I -h bcosu
De là on trouvera
^'^ 7.11 -h b ros « I '
!l* , Â^ .:.> ?>nfcosu -
^« 2 f-f-6cosM)^'~'"
"•^ / sin-// \
-77- = rt IH ; ,
'Il — "^' ^j„ „ <i sin « cosM , ^
' ' \ I - /;- î -* h ros// *
^' rt sin w ^«^^ I -t- /> fos //
dy ^ (i cosit
dZ ~ ITTT^u ^' ■ '''•
DifférentiaiU encore ces valeurs en ne faisant varier que t et m, et sub-
(1 }i Tt Cl ûc d^ y
stituant pour -7- sa valeur r 5 on aura celles de ,, , ? ,/, > —
1 (// 14-0 ces u dt da dt da
En faisant ensuite dans les unes et dans les autres t = 0, u = o, on
aura celles-ci
dx . df
da ' da '
dx df
db ~''' dh ~'''
dx dr a\Ji — b^
de ' de 1 + 6
dt da ' dt da 2 ( 1 -t- 6
dt db d'x
dtda
dtdb
dtdc [\-\-bf dtdc
Ces valeurs, substituées dans les expressions des symboles («, h),
[a, c), {b, c),... du n" 6, en y faisant z = o, donneront enfin
, na . (a, 01 = 0, a,c= ? />, c) = o.
Ce sont les valeurs de ces quantités, en supposant le grand axe et le plan de l'orbite fixes.
±i). Cela posé, considérons maintenant les valeurs complètes de .r, y, z rapportées à un plan fixe et indépendant de celui de l'orbite. Nommons X, Y, Z les valeurs employées ci-dessus, savoir
X = « /> -t- cosMi, \ = a\/i — b's'wu, Z = o. Par la Tbéorie connue du clianiicment des coordonnées rectaimulaires
on ;), en ^(''nri-;il,
z = 'ç\ 4-r V -4-rz,
1rs neuf coclliciciils =', Ë", £'", vj', r/", r/' , T, 'Ç\ 'Ç dcviiiil siilisl;!!!»' ;iii\ six équjilioiis de ccjiidition
^"^ ^ y3"^-t- r^=u I, ^' ?"'-- r/ rr-h -ç Ç^ o,
qui résultent de ce que par la nature de la question on doil avoir identiquement
Il ne reste ainsi que trois indéterminées qui tiendront lieu des li-ois constantes arbitraires ou éléments /, g, h.
J'adopte ici les lettres |', S", c" , r,' ,... pour représenter les coeflicicnts de X, Y, Z, afin de me conformer aux formules que j'ai employées dans la sixième Section de la seconde Partie de la Mécanique analytique (*), et de pouvoir profiter des différentes réductions que j'ai données relativement à ces quantités.
Nous allons substituer ces valeurs de x, y, z dans les expressions t;énérales des symboles (a, b), [a, c),..., en observant que les constantes a, b, c, ainsi que le temps t, n'entrent que dans les valeurs des trois (juantités X, \, Z, et que les trois autres constantes/, g, h ne sont censées entrer que dans celles des coelïicients ^', |", H", —
Ces substitutions, qui paraissent devoir être très-compliquées, se simplifient d'une manière étonnante par le moyen des équations de condition
{*) C'est à la première édition de la Méni/iii/nr ofui/ytit/ut-, publiéf on 1788. que se ra|>l>ortent la présente citation de 1" Auteur et celles qu'on remarquera dans les numéros suivants.
{l\otc (fr r Éditeur. )
7o/i MÉM(JIKE SUR LA THÉOIUE DES VARIATIONS
données ci-dessus. En elFet on voit tout de suite que la quantité
dx (Px (ly d^y: dz d-z
da dtdb da dt dh da dldh
devient
da dl dh da dt dh da dt db
De nième la ([uanlité
dx d^x dy d'y dz d^z
dh dt da dh dt da dh dt da
se réduit k
dh dt da dh dt da dh dt da
D'où il suit (jue la (juantité [a, h), qui est la différence de ces deux-ci, sera exprimée de la même manière par les coordonnées x, y, z que par les coordonnées primitives X, Y, Z. Il en sera de même, et par la même raison, des quantités [a, c) et [b, c). Ces trois quantités auront donc les mêmes valeurs que nous avons trouvées ci-dessus (19), et par conséquent on aura, en général, quelle que soit la position de l'orbite elliptique par rapport au plan fixe,
L / ^ na , , (a, f)) = o, (a, c) = 1 {o,c) = o.
21. Passons aux quantités représentées par les symboles («,/),
[a, g), [a, h), {b,f), Ici les quantités X, Y, Z ne varient que par
rapport à a, h, c, t dont elles sont fonctions, et les variations relatives 'à /, g, h ne regardent que les coefficients 2', ^", |'", /?', — D'après cette considération, si l'on fait les substitutions des valeurs dex,Y, z et de leurs différences partielles dans la fonction
dx d^x dy d-y dz d^z
da dtdf da dt df da dt df
iH:s liLÉMENTS DKS PLANÈTES, h:TC. 755
<•' M" <•" ol),s(Tvr (jii,. les in.is premières ('(iiK.lions .le coiMlilion (l<.iiii(-iit
ç' dl' -f y/ ^/y,' 4- Ç' <l^^' = o, ^" t/^" -+- y," ^/y/' -f- i:" d'^^" ^ o, X"(lr!" -^- r"' (h!" ^ 'Ç'd'Ç" - o, 011 ;uii;i l;i Irîiiisfoi'iiiéc
a dl"^r,' d-n"^t' (11" ,l\ ,l\ ' df d^ It
^ l' d^'^-n' dn'"-^-^:'^^ dX dz df da dl
^ 'i"dl' + n"dn' -^-ÇdC,' d^ dX df da 717
^ ^"d}-"'-i--n"dn"'-h'C'dC" dY dZ ~ df da 77
^ '^"dl'-^'n"'dn'^-C'dy,' dZ d\ df da dt
^ r^r +•/•>" ^•/i" + r^/r dz d\
^ da 777
-Myis les trois dernières éqiiiitions de condition entre |', T èiani dil-
férentiées, donnent
r dr + r/ drr + r ^r -= - r ^r - yj" dn' - ?" ,/?' ,
2" (if H- ■/j'V/-/î"'+ ?'^y?''= — 'il" dl[' - r!" d-n" — K"'dl".
Donc, si l'on fait, pour abréger, comme dans le n'^ 23 de la Seriion ciier de la Mécanique analytique {' ),
dP = ^"dl" H- -n'-'d-n" -f- r'V/r", ^Q— ?' r/^'"+ •/;' drr-{- 'Ç de,'",
d{{ = cd'i' -1- y)"f/y/ -f- ::"^/?' ,
( * j Dans lii deuxième édition, seconde Partie, Section IX , n" 11. , y'ntc de rt.ditnir.)
la tnnclion dont il s'aient se réduira à cette forme simple
(IfXUda (It (kl) df\dt da dt dn j df \dt da dt da j On trouvera de la même manière que la fonction
dx d^x dr d\r dz d^'z Tlf dtda df dt da df dt da
se réduit à cette forme
' dt da dt da) df \ dt da
df\ dtda dtda] df \ dt da dtdaj df\ dtda dtduj
En retranchant cette dernière quantité de la précédente, on aura la valeur de (a, /), et il est visible qu'elle se réduira à cette forme
^/YrfX-Xc/Y\ ^rid\-XdZ\ ^/ZdY-\dZ
dix "V dt ) dQ \ dt I dP \ dl
^""'■f'-dj d^ df da df da
Or les valeurs de X et Y (20) donnent
\dY ~ Y d\ = a' ^ I — b' {I -^ bcosuU/u,
du n r A {\\
et, comme -7- = r ( 19 , on aura
dt i -\- 0 ces u ^ '
dt
= na^y/i — b^
Donc, puisque ^ = o, on aura simplement
dl\ d^na-\j i — 6^
df da
En changeant successivement a en h, en c, et/en g, en A, on auia les
viiK'ui's (les uiitrcs (ni;iiitil(''s représentées par {h,f), {c,/), (a, g)
J';un';iis pu siip[)()S('r loiil de siiilc Z = o, ce (|ni ;iui;iit siiiiplilic le rnlciil ; mais j'ai été bien aise de donner ces forniules dans loiitc leur ^éiinjililc, paicc qu'elles pourront peut-être servir diins d'iuilres occasions.
22. H ne reste plus (ju'à chercher les valeurs des «juanliles repiesentées par (/ g), (/, h), {g, h).
En faisant les mêmes substitutions dans la fonction
d.r <l-x dy d\r dz d'z dx d'x dy //•>■ dz d' z
df dtdg df dt dg Hf Jt'dg ~ Tîg dïdf ~ j^ dt tlf ~ d^r JTJf '
et observant que le t ne varie que dans X, Y, Z, et «{ue/, g \\v. varient que dans les coelïicients ç', yj', ?', ?",..., on aura tout de suite
^^'^) = ^ dt -^^ di ^^ dt '
en supposant, pour abréger,
., ^rf£(/r dri^dr[ de dC d'cl dV dn' dn dC dC
- df dg^ df dg ^ df^ dg dg df 'd^W^W'
.. ^d^d^ H éfr d^ (i^^ d^ d^ (Ihi^ dr^ d^ dC ~ df dg -^ df dg -^ df dg dg df dg df - -JJi Tff'
y.^d^ dr[dyr dt" dl'" d^" dl'" d-n" dr/" dC" dC"
- df dg^ df dg -^ df dg dg df dg df dg -df-
Or, dans le n" 27 de la Section déjà citée de la Mécanique a/ui/vtique (*j, j'ai trouvé ces réductions
d^'=l"'dV-'^di\.
dl"'=l'dQ-l"dP,
et de même, en changeant ^ en yj et en Ç. (*) Dans la deuxième édition, seconde l'arlie. Section I\. n" l','.. \<>tr <k' l'IùUiiur.)
758 MÉxAlOlKE SUK LA THÉORIE DES VARIATIONS
En faisant ces substitutions dans les expressions précédentes des F, G, H, et avant égard aux équations de condition entre |'. T, ^", r}',..., on trouve facilement
"" c/f 71^ dg df '
ç/!P6/R JP</H •
~ W ^ ~ f^s 'if
Or on a déjà trouvé
XJY-Yf/X , ,
dt ^
donc, comme Z — o, on aura
/f/P dO f/P f/Qv r-
et, changeant g en A, on aura la valeur de (/, h), et changeant à la fois / en g, g en A, on aura celle de i g, h). Ainsi on connaîtra les valeurs de tous les coefficients des variations da, db,... dans les formules du n" 6.
23o Particularisons maintenant les constantes/, g, h, qui sont encore indéterminées. Pour les adapter aux usages astronomiques, nous supposerons que /soit l'angle que le grand axe de l'orbite fait avec la ligne des nœuds, c'est-à-dire, avec l'intersection de son plan avec le plan tixe des j? et y ; que g soit l'angle que la ligne des nœuds fait avec l'axe des a , et que h soit l'inclinaison du plan de l'orbite sur le même plan tixe. D'après ces suppositions, on trouvera facilement les expressions de T, ?",... en sinus et cosinus des trois angles/, g, A; nous les avons données dans le n° 30 de la Section citée de la Mécanique analytique, oîi les angles 9, 'h, w répondent à/, g, h. Mais nous n'aurons pas même besoin de ces expressions; il nous sutfira d'avoir celles de dV, dQ, dR, que nous avons données dans le n*^ 31 de la même Section ('j, et qui, en y
(*) Dans la deuxième ("^(lition. seconde Partie. Section IX, n" Jl. {Note de /'Édite/// .)
changeant 9, ^, '.> en/, ;,^ /i, (Irvit-nnenl
dV = sin/siii // 1/^ 4- cosfd/i, (iQ = cos y siii // (/^ — siiif (I/i,
(/\{ (/f+Ci>s/l</g.
De là on aura tout de suite
dP dQ d\{
'If 'if flj
-7- = sin/sin/j, -7 - = cos/ biriA, -r- fosA, dg -^ c^^ -^ d<r
dV . «?Q . . d\\
jT = cos /, -— = — sinf, — - o.
dh -^ dli •' il h
Sul)stituant ces valeurs dans les formules du u" 19, et exécuUml
les diflerentiations partielles relatives à a, b, c, on aura, à cause de
d.na- .,'dn na , , « ,
— j — = j. na ->r a' —- = -19,
da da ■?. ' ,
„, naJi — b^ , na\i\ — b^ , ,
(i,f)=: ^ , (a, £•) := — — cosn, a, // ) = o,
{b,f) = — -, {b, g) CCS A, (b,h) = o,
V I — fi' V I — b'
(c, /) = (), 'c,g)o, (c, Ai = o.
Ensuite les mêmes valeurs, substituées dans les formules du n' '22. <iouneront
(/, g) = o, \ f, h] -= o, (g, h) := — na^ y/ r — h' sin A.
En joignant à ces valeurs celles de (a, h), a, c „ (/>, Cj, trouvées d;in> le n" 20, savoir
on aui'a les valeurs des (juiiize svmholes (jue nous avons ein|dovés.
24. Telles sont les valeurs qu'il faut substituer dans les formules du u" 6, lesquelles deviendront par là
r/i2 , na j 1 , 7-; ,^ I , jT . ,
— f/t = de na V I — b- df na^J \ — o- ros // «£,
dû , nà-b j„ na}b , ,
^^ dt=: -^=: df-\ == coshdg,
r/i2 , na j —— dt = — da, de 0.
dil ,^ I , T-^ . na-b
-r-r dt =: - na J i — h- da =:= do,
df ? * il — ^'
-r^ dt =1 - naJi — b' ces A da ■ cos fi db — no^ v ' — ^" ^i" '' dh,
dii 2 V V. I - ^-■
dQ , . ^ ,
-jj- dt = na^ \j i — 0- sin n dg;
d'oii l'on lire facilement
da__^dû dt ?ia de
(U) i-b^- dû y/j - 6" dO.
dt na-b de na-b df
de ^ dil i — b' (lil dt na da na^b db
df__ s/i — b dO. cos A diï
dt ~ na'b db na^^i — b'sinh db
dg I ilil
dt ~ na"" v^i — b-" sin h dli '
dh cos h cm I dU,
dt na'^ s/ï — b- sin h df na" y i — b' sin// dg
Voilà les formules des variations des six éléments elliptiques a, h, c, f, g. A, exprimées par les diflérences partielles de la même fonction 12, relativement à ces mêmes éléments; ce qui est infiniment commode pour
le calcul. Or, comme il est une fonction des coordonnées x,y, z, ce', y', z',..., en substituant pour ces coordonnées leurs valeurs, elle deviciidr;! une fonction de u, de a, fj,c\/, ^, h, de u , dcr/, //, c , f , ^' , h\ de u",..., et pourra toujours être réduite eu série suivaul 1rs sinus et c(tsiriiis {\i'^
aui^les u, u', Alors le terme indépendant de w, u',... donnera les é(ju;i-
tions séculaires, et les autres termes donneront les é(|uationspéri()di(jnes. Et, si l'on rapporte les orbites des planètes au centre commun de j^navité du Soleil et des planètes, on aura l'avantai;! de l'uniformité cl de l;i simplicité du e;ilcul j)our toutes les planètes.
25. Avant de terminer ce Mémoire, il est bon de faire i('inar(|ut'i- ([iic la Videur de -j-^ qu'on vient de trouver, s'accorde avec cellr (lu'on y trouvée par une autre voie (8). En edel, comnie |)ar ré(iii;irM>ii du ii" IS
nt -¥- c =^ u -\- b sin«
l'angle u devient une fonction de nt H- c, il est visible que les différences partielles de iï. relatives à nt et à c, seront la même chose; de sorte (ju'on aura
ainsi l'on aura
mais rr = — : — . donc
dû
dil
de
~ ndt''
du
1 dil
dT~
na II dt '
ia} dil ,
da =: r // (It,
I 4- m H (It
qui est la formule du n° 8; ce qui pourrait servir, s'il était nécessaire, à contirmer la bonté de nos calculs.
Une autre remarque essentielle, c'est (juc, dans la dilférentiatioii partielle de la fonction il relativement à «, on peut se dispenser de faire varier la quantité /^ qui dépend de a; car, puisque ii est une fonction VI. Îl6
du
de nt -(- c, la portion de -^ (|iii 'iépend de n sera
dil du de da "*
de donc, comme la valeur de -t. contient le terme
na da
elle contiendra, à raison de la variation de n, la partie
1 dO. dn na de da
Donc la variation de l'angle nt -\-c sera, à raison de la variation de n,
dn , 2 dil dn ,
l -T— da — — —j — i -7- dt ; da na de da
mais
2 dO. ,
da— ,- dt\
na de
donc la variation sera nulle. Mais, comme n est une quantité essentiellement variable, la différentielle de ni est ndt -\- t dn\ ainsi, en
n'ayant point égard à la partie tdn, il faudra substituer j ndt -à la place
de nt dans la valeur de u, ce qui fera disparaître en même temps les termes qui se trouveraient multipliés par t; mais l'emploi de ces termes était nécessaire dans les formules des variations dues à la constante a, sans quoi on aurait trouvé pour la quantité [a, c) une valeur fausse.
26. Les formules du vC^ 24, quoique fort simples, sont encore susceptibles d'une simplification importante. Il est visible que la seconde équation est de cette forme
dO. , nd'h , ,„ , 7 .
-TT- dt = -z==r:Tr «/ H" COS II di^).
DES ÉF.ÉMENÏS DKS PLANÈTES, ETC. 763
Donc, si l'on fîtil
df-k- cos/i dg^= d'j^,
/=?- I^os/td}^,
(!l (|u'()ii sU|)pose (jiic ccUc valeur soit substiliiéc |i;irl(iiil :iii lien Je/,
di
on aura, an lieu de la formiilL' nui donne la valcnidc ^, (('IN'-ci
ddf^ \Ji — b' dO.
dt na' b db
Ensuite, en regardant il d'abord comme fonction de /et g, el ensuite comme fonction de 9 et g, en substituant la valeur de dç, on aura
dil ... dil , dil , dil . dil ,^ I dil , dil , ,
d'où l'on tire
d^dQ. dQ.dLl^ dQ
df do dg d(û dg
On substituera donc ces valeurs à la place de —tf el ,— » et les valeurs
. db dh . . , de -7- et -y- deviendront dt dt
db i-b' dil
v/i - b' dQ
dt iin^b de
na^ b f/<p
dh i
dt naUli — b
'sinA df[
Par ce moven nos six formules seront
da 1 dil
dt na de
db 1-6' dil
y/ 1 — 6^ dil
dt na} t) de
na^ b dd)
de -y. dil
