Maintenant je fais

6 sincp = ,5, il coso = y, sinA sing- =: s, sin/iCOSg = X;

j'ai, en différenliant,

d{j = sin odb -h b ces '-ùdo,

dy = ces odb — b sin 9 d(^,

de =: cos/î sin g dh -f- sin h cos g dg,

dl = cos A cos g d/i — sin A sin g dg.

Substituant les valeurs précédentes de db, do, dh, dg, on aura

dt ~

V I — />- / sm es dû dQ.\ i — b'

"~ ;; — ~T~^ —j coso -77- ^ -7-

fia' \ b do ■ db J Jia'b

. dû smcp -7-, ^ de

dy dt ~

de

y/i — b' /coso dil . dQ\ I — b'

— ; — — 7— — -, h sin 0 -77- H j-

na' \ b do ' db J na'b

I / cos A sin fi' dû dQ.\

dû

coso -r— '

' de

dt dl

juC- ^i — bA sin A dg """^ dh j I f cos h cos g dû . ]dQ.\

dt

na^sj'j—b'\ sin A dg ' ^ dh j

C ) Dans la deuxième édition, seconde Partie, Section IX. n° 10. iNnte de r Éditeur.

Or, (Ml re^ai'dant 42 comme l'oiidion de h ci de -p, ou de |3 et y, on ;t l'équation identique

(dil . dil \ ., , (dil du . V ,

Donc

dû dO. . dû

= sm9+-^cos9,

dU , /dQ dil . \

De même, en regardant ù comme fonction de g, h, ou de e, X. on a

fàl , (lil ,, du , dil ,.

-7- (■/£' -H -77- an = -— d- -h -p- rt / dg ^ dh di dK

(du . . da . \,./da., du . , . \ ,

= \-rr cos« Sing' ■+- -rr cos/i oosg ) dn -+- 1— sin/i cos^ — -p- smn sin^ ) dg :

donc

dH [dil dQ . \ . ^

dO. l'dQ . dû \

Substituant ces valeurs dans les formules précédentes, elles deviendront

d^ __ y I - h' dQ i-b' dQ dt Tw} dy na^b^ ^ de

dy___ y 1 — b^ dQ ï — b' dQ d7 ~ nâ' 'd^ 'nâF¥^~dc'

dt ces A dQ

^^ ~ TW? y/l — 6» dl '

rf> ces// dil

auxquelh s on ajoulera ces doux-ci

da

'di~

na de

de

2 dil

\ — b'-l dil dil na'b' Y d<^ ' ^ dy

dt""

na da

On voit que ces formules représentent les six variations sous une forme très-simple et en même temps symétrique. On y serait parvenu directement si l'on avait donné d'abord aux quantités h,f, g, h la signification des lettres |S, y, s, >..

A l'égard de l'intégrale j coshdg, (jui entre dans la valeur de/par

l'introduction de l'angle 9 (26^, si l'on substitue pour cosA la valeur

équivalente i 7-? elle deviendra

T 1 -1- on< Il

I + ces A

sin^//

-fr

dir.

-\- ces A ^

Or

donc

, Ide — edl sin-/i , r '^dz — tdl

J I -4- COS II " j I

y/'l — £'—ïr

et, comme î et X ne sont exprimées qu'en sinus et cosinus d'angles, on pourra réduire en séries les sinus et cosinus de cette intégrale dans les valeurs de sin/ et cos/.

En désignant cette intégrale par H, on aura

/ = 9 — i,»- -1- n ; donc 9 =/ -f- f^ — II ,

où l'on remarquera que /-\- g est ce que les Astronomes nomment la longitude de l'aphélie dans l'orbite.

Les formules pi'écédentes sont surtout utiles lorsque les excentricités

HKS lil.ÉMENTS DES PLANÈTES, KTi]. 7C7

et les inclinaisons sont des (juanlitrs iiss(;z petites, ('((inmc cehi a lien dans notre Système planétaire. Mu général, il es! visible (jue les (juantités p, y, e. X seront <lans tous les eas des IVaetioiis moindr«'s (jue l'unile. et que par eonsé(juent la fonction 12 pouria toujours être (lévelo|)p('r en une série convergente relativement à ces <pjantilés.

28. Pour appliquer ces équations aux variations séculaires, il u'\ aura (ju'à substituer, au lieu de ù, la partie non périodi(|ue de (ctle équation. Soit A celte partie, c'est-à-dire, le premier terme du développement de Q en série de sinus et cosinus des anomalies moyennes nt -f- r. Ht + e',... des planètes m, m',...; car, comme; il n'est fonction (jue de X, y, z, .v' , y, z',... et que ces coordonnées sont données par des sinus et cosinus des angles respectifs u, u',.,., lesquels dépendent des angles nt -\- c, nt -h c',... (18), il est clair que le développement de 12 ne contiendra que les sinus et cosinus de ces derniers angles multiplies par des fonctions des éléments a, b, f, g, /?, a, h\ f\ g', //, \iiisi

A sera une pareille fonction, et l'on aura -r- =o; de sorte (|ue Irs

([uatre, premières équations se réduiront à celles-ci, dans lesquelles j'ai substitué pour h et cosA leurs valeurs en p, y, s, X,

'^ = dl

d\^ dl ^ (^^ ~~ /la' y/ 1 — (3^ — y' ^^X ' dt ~

lesquelles serviront à déterminer les variations séculaii-es de rexcrniricité, de l'apbélie, du nœud et de l'inclinaison.

Lorsqu'on regarde les excentricités et les inclinaison^ i\v> (Mltile^ comme très-petites, les variables ^S, y, ê, X deviennent Irès-pctiles, ainsi

(jue leurs analogues |3', y', s', X', On peut alors réduire la l'onrtidii A

en une séri(! ascendante par rapport à ces (juantités; et, si l'on s arrête aux secondes dimensions, ce qui suiïit pour la première approximalion. on aura des équations linéaires semblables à celles dont j'ai donne l'in-

rf^

dk

dt ~

nci'

dy

dz

• dsK

nn'

nn^

de

téi^ration et la résolution complète pour toutes les grandes planètes dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de [774 (*) et dans ceux de l'Académie de Berlin de 1782 (**).

Enfin, comme do est la variation instantanée du lieu de l'aphélie dans l'orbite, si l'on y ajoute la variation instantanée de de l'époque de l'anomalie moyenne, on aura de -\- d':^ pour la variation instantanée de l'époque de la longitude moyenne, que nous désignerons par dQ. Ainsi, en observant que

6=— VI — b^ —

on aura, par les formules du n° 26,

d^ dt ~~

2 dil bJi-b'

na da na'[i-hs,n — b')

dû

db

L'angle 6 donnera la variation du mouvement moyen, dépendant de la variation de l'époque, et l'on aura la partie séculaire de cette variation en substituant la fonction A à la place de il..

Cette variation séculaire est insensible dans Jupiter et dans Saturne, comme je l'ai fait voir dans le Mémoire sur les variations séculaires des mouvements moyens des planètes [Mémoires de Berlin de 1783 (***)]; mais elle devient sensible dans la Lune et donne l'explication de l'équation séculaire de cette planète, comme M. de Laplace l'a reconnu le premier. Voyez les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1786, et ceux de l'Académie de Berlin pour 1792 et 1793 (*"*j, où j'ai donné l'application de mes formules à la Lune.

(*) OE acres de Lagrange, t. VI, p. 635. (**) OEiwres de Lagrange, t. V, p. \ib. (***) OEiwres de Lagrange, t. V, p. 3(Si. (****) OEiwres de Lagrange, t. V, p. 687.