M VIT
iin// V — ...
D'où l'on voit :
1° Que la rotation moyenne de la Lune est égale à son mouvement moyen autour de la Terre, moins le mouvement moyen de ses points
SUR LA LIIiKATION DE LA LUNE. 45
équinoxiaux; condition nécessaire pour (jiic cette Plani'lr nous itrcscdl»' toujours à peu près la même face;
7^ Que la vitesse de la rotation vraie de la Lune est variable; cette vitesse étant à celle du mouvement moyen autour de la Terie dans le rapport de d(o à d\ , c'est-à-dire de
dz 3 M ma ,, 3 M nb ' - ^ -^ ir 3M '''^'''^ ^ TT 3M '^''^^ -*-•■•
Ainsi,
faisant V
, on
dz ' dW^
ma
ri"
nb
pour la valeur de la vitesse primitive de rotation, (jui aura dû être imprimée à la Lune au commencement de son mouvement. Donc, à cause de l'indéterminée C, il est clair que cette vitesse aura pu être quelcon(|ue, pourvu qu'elle différât très-peu de i, c'est-à-dire de la vitesse du mouvement moyen, et que d'ailleurs la valeur de M ne soit pas nulle, ni négative.
Remarque. — Jusqu'ici les Astronomes avaient toujours supj)osé (\[\v la Lune tournait autour de son centre d'un mouvenieni parrailenieiil uniforme, et ils avaient été obligés, en conséquence, pour sauver le phénomène de la non-rotation apparente de cette Planète, d'imaginer (lu'elle eût reçu d'abord une vitesse de rotation exactement égale ;i celle de son mouvement moyen autour de la Terre, ou plutôt de celui de ses points équinoxiaux; ce qui était néanmoins très-dilïicile à comprendre. Il me semble que la Théorie précédente fournit un dénouement tout simple de ce paradoxe, ou, pour mieux dire, ce paradoxe n'a point lieu dans la
Théorie tjue je viens de donner de la rotation de la Lune. Ainsi je puis, à cet égard, me flatter d'avoir pleinement satisfait à la première partie de la (|ii('sli()n proposée par l'Académie.
ScoLiE. — Si l'on suppose la Lune homogène, et que sa ligure soit celle d'un sphéroïde dont l'équateur et les méridiens seraient des ellipses, comme dans l'Article XII, on trouvera (Articles XI et XII), en faisant D = r,
d'où l'on aura — = eB' = à l'elliptieité de l'équateur, c'est-à-dire à la
quantité dont le demi-axe de l'équateur, qui est à peu près dans la même ligne (jue le centre de la Terre, surpasse l'autre demi-axe, cette quantité étant supposée divisée par le rayon de la Lune; donc, suivant l'Article XX, la Lune fera réellement autour de son axe, en vertu de l'action de la Terre, des oscillations exprimées par la formule
Csin(Vv3eB'J.
Si l'on veut que l'allongement de la Lune vers la Terre ait été produit par l'action même de la Terre sur cette Planète supposée fluide, alors on aura (Article XII j
en — — •
- 4p^ L Pour évaluer celte expression, nous ferons, avec M. Chiiraut,
«;t avec M. de Lalande
SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. kl
(/' «'Si le rayon dv la Terre); ensuite nous prendrons
p = 6of, t'e (|ui donnera
p 1 1 X 60 ' (If là je Irouve
n> ^36 ,-— rr; 84l4
lo 000 000 I 000 000
Donc le icnips d'une oscillation totale sera de
— ^ . . mois périodiques = environ 3040 jours.
On peut regarder au reste tout ce que nous venons i\v dire sur la lihiation de la Lune comme un commentaire de la Proposition XXXVIll, Livre III des Principes Mathématiques.
liésolution de l'équation (2)
On aura d'abord, en négligeant dans la valeur de li (Article IX, les termes qui renferment les quantités très-petites M, N et K — |H,
, €?(cosTr</&) -f- c?e) „ ^= dP "'
expression qu'on peut mettre sous cette forme cos7rrf(</w-l- cosTrrfe) „ s\midr.d(ù„ , sin»7r rf'e -f- siiiu cos7r(y;Tr/e .,
-lû^ ^ dF^ — °"*" dF ' "'
i8 RECHERCHES
ou simpleinent, a cause de sin;r très-petit, et de dn et dz très-petits aussi par raj)p()rt à d'j^, comme on le verra dans la suite,
dô ^ dp — "'
c'cst-à-dirc (Article XIX)
„ . , sin t: d-K doi __
E = i2coS7:- i -H,
En second lieu, on aura (Article XIV)
E' = — ! K — ' H)rcos(i; — £)sin7:-h MAAcos7H-^Mr(A coso) h- Asin'>3)sin7r -h|N(A' — A')cos7: -i-yNr(Acosco — AsinwjsinTr,
c'^est- à-dire, en substituant pour A et pour A (Article XVI) les expressions
COS0 cos4' v''i "^ ^•% sin0 cosi};^! "^ ^•^ et mettant il' à la place de MAA +|N( A^— A^) (Article XIV),
E'= O'cosr ^ r sinT: [(iH - K) cosf y — e) -h |M cos4/v/i + ^'' cos(&) — 6)
— -^ N CCS (|i v^ I H- }r sin ( &) — 6 ) ] ,
On iiicUia ici, comme dans l'Article XIX, i au lieu de cosd/y i -f- X* et •j — £ — 5 au lieu de co, c'est-à-dire v — z — 2 5 au lieu de oj — 5, ou bien simplement 'j — z, à cause que l'angle ô est toujours très-petit, et l'on aura
E'=:ircos- -}- rsin7:[(7H — K + ^M)cos(u — e) — |Nsin(,u — £,]. On substituera donc ces valeurs dans l'équation proposée (2), et, ôtant
ce (|ui se détruit en vertu de l'équation (i), on aura, après avoir mis . ,
au lieu de et eli'acé les termes qui contiennent -7- comme dans
SIJK LA LIBHAIION I)K LA LUNE. 49
rArticIc MX, rriiintlioii
(6) - dT.d'.^ - ^ "~i^JlJL^ r cos(i> - e)f/V'-h' ^^ rsind; - i)d\'=o. an ?. II
OrfAiticIrXIlI
r = sin ( u — e ) sin t: -+- X cost:
X = /sin(i; — Ç);
et (Arliclc ciU')
donc
rcos(Li — e) = I siii:^.^— 2e)sin7r-f 7/ sin(2u — e — Ç) cos-— .' /sinf Ç — e) cosr,
r sin(u — £ ; = i[i — cos(?.i; — ?.£)] sinvr— -j /cos(2u — e — i;) cost: H- ^/ros(i;! — e} COSTT.
De plus
0) = y — £ — 6 cl f/o) = ^u — r/£ — r/6 = (i -+- iJ.)(l\\ à très-peu près,
|U. étant le rapport de la [)i'écession moyenne des points équinoxiaux lunaires au inouvemenl moyen V; en faisant ces substitutions, on remarquera que les termes qui renferment les angles 'Ç — e deviendront, par l'intégration, beaucoup plus grands que les autres, parce qu'ils auront alors pour diviseur la quantité très-petite /jl —/>,/> exprimant le ia|)p(trt (lu mouvement rétrogriidc moyen des nœuds de la Lune à son nmuvemciit moyen V; donc, n'ayant égard (|ii'aux termes doiil nous parlons, on cbangera l'équation ((i) en celle-ci
3(H — y. K-t-M)/'cos77 . 3N/cos- ,., , ... 3N'sin7:
D'on Ton liic, en prenant ^ pour la valcui' ufoyenne de ;:, lors<|Uc V = 0,
3(H - '^Kh-MI/coskt ., , , 3N/C0SCI . ,.^ ^ 3Nsinn '
(8 7r = c ^— — .,, C0S(4-'- +-; r-, r^ Sin Ç - T) -+" 777-— nT * •
50 KECHERCHES
Et, en supposant que tc', 'Ç , i soient les valeurs de tt, Ç, s li)rs<|ue V == o, on aura
. 3(11 — o,K + M)/cosG7 ,^, . 3N/C0SGÎ . ,.^,
Résolution de l' équation {'^)
1° La valeur de II est, par l'Ai-ticle IX, en néi^lii^ean! les iennes multipliés par les constantes très-petites 31, N, f|H — K j,
2*^ La valeur de II' est, par l'Article XIV [en mettant sinf :^ ;; au lieu de Asinw — Acosoj, et cos(-j — a) au lieu de Asinw + Acoso), comme dans l'Article précédent, et négligeant de plus la quantité iiiiinimciit petite du second ordre Xsin;:, comme on l'a fait toujours],
[{K — jHjcosTT— '-MlTsind; — £)— ;-Nrcos(!.- s;
■> On mettra, comme dans l'Article précédent, |sin;r+^/cosfÇ — cjcos7r au lieu de Fsinfz; — =), — |^sin(r — £j costt au lieu de rcosf'j — s),
(i -Hu.jf/V au lieu de du), et -^— au lieu de ^; on cHacera le
3S terme -77 IT, par les raisons alléguées (Article XIX), et, divisant l()ut<'
I équation (ij par -^- — H, on aura
, il + 2K (p- (2K — H)cos7t'— M
''~ 2(i + p.)U siii-r/\ "^ 4(n-,a)H "^^
(2lV — H)cos-— M cosrr . ^ a. o N/cos- . ,^
4(H-a H sin- 4(' + /-^-'H sHi-
