VI

MIvMOIRIî: S[JH la TIIKOKIK (iKNKHAIJ':

VAUIATION DES CONSTANTES VKIÎITIIAIIU'S

DANS TOUS LES PROBLÈMKS DK l,A Mf:r,AMOUK (*).

Mémoires de la |)remiére Classe de l'Inslilnl de TiarKc. aimrc iSo.s.

L'application de l'Algèbre à la Théorie des eourjje.;, qu'on doii ii Descartes, avait fait naître la distinction des (jnantilés en constantes cl en variables, et la découverte du (Calcul diflérentiei a appris ii sounicllrc au calcul les variations instantanées de ces dernières (|uanlilés. Depuis on a beaucoup étendu la considération de la variabilité, et l'on peut dire que presque tous les artifices d'Analyse qu'on a inventés se réduisent ii faire varier de différentes manières, soit ensemble ou séparément, lani les quantités qui sont par leur nature variables, que celles cjue l'étal de la question suppose constantes. L'art consiste à choisir parmi toutes 1(5 variations possibles celles qui, dans chaque cas, peuvent conduire aux résultats les plus simples v.i les pins avantageux.

On sait (|ii<' l'intégration inlroduil toujours dans le calcul des (|u;imtités constantes relativemeni aux variables des écpialions, el dont l;i valeur est arbitraire. On peut donc aussi l'aire varier ces constantes; ces variations, envisagées sous dill'érents points de vue, ont produit des

(*) I.u le i3 mars 1809.

Théories nouvelles, parmi lesquelles eelle de la variation des éléments (les planètes est la plus importante.

Dans le .Mémoire (*) que j'ai lu, il y a six mois, sur cette Théorie, j'ai cherché à déduire immédiatement des équations dilTérentielles du mouvement des planètes les variations de leurs éléments, en considérant ceux-ci comme les constantes arbitraires que l'intégration doit introduire lorsqu'on fait abstraction des forces perturbatrices, et en attribuant tout l'effet des perturbations à la variation de ces constantes. Je suis parvenu de cette manière à un résultat général et indépendant de la figure des orbites planétaires. J'ai trouvé que la fonction des distances qui exprime la somme des intégrales des forces perturbatrices, multipliées chacune par l'élément de sa direction, a cette propriété remarquable, qu'en y faisant varier les seules constantes arbitraires, ses différences partielles relatives à chacune de ces constantes ne renferment point le temps, et ne sont exprimées que par des fonctions linéaires des différences de ces constantes, et dans lesquelles les coefficients de ces différences ne dépendent que des mêmes constantes. De là il a été facile de déduire les variations des éléments, exprimées par des formules différentielles qui ne renferment que les éléments eux-mêmes et les différences partielles de la fonction dont on a parlé par rapport à ces éléments; résultat important auquel M. de Laplace est parvenu de son côté par la considération des formules du mouvement elliptique.

J'ai entrepris depuis d'étendre à un système de coi'ps qui agissent les uns sur les autres, d'une manière quelconque, l'Analyse qui m'avait réussi pour les variations des éléments des planètes, en l'appliquant aux formules générales que j'ai données dans la Mécanique analytique, pour le mouvement d'un système quelconque de corps; après plusieurs tentatives infructueuses je suis parvenu, non sans étonnemenl, vu la grande généralité des équations ditférenlielles, à un résultat analogue à celui que j'avais trouvé pour les planètes, et dont celui-ci n'est plus (ju'un cas particulier. Cette nouvelle Analyse, qui fait l'objet de ce Mé-

*) OEucres de Lnf^rari^c, l. VI, p. -\'\.

DES CONSTANTES A RHITH ATHES. 77.}

moire, sera le eoinpiémcnl d.- la Théorie (!<■ h, vMii:.ti(„i drs constantes arbitraires, et pourra être utile dans plusir-nis Prohlr/nes de Mécani(inr. Quel que soit le systènie de corps doiil on cli.r.li,. |r nionvcnimt, cl de (juehiue manière (pi'ils agissent les uns sur les autres, on peut Ionjours réduire les variables, (|ui délerminenl leur position dans l'espace, à un petit nombre de variables indépendantes, en éliminant, au moyen des équations de condition données par la nature du système, autant de vaiiables (|n'il y a de conditions; c'est-à-dire, en exprimant toutes les variables, (jui sont au nombre de trois ponrcba(|iie corps, par un petit nombre d'entre elles, ou par d'autres variables qnelcompies cpii. n'étant plus assujetties à aucune condition, seront indépendantes. Cette réduction supposée, le Problème mécanique consiste à déterminer cbacune de ces variables par le temps; or j'ai donné, dans la seconde Partie de la Mécanique analytique, la forme générale des équations dillérentielles pour cbacune des variables indépendantes dont il s'agit; de sorte que la solution du Problème ne dépend plus que de l'intégration de ces diilérentes équations différentielles, qui sont essentiellement du second ordre, et qui sont plus ou moins compliquées suivant la nature du Problème.

Supposons que dans un Problème donné on soit parvenu à intégrer complètement les équations dont il dépend, mais en faisant abstraction de certaines forces qui agissent sur les corps dans une raison quelcon(|ue des distances, et qu'on peut regarder comme des forces pertuibatrices du mouvement du système. A l'imitation de ce qu'on fait à l'égard des planè'tes, on peut réduire rell'ei de ces forces, surtout si on les suppose très-petites, à ne faire varier dans la solution générale que les constantes arbitraires introduites par les différentes intégrations; et, comme il doit y avoir dcmx constantes arbitraires à raison de chaque variable, pnis(|ne ces variables dépendent d'équations dillérentielles du second ordre, on peut faire en sorte (lue, non-seulement leurs expressions tiiiies. mais encore leurs expressions dillérentielles, soient les mêmes <pie si les constantes dont il s'agit demeuraient invariables; de sorte (ju'a chaque instant les lieux des corps dans l'espace, ainsi cjue leurs vitesses et leurs

77i SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA VARIATION directions, soient représentés par les mêmes formules, en ayant égard aux forces perturbatrices, que lorsqu'on fait abstraction de ces forces, comme cela a lieu pour les planètes.

En considérant sous ce point de vue la variation des constantes arbitraires, j'ai ti'ouvé (jue la fonction qui représente l'intégrale de toutes les forces perturbatrices, multipliées chacune par l'élément de la distance dont elle dépend, jouit aussi de la même propriété, que ses dif^ férences partielles relatives à chacune des constantes arbitraires sont exprimées uniquement par des fonctions ditlerentielles de ces mêmes constantes sans le temps; de sorte que l'on a, pour les variations de ces constantes, des équations différentielles qui ne renferment que ces cohstantes avec les différences partielles de la fonction dont il s'agit, relatives à chacune d'elles, comme dans le cas des perturbations des planètes, forme extrêmement avantageuse pour le calcul des variations des constantes, et surtout pour la détermination de leurs variations séculaires. Ainsi cette propriété, que j'ai reconnue à l'égard du mouvement des planètes, a lieu, en général, pour tous les Problèmes sur le mouvement des corps, et peut être regardée comme un résultat général des lois fondamentales de la Mécanique. Elle fournit en même temps un nouvel instrument pour faciliter la solution de plusieurs Problèmes im- [)ortants.

Le Système du monde, outre les perturbations des planètes, auquel la Théorie de la variation des éléments s'applique naturellement, en offre encore un autre plus difficile, et susceptible également de la même Théorie : c'est celui de la rotation des planètes autour de leur centre de gravité, en ayant égard à leur figure non sphérique et à l'attraction que les autres planètes exercent sur chacune de leurs molécules. En faisant abstraction de ces forces d'attraction, qu'on peut regarder comme des forces perturbatrices, le Problème consiste à déterminer le mouvement d'un corps solide de figure quelconque autour de son centre de gravité, lorsqu'il n'est sollicité par aucune force et qu'il a seulement reçu une impulsion initiale quelconque; et l'on sait que ce Problème, poui- lequel d'Aleml)erl avait donné le premier les équations différen-

DES CONSTANTRS \ HiniK \ I KES. 775

(iellos, a élé résolu (•(iiiiplrlciiiciil |);ir Miilfi'. On a ici, comme pour le iiioiivcmciil (rime piiiiii'lc dans son orhilc, liois ('(|nalioiis dilIV'rcnliclics (lu second ordre entre trois varial)les iiidépendaiiles; par coiiscMjueiil les expressions tinies de ces varialdes doivetit l'cnreriner six constantes ai'hitraires qu'on peut rci^arder coninie les eiénuMits de la lotation, M dont trois tiennent à la rotation (die-mème, et les trois antres sont rcdalives au plan au(|uel on i'a[>porte la rotation, coninie d:ins le cas du niouvenient de translation, ('es éléments deviendront variables pai- l'aclidii des forces perturhatrices, et la détermination <le leurs variations est un Problème dont la s(dution n'a j)as encore été donnée, ni ménu' lentee, (|ue je sac.be, sous ce point de vue général. Je me propose d'en faire rui)iei d'un autre Mémoire; dans celui-ci je ne vais exposer que l'Analvse i^cnérale et applicable à tous les Pi'oblèmes de Mécanicjue.

Formules générales pour la variation des constantes arbitraires dans les Problêmes de Mécanique.

1 . Soit un système de corps m, m', . . . , qui agissent les uns sur les autres d'une manière qucdconque, et qui soient de plus sollicités par des forces accélératrices P, Q, . . . , P', Q, . . . tendant à des centres tixes ou à des corps mêmes du système, et proportionnelles à des fonctions quelconques des dislances/?, q,..., p' , q,..., en sorte que les différentielles ?dp, Qdq,..., P'dp,... soient toujours intégrables.

Soient œ, y, z les coordonnées rectangles du corps m; x' , f , z' celles du corps m,..., et soit

dx' -+- dr' -I- dz- dx" -+- dy'^ -+- dz" , T = v^; m H -j— m' -h. . .,

dt étant l'élément du temps supposé constant. Soit de plus

V = [ Çvdp -f- I O^A/ + ...)/;/ -i- ( / V'dp' -^ j Q'dq' -h...) m' -h . . . .

(^ette ([uantité V sera aussi une l'onction des coordonnées j,v, :■, ^î" . r',

2,..., puisque, en désignant [)ar a, jS, 7 les coordonnées du centre de h» force P, on a

;; = ^(^^ aY + ( J - py + (2 - y)^

et ainsi des autres.

2. Les conditions du système dépendantes de la disposition des corps entre eux, étant traduites en Analyse, fourniront autant d'équations de condition entre leurs coordonnées x, y, z, x', y', z',. . . , par lesquelles quelques-unes de ces variables seront déterminées en fonctions des autres; de sorte qu'il ne restera qu'un certain nombre de variables indépendantes, par lesquelles la position du système sera déterminée à chaque instant.

Désignons, en général, par r, s, u, . . . les variables indépendantes dont les coordonnées a;, y, z, x' , y' , z',... seront des fonctions connues; il est clair que les quantités T et V deviendront aussi des fonctions de ces mêmes variables; et en particulier la quantité T sera une fonction

de r, 5, w,... et de leurs dérivées -T-» -t--> 77' ••' que nous dénoterons,

pour plus de simplicité, par r', s', u',...; mais la quantité V sera une simple fonction de r, s, u,

3. Cela posé, j'ai démontré, dans la Mécanique analytique [Partie II, Section IV (*)j, que ces variables fournissent autant d'équations différentielles de la forme

dP' (/T ^V dt ~ ~d7 ^ ~d7 ~ ""'

dl

^ ds' d'V d\

dt ds ds

dT

du' dT^ dV

dt du du

(*) Cette citation, qui se réfère à la première édition de la Mird/iifjiic nriplyti</iic, convient aussi à la deuxième âlition. i^ote de l'Éditeur.)

DES CONSTANTES AHBITUAIKES. 777

Il est visiljl(! que ces équations seront toutes du second ordre, de sorte ([ue les expressions finies de r, s, u,... contiendront deux fois autant de constantes arbitraires (ju'il y a de variables. Nous dénoterons ces constantes par rt, h, c,/, g^ Il

4. Supposons maintenant que, le Problème étant résolu dans cet état et les expressions de r, s^ n,... étant connues en fonctions de / et de a, b^ c,/, ..., on demande de résoudre le même Problème, dans le cas où les différents corps du système seraient de plus soumis à l'action <Ie

forces perturbatrices de la nature des forces P, Q mais dont les

centres soient mobiles d'une manière quelconque indépendante du système.

Désignons par — il ce que devient la fonction V jxjur les forces perturbatrices dont il s'agit; il n'y aura ([u'à mettre V — 0 à la place de V dans les équations précédentes, pour avoir les équations du mouvement du même système altéré par les forces perturbatrices.

Ces équations seront ainsi

jdT

dt

dT dV

dr '^ dr

dh

dr

^dT ds' dt

dT d\

ds ds '~

dii

lis'

jdT

dT , r/V

dO.

dt

du ^ du "

du

et, si l'on suppose que les mêmes expressions de r, s, u,. ., ainsi que celles de r', s', u',..., y satisfassent encore en regardant comme valiables les constantes arbitraires a, b, c,/, g,-.., la question sera réduite à déterminer ces variables d'après ces conditions.