Supposant donc, pour plus de commodité

T2r2( r, Ta),

4fxr

Tr{r„r),

et ainsi de suite, on aura les équations suivantes ds

du , ^ ,

ds, ■^ ,

dlli , , , ,

dsî

-r- -I- (2, o) (M,— a) -h (2, l)(Mj— M,) -•-••■= ••>

dt du

-j- (2, 0)(52 — s) — {■2., l)[Si — 5, ) — . . . = 0>

Gi8 RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES

C'est par i'intégi'ation de ces équations qu'on pourra parvenir à une seule solution exacte du Problème qui concerne le mouvement des nœuds et la variation des inclinaisons des orbites de plusieurs planètes T, To To,..., en vertu de leurs attractions mutuelles. Nous allons nous en occuper, après avoir fait quelques remarques qui serviront à jeter un plus grand jour sur cette matière.

Article III. — Remarques sur les ('quatious qui donnent les mouvements des nœuds et les variations des inclinaisons des orbites planétaires.

17. Imaginons qu'il n'y ail que deux planètes T et T,, et que l'orbite de cette dernière soit fixe et immobile : on pourra alors regarder le plan de cette orbite comme celui de l'écliptique, et y rapporter l'orbite mobile de la planète T. De cette manière, 0 sera la tangente de l'inclinaison et 00 la longitude du nœud de l'orbite de T sur l'orbite de T,; la tangente 5, de l'inclinaison de cette dernière orbite sera nulle : par conséquent on aura s^ = o, m, = o, et toutes les autres quantités ^2» M2»--seront aussi nulles, parce qu'on ne considère que les seules planètes T et T,.

Donc, dans cette hypothèse, les équations du n" 16 se réduiront à ces

deux-ci

ds , du ,

j-^ -h {o, i) u = o, -jj —{o, i]s = o;

d'où l'on tire sur-le-champ celle-ci

laquelle donne et de là

5 =: A sin [a — (o, i ) t'], u= \ ces [x — 0,1)/];

DES MOUVEMENTS DES NOEUDS, ETC. 6i9

donc

taiiffo) = - =: tangla — (o, I /,

c'est-à-dire,

0) — a — (o, I; /, et 0 = ^«■' H- M' = A ,

où a el A sont deux constantes arbitraires.

On voit par là que l'inclinaison des deux orl)ilcs sera coiisltiiilc, <'| que le nœud de l'orbite mobile de la planète T aura, sur l'orbite; fixe de la planète T,, un mouvenienl rétrograde dont la vitesse sera exprimée par la (juanlilé

(o, i) = '. , ou bien — v » /

/îur ' ^" - 4S

à cause de ix= —, par les Tbéorèmes connus; c'est ce qui s'accorde avec le résultat des métbodes ordinaires.

18. En appliquant le même raisonnement à toutes les orbites considérées successivement deux à deux, et supposées alternativement l'une mobile et l'autre fixe, on en conclura, en général, que les quantités (o, i), (o, 2), (o, 3),... ne sont autre chose que les vitesses rétrogrades des nœuds de l'orbite de la planète T sur les orbites des planètes T,, To, T3,..., considérées comme fixes; que, de même, les quantités (r,o), (i, 2), (i, 3j,. . . expriment les vitesses rétrogrades des nœuds de l'orbite de la planète T, sur les orbites des planètes T, Ta, T3, . . . considérées comme fixes; que les quantités (2, o), (2, 1), (2, 3),... expriment pareillement les vitesses rétrogrades des nœuds de l'orbite de la planète Ta sur celles des planètes T, T,, T3,..., et ainsi de suite.

D'où il s'ensuit (ju'il suf'tit de connaître les mouvements particuliers

des nœuds de chaque orbite sur chacune des autres, regardée comme

fixe, pour pouvoir déterminer les véritables mouvements des nœuds el

les variations des inclinaisons des mêmes orbites, relativement à l'éclip-