Maintenant, si l'on considère rccjuation
, d\\ dK , dil ,
d -—- y- dt—~i~ dt,
dr dr dr
il est facile de voir que, comme R est une fonction de r, s, u et de r' , s', u', la partie de la différentielle de y^ provenant de la variation des conslanles arbitraires sera simplement
dn\ , , f/=R . , </'R . ,
à cause de or — o, os^o, oa = o. Donc cetle partie seule devra être égalée au second membre n^dt, puisque l'équation est censée satisfaite, sans cette partie et sans le second membre, par les mêmes valeurs de r, s, u, r' , s' , u' en /, a, b, c,f, g, h que dans le cas où il n'y a que t de variable.
On aura de cette manière lY^jualion
dn\ , , dn\ , , (/=R . , dil , dr ' dr ds , ardu dr
et pareillement les deux autres équations donneront
dr'ds' "" ds'- ds'du'
ds
f/^R ^^^, ^ dn\ ^^, ^ dn\ ,^^,
dr'du' ^' ' ds'du' ^^ ' du''^
dil ^^ du
Ces trois équations, jointes aux équations
or=:o, Ô5 = o, ô« = o,
renferment toutes les conditions du Problème, et serviront à déterminer les valeurs des nouvelles variables a, b, c,/, g, h en t.
Le but de l'Analyse que nous allons exposer est simplement de réduire les valeurs des différentielles
da dh de df dg d/i dï' r77' dt' di' dï' dT
données par ces équations à des expressions qui ne renferment que les quantités a, b, c,/, g, h et les différences partielles de D, relatives à ces mêmes quantités, sans le temps t, comme nous l'avons fait pour les variations des éléments des planètes dans le Mémoire cité.
9. En multipliant la première équation par ^ , et retranchant les
équations
ôr = o, ô* = o, ou =^ o,
multipliées rcspcctiveiiK'nl par
fM{ <lv' d^W ,1,' <m\ (II' <//•'' du dr'ds' du ' dr'du' da '
je loinic celle-ci
dil dr -. dn\(dr ^ , dv' . \ dm (dr , , dr' . \ d'W (dv . , dv' .
(//• t/rt dr '\da da ) dr'ds' \da da ) dr'du' \du da
J'aurai de même par les deux autres équations ces transformées
ds da ' dr'ds' \da da ) ds'- Xda"^ da '^y ' 'ds'du'\da'^'^~ da
^ ^ dt— ^^'^ (—or'— — ôA + J!-^(— '^ ' ^ -^ \ 1''^ /^ -^ ' ^' - \ r/?« r/rt ^ dr'du' \da da j ds'du'\da da ° / </«'' \^°"~ r/rt ° /
J'ajoute ces trois équations ensemble, et comme Q, n'est fonction que de r, s, II, sans r', 5', if', il est clair qu'on a
dil (h ^ ^ (lil du ^ ^/i2 dr da ds da du da da
On aura donc cette équation
di}, ^i!^ f^ - ,/ ^ - A u d^fds^ - ' ^*' - \ Éii/^^5 ' ^^"' -^ t/rt dr'^Kda da ) ' ds'^ \d(C da ) du''\da da
é/'R /r//" ^ , ds ^ , dr' ^ ds' ^
os H — -.- or — -7— os
dr'ds' \da " da da da
d'R /dr ^ , du . , dr' . du'
dr'du' \da da da da
d-K f ds ^ , du ^ , ds' ^ du' ^
-\- j , j , [-j-OU -]- -.-05 — -7- OU r- os
as du \da da da da
10. J'y substitue maintenant les valeurs de or, as, ou, oV, 0^', ou données ci-dessus (7), et j'ordonne les termes par rapport aux dilTérences da, db, de, df, dg, dh; on aura une formule de cette forme
^ dl -r A da i Hdb :- Cdc -h Fdfi- G dfr 4- II d/i ; da J o
et il est d'abord facile de voir que le coetricient A sera nul par la destruction mutuelle des termes qui le composent. On aura ensuite
d'Wfdr dr' dr' dr\ d'W Ids ds' ds' ds\ . d'i^fdii du^ da^ du\ ^ ~ JlV'Xdâ ~db ~ Ta db) "'' ds'^ \dn 711) ^ dâ (11) ^ (h?~\da db ~ da d~b)
d'R fdr ds' ds dr' dr' ds ds' dr'
dr'ds' \da db ~^ da db da db da db
dn\ /dr du' du dr' dr' du du' dr\
dr'du'\da db ~^ da db da db da db)
c/'R ( ds du' du ds' ds' du du' ds
ds'du' \da db ~^ da db da db da db
En changeant successivement dans cette expression de B la lettre b
en c, f, g, h, c'est-à-dire, les différentielles partielles relatives à b en pareilles différentielles relatives à c,f, g, h, on aura les expressions des valeurs de C, F, G, H.
Comme R est une fonction donnée de r, s, u, /', s', u' , et que ces quantités sont des fonctions supposées connues de / et de a, b, c,f, g, h, il est visible que les coefficients B, C, F, G, H dont il s'agit seront aussi des fonctions de t et de a, b, c,f, g, h. La question est maintenant de déterminer la nature de ces fonctions.
1 1 . Pour cela on se rappellera que les fonctions i\ s, u et leurs déri-
dr , ds , du
dV ^ ^ dV " "" Tt
vées r' — -.-, s' = ---■, u' — -r- sont telles (ju'elles satisfont aux trois
équations
d -j— T- dt = o,
dr dr
"^ ds' -
-'^dt^ ds
,d\\ '^du' -
d\\ , du
en y regardant les quantités a, b, c,/, g, h comme des constantes arbitraires quelconques, et la quantité t comme seule variable. Ainsi, en donnant aux constantes a, b, c,.,. des accroissements quelconques ^a,
DES CONSTANTES ARBITKAIUES. 783
'î/^ rV,... infiniment pclits cl constants, c'est-à-diic, iiidriicndnnts d.- /. les équations dillerentielles (jiii en rrsullcront seront encore satisfaites par les mêmes valeurs de r. s, a et de leurs difïérenees.
Désignons de nouveau par la caractéristique o les difTérentielles de r, •V, II, /•', s\ a' (jui résultent des accroissements oa, nh, ^c, o/, ^g, rJh ;,(. trilmés aux constantes a, h, cj, g, h-, il est clair .,m., puisque R est une loncticu de /•, s. Il cl de /•', s\ a', on aura, par r.lgorillime des dillerences partielles, ces diirérenecs relatives à ^
.rfll d'W d'l\ rf>R </>H ,/.(( ,;,,,
,/,' - 57777 ^' + ,/w;.. ^^ -'- ;nnir- '" + S7'^ °'-' - ,,77^ -' + ~ '"' ■
Donc la première équation, diiïérentiée suivant 0, donnera "i?^°'^"<S7?- + S7P°"- *^ "'--^^TW-'^-rf?!?-')
De même la deuxième et la troisième donneront ces deux-ci dl^P^ôr-^S^Ôs-^^-^ -. . ^^'^-. ^^'^ ^'. ^^H
12. Si, au lieu des accroissements âa, t^b, oc, 6f, og, o/i, on attriluic aux mêmes constantes a, ^;, c,/, g, A d'autres accroissemenls infinimeni petits et constants que nous désignerons par Aa, Ah, Ac, A/, Ig, A/i, v\ qu'on dénoie par la caractéristique A les dilTérences des fondions/-, s, u, r', s', II' (|ui en proviennent, on aura (rois autres équations semblables
aux précédentes, dans lesquelles la caractéristique â sera simplement remplacée par la caractéristique A.
13. Qu'on ajoute maintenant ensemble les trois équations précédentes multipliées respectivement par Ar, ^s, ^u, et qu'on en retranche la somme des trois pareilles équations, dans lesquelles le â' est changé en A, après les avoir multipliées respectivement par â/\ os, ou, on aura cette équation
Arr/ -Ar
H-Aa^ — Au
-dr d
— os d
— ou d
or H — , — T— os -f- -, — j— ou -+- -r-T~ di
05'+ , , , , ou'
drdr' dsdr' ' dudr' dr'' ' dr'ds' ~^ dr'du
dn\ , d^\ dH\ . d^K , , f/^R ,/.H ^
dr' drds dr du drdr' drds' drdu'
dn\ . , d\{ , , d'W ^ d'W ., r/^R ^, fAR ^^
(//v/5' ^/5<:/5' f/M f/^' dr'ds' ds'' ds' du'
-. — T- or + -j- os 4- -- — j- ou -h -. — j— or' 4- ~, — r~ os' + -, — j— du' dt drds ds^ ds du dsdr' dsds' ds du' J
f/^R . dn\ . f/^R , d'K ,, ^^R . , d'K
clrdu^ '' -^dTdu'"'-^ dlâ^' °" -•- Wdu' '' -"- dTclu' ''^ dl^ °"'
r/^R . /d'W rf^R , r/=R , , d'W ., r/Ml , ,, ,
^''+77r77:.7^^-^ 7777^:7^"+ 777777 Ar' +-,— ,- A/+ 4^ Am'
f/r^r' </5f//-' ■ dudr' dr" dr'ds' dr' du
-dF ^'-^ dTds ^'-^ dTdTc ^"-^ dVd? ^'' -^ d?d? ^^'+ 7h^'^'')^^^
drds' dsds' duds drds' ds'' ds du' )
7l7^ls ^'-^ -JF ^'-^ diTu^^^^ did7^'"^didJ'^'-^d7di?^''^'^
7 A'-+:7-777A^+:77777-.7A« + -7-7:7-7 Ar'+,,— -A5'+ —-- Au'
drdu' dsdu' du du' dr'du' ' ds'du' du'
14. Et, si l'on exécute les différentiations relatives à la caractéristique d qui se rapporte au temps t, qu'on efface les termes qui se dé-
Iruisent et qu*on ordonne les autres par rapport aux (liirérentielles de R, on aura
^-^, (^'-0' - or A/')
-+-f/^^ {^s as' - as is' )
f/'R -^d-j-,~ {Auàu'—duAu')
H- d ,, . ,(Ar os' — (5r As' -h As or' — os Ar' }
-+- d . , . , [Ar ou' — or Au' -f- Au dr' — du Ar') ar du '
-I- d-j-^—r—, {As ou' — ds Au' -f- Au os' — du As' )
-t- d -. — j-j (Ar os — or As ) dsdr' '
^^-diTà^^^'^'-''^'^ 7 Ai o;< — 05 Au)
du ds
+ d -. — Y~; ( '^^ ^* — ÔM Ai ) + ^ (Arc/ôr'-ô/-(/A/-') H- -TTj ( As d os — 05 d As )
-f- -7— rr (Ai«a oî^ — 07^ « A« du ^
-4- -, , ■ , {Ar d §s' — ô/' d As' -4- Ai c/o/-' — os d Ar') dr ds
