SU» LA LIBKATION \)K LA LUNE
(le (|in (loiiiic, en iiilri;i';iiil, iipi'i's ;iv(>ir mis zs au lien de n ('),
^■"""^ 2(n-;ji)H sirr^T/v "^ 4(1+ ^ul) h
/; ('la ni (''i;al ;i
On remarquera que la valeur de v^ pciil èlre négligée, parce (iirellc ne eonliendra pas le divis(!ur [}— p qui se Irouve dans les autres lerines.
Conséquences (/ui résultent des formules précédentes f8), (gj, par rapport à la précession des équinoxes et à la nutatiori de l'axe de la Lune.
Si Ton fait, ce (pii est permis,
H — 2K -+- M /* cos^', N lis'xwg, savoir
cl (|u'()n melle i an lieu de eost?, oii aura, en négligeant [j. visa-vis de i , 3/1/ ,., 3NsiiiGT-,.
COS( ^ - £ + g-/ H jj|— V ,
3(H — 2K-fM),, 3/t/
4 H 4(1'' — /')'lsi"^
, sin(? — £ H-g') r
(*) Le procédé dinléj^ralion employé ici par Laiiianire est tout à fait défectiieiix ; la Mibsiitution dewà -. avant l'intégration, ne saurait olVt'f;liv(>incnl être re-ardée comme légitime.
[Xntr (le l'KdtIrtir.)
[**) Il y a, dans le texte primitif, plusieurs fautes de signes (pu ont peu d'importance; nous avons cru devoir toutefois les faire disparaître. . [Moir de Vhdnvur. )
D'où l'on voit :
I" Que, si N n'est pas =^o, l'inclinaison de l'équateur sera sujette à une diminution ou augmentation constante selon que N sera positive ou négative ;
2° Que la valeur de ix, c'est-à-dire la précessioii moyenne des équi-
noxes, sera
3° Que le pôle de l'équateur de la Lune décrira, jxnidanl une révcdu-
tion des nœuds de l'orbite par rapport aux no!uds (!(' ré(juateur, un petit
cercle dont le rayon sera
Mais, si \J-^=p, c'est-à-dire si le mouvemenl des points équinoxiaux de la Lune est égal au mouvement des nœuds de l'orbite, comme l'a trouvé M. Cassini, les formules précédentes ne serviront plus; mais il faudra mettre d'abord au lieu de ts sa valeur
et au lieu de vj sa valeur
4(,u — p)W sin;
SUlIC'
on mettra ensuite c'— fxVau lieu de i, et Ç — p\ au lieu de 'Ç\ après (|Uoi, regardant (a — piM comme une quantité infiniment petite, on aura
COSCÇ — l-\r g) = COS((;'— £'+ g) — {!J. — IJ)\ Sill' ;:'— s' -h- g},
sin {'Ç — £ -h g) = sm(i;'— e' -\- g) -+- (a — p) V cos['Ç -— z' -\- g); et les valeurs de i et de t: deviendront les suivantes
iH
411 sincj
cos( 'Ç ~ e'-f <■ j
s un LA Ll H RATION DE LA LUNL. o-i
D'où il s'ensuit que
3i 11 — ?. K -t- M ) Mil
<'t (ju'il n'v ;mi;i plus de iiiilulion sciisiMc (l;ms I'îixc de la Lune.
XXYI.
KiiMAHQiJE. — Il esl 1)011 (le r{Miiar(|ii('i' {|ii(', si l'on voulait a|i|)li(jiirr à la Terre regardée coninie un sphéroïde quelconque les ronnnlcs ('8) et (9), il faudrait efTaeer j)artout les lettres M et N. La raison de cela est (jue, rani>le 0 n'étant |)lus alors très-petit par rapport à i>, il ne serait plus permis de mettre, comme nous l'avons fait, sin(u — s) et cos(v — i, au lieu de A sinoo -- A cos'*) et de A sin w + A cosw dans les expressions de E' et de H'; mais il faudrait substituer pour A et pour A leurs valeurs [Article XIII (M)] ; cependant, comme les termes venant de ces substitutions seraient tous multipliés par sin2o>) ou cos2'jj, et (|ue oj serait dans ce cas beaucoup plus grand que V, étant à très-peu près dans le rapport de 27 a I , il est claii* (jue ces termes pourraient être négligés entièreuiciit comme devant être, après l'intégration, considérablement plus jx'tits que les autres. M. d'Alembert a fait le premier cette importante observation, sans laquelle il eût été comme impossible de résoudre le l'roblt'Uie de la précession des équinoxes dans la Terre considérée comme un sphéroïde à méridiens disseml)Ial)les; mais elle n'a plus lieu ii l'éi^ard de la Lune, dans la(|uelle w = V à peu près; et c'est ce (jui fait (|iie nos résultats dilTèrent un peu de ceux de ce grand Géomètre, coninie <tn va le voir.
Scor.ii: 1. — En supposant la Lune homogène et de figure ellipti(|ue. comme dans l'Article XXII, on aura (Article XII ,
H=i^, M=:4^eB', N = o, K - ' H = - ^ e A'-^ ;eH' ; i5 i5 ' l'j
oi RECHERCHES
donc ArlicIcXXV)
g—o. A — H — 2k -+- M ^ ^^ (eA'+ eR' , jj — le \' -h 7.eW ;
donc
3i(eA' -¥- eB' \ 7r = GT -. --^ cos(i: — c„
o.{iJ. — p)
3i(eA'4-eB') . ^^ 3e(A'+ R'
où Ton R'iuaiquera que eA'H-eB' représente l'ellipticité du premier méridien, c'esl-à-dire l'allongement de la Lune (dans le sens de la liijne (|ui joinl le centre de la Lune et de la Terre à très-peu près), par rapport au demi-axe de la Lune; et que par conséquent le mouvement de l'axe de cette Planète dépend en ce cas uniquement de la quantité de cet allongement.
Par la théorie de la figure de la Lune, on a (Articles XII et XXII j
gB= /3, = . ei ek' = \o;
4p L, loooo ooo * ^
or ç exprime le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sous l'equaieur de la Lune; donc, si l'on nomme 9' ce même rapport sous l'équateur de la Terre,/' le rayon de la Terre, t, t les temps de la rotation de la Lune et de la Terre, on voit facilement qu'on aura
ce qui donne
'-/^lT^^'
mettant
^ au lien de o', — au lieu de ^, 67 au lieu de ~, et -^ au
lieu (Je -7» le trouve
I (loo 000 000
SUK LA Lin il AT ION DE LA LLNL. 55
(i'oii
ek':
lO ooo ooo
cl |);ir <'()iis(''(juent
(loue
eA + eV>'— ■:
I o ooo ooo
(i, miillipliaiit ce iioiiiljrc par 3Go degrés, on aura, en secondes, fji" poiiila piécession moyenne des points équinoxiaiix lunaires dans un njois pci'iodi(jU(;.
Pour avoir la nutalion, il faut multiplier a par ■> ou bien par -
simplement, à cause de a extrêmement petit.
Or, en prenant pour la tangente mIc l'inclinaison de l'orbite iiiiiairr tang5°9', et pour lé rapport/? du mouvement moyen des nœuds au mouvement périodique de la [.une —--f^r^^ je trouve la nulation de l'axe
= 3'3f)"; et, divisant ce nombre par smzs (en prenant pour zs, 1 degrés, valeur moyenne entre celles de M. (>assini et de M. Mayer), j'ai i"44''5" pour la plus grande équation de la precession.
Selon M. d'Alembert [voyez le dernier Mémoire de ses Opuscules), la précession moyenne des équinoxes dans l'hypothèse présente esl seule-
ment de -^ — - — -■> et la nutation est aussi diminuée a proportion;
c'est ce qui l'ait (|ue nos résultats ne s'accordent point; mais j'ai donne ci-dessus (Article XYII) la raison de cette dilïérencc ciilic les rorninles de ce grand Géomètre et les miennes.
ScoLiE il. — Voyons maintenant quelle devrait être la valcui' de eA'-heB', pour que la precession moyenne des c(juiiioxes lunaires lut
5(i RECHERCHES
égule au mouvement des nœuds de la Lune; dans ce cas, on aura (Article XXVj
3(H — 2K + M) Zhi
^ 4H 4HsmcT °
= |(eA'+eB')f i+ -^cosf^-e'
(lolK-
eA'+eB' =
I H . ces
smro
Donc, si l'on veut, avec JM. de Cassini, que le nœud descendant de i'équaleur lunaire soit toujours au même point que le nœud ascendant
de l'orbite de la Lune, on fera s' = Ç', et l'on aura
e A' + eB' = ^-,~^^-.- = -^^-
^ I l \ I ooo ooo
