peut trouver par différentes méthodes connues; de même la quantité

[r' — 2/T, rosf^ — ^2! H- 'i] *

se réduira à la série

I r, ri) -+- (/", /'jj, cos;^ — ^2) + (r, r2)2C0S2(^ — ^j) H- ' /', /'■. 3 cos3(^ —7,1 -+-... ,

et ainsi des autres quantités semblables.

Donc, si l'on fait ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, et qu'on sépare les termes qui contiennent les variables s et u, sans aucun sinus ou cosinus, de ceux où ces mêmes variables sont multipliées par des sinus ou cosinus, on aura deux équations de cette forme

ùs ï,r,(r, /',), T^r.ir, i\\,

-77 H -, («— "1) H 7 (m— «2 H-. . . 4- Il =r (J,

dt /[fj.r 4 y-'"

-rr H 7^ (s — s,) ^ [S — s,] -h. . .-h^ =0,

dt 4 y'" 4^'''

dans lesquelles les quantités II et W dénotent la totalité des termes qui contiennent les variables n eA s mêlées avec des sinus ou cosinus.

On aura des équations semblables poui- chacun des autres corps T,, To,...; il n'y aura pour cela qu'à marquer de l'indice i, ou 2,... les lettres qui n'en ont aucun, et d'effacer en même temps ceux des lettres qui sont marquées à la fois de l'indice i ou -i,

15. Pour intégrer les équations précédentes, on commencera par négliger les quantités n et M^', et l'on aura des équations linéaires en w, s, Uf, 5,,. ., (ju'on pourra intégrer par les méthodes connues; ensuite on substituera, si l'on veut, ces premières valeurs de u, s, //,,. .. rians les différents termes des quaniités n et W, et l'on intégrera derechef, et ainsi de suite; or, comme dans les quantités 17 el M il n'y a aucun terme

DES MOUVEMENTS DES NOEUDS, ETC. (ii7

(|iii ne soit multiplié parle sinus ou le cosinus d'un de ces angles q, y,, r/ ±; y, , . . . , il est elair qu(î ces (|uanlités ne pourront produire dans les valeurs de s el de a (jue des inéi^alités dépendanl des lieux des plani'ies dans leurs orbites; de sorte que, lorsqu'on voudra faire ahslraclioji de ces sortes d'inégalités et chercher uniquement les mouvements des nœuds et les variations des inclinaisons en tant qu'ils sont indépenihinls des mouvements mêmes des planètes dans leuis orbites, on pouti;i rejeler d'abord les quantités dont il s'agil, ce (jui rendra les c(|uali()iis dilt'érentielles en s, ii, s,, u,,... très-simples et très-faciles à intégrer. (Test ainsi que nous en userons dans la suite de ces Recherches, dont l'objet n'est* que de déterminer la loi des équations séculaires des mouvements des nœuds et des inclinaisons des orbites planétaires.