Dans l'orbite des planètes autour du Soleil, T devient

d.z^ -;- dy^' -^ dz'^

2 dt'

et V devient

m ( I -f- wî)

r étant le rayon vecteur de la planète 7?i, et la masse du Soleil étant prise pour l'unité. Alors la constante a devient

a étant le grand axe de l'orbite, comme on le voit par l'équation rapportée dans le n" 8 du Mémoire cité.

Ainsi le Théorème sur la variation du grand axe n'est qu'un cas particulier de celui que nous venons de démontrer.

33. Dans la rotation d'un corps solide, on a [Mécanique analytique, Partie II, Section YI, Article 40 (*)]

T r= ' {Kp' H- Bfy^ ! Cr^) - Vqr - Gpr - llpq, {*) Dans la deuxième Édition, seconde Partie, Section LX, n" 21 . [Note de l'Éditeur.)

DES CONSTANTES A 15 HIT II Al K ES. 80.}

l>, f], /étant les vitesses de rotation autour de trois axes perpendieulaires entre eux, et A, B, C, F, G, II étant des constantes dépendantes de la figure du corps et de la position des trois axes; et, si l'on nomme ,o la vitesse de rotation autour de l'axe instantané de rotation, «'l a, u., v les angles que cet axe fait avec les trois axes des rotations />, y, /•, on :i [Section citée, Article 45 (*)]

y? — pcosX, {j 'pcos'j., r pcosv.

La force vive 2T sera ainsi

(a cos'?v-hB cos'//-i-C cos^v — ?.F cos/j. ces y— ?.G cosXcosv - ?.1I cos?.cos v.)o'.

Donc, s'il y a des forces perturbatrices, la valeur de 0 ne pourra jamais être sujette à une variation croissante comme le temps, en ayant ni<"inr égard aux secondes dimen.sions des forces pertuibatrices.

Ce résultat s'applique naturellement à la rotation de la Terre et des planètes, en tant qu'elle peut être altérée par l'attraction des autres planètes.

34. Je dois ajouter, relativement à l'analyse du n" 25, (ju'on peut la rendre rigoureuse en formant d'abord l'équation

A/' dû ~j-- — d-r-dt]—dr c/A -— - — A -r- dt \ dr' dr ) \ dr' dr

+ As do -rr — Ô~f- dt] — os { dl -7-7- — A -7- f/;

ds' ds ) \ ds' ds

, f j.dK .dl{ .\ . / ,, dl{ , r/R , , + Aw de -7-7 — ô-j-dt] — ôu r/A — — — A -j~ dt ] = o, \ du' du J \ du du '

qui se transforme aisément en celle-ci

d àr 0 -7^ -:- As ô -j-r H- Au è -— - — or A -j-^ — os A -j-,- — ou A -.— \ (//• ds' du' dr' ds' du' ^

/. .r/R , , r/R j, ^ dK ^ , ^ d\{ , , . dl\ , , . dl{\ ,

— [ Ar 0 -J- -]~ As 0 —, \- Auè-j h Ar' 0 -y-r -h As' ô -r,- -i-An'd-r-r] dt

\ dr ds du dr ds du' )

/ . , r/R , . c?R . , ^/R . , , ^R . , ^ dK . , , d\{\ ,

H- or A -7- + es A—, r- ou A -, h o/''A -j-r -l- os' A -rr H- ou' A -,- - dt - :

\ dr ds (lu dr ds du J

[*) Dans la deuxième Édition, seconde Partie, Section IX, n" 29. {Note de r Éditeur.

loi .

SOk. SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA VARIATION

Or, R étant une fonction des variables r, s, u, /',..., il est facile de voir, par le développement des difTérenticlles marquées par A et ^, que les deux formules

Ar (5 — , h Ai 0 —;— -i A?^ o -7 1- Ar 0 -y— + . . . ,

rf/' us du (Ir

ôr A -7 !- ^s A -i— -[- ^àu~. h 0/-' A -j-,- 4- . . .

a/" rti f/;< dr

sont identiques. Donc il reste l'équation intégrable

, /■ . d\\ , ^dK . . d\\ . . ^/R ^ . d^ - . rfR\

^/ A/- ô -, 1- ^s § -7— H- Ai/ 0 -r^ — or A -^-p -1- os A -7-7 ou à -j~r = o.

y dr ds du dr ds du' J

35. Enfin, si dans l'expression de -^^ dt du n" 20 on substitue les valeurs des symboles [a, h), [a, c) , . . . données dans le n° 26, et qu'on dénote, comme dans le n" 7, par la caractéristique ^ les différentielles provenant uniquement de la variation des constantes a, h, c, /,..., on

aura l'équation

d'Y dj dT

f/û , ^ . ^ <h ^cPT ^ §^ d?' ^^^ ^^ ^^ Ih,/ ^^

^dâ da dr' da ds' du du' da da da '

OÙ le i devant disparaître du second membre y peut être supposé tout ce que l'on voudra.

On aura autant de pareilles équations qu'il y a de constantes arbitraires, en changeant successivement a en h, c,f,... dans les différences partielles.

C'est là, ce me semble, ce que l'Analyse peut donner de plus simple sur la variation des constantes arbitraires dans les Problèmes de IMécanique.

DES CONSTANTES AURITRAIHES. 805

SIPPLÉMRNT AU MÉMOIRE PRKCKIiKiXT.

L'uhjcl cit! CL- Siipplrmcnl csl (!(• montrer (-omment la formule du u" 35, qui renferme toute la Théorie de la variation des constantes arbitraires, et à la(|uelle je ne suis arrivé que par une analyse longue et comprKjuée, peut se déduire immédiatement des é(inations primitives du n" S.

En eonservant toujours la caractéristi(nie r) pour dénoter les difréiciitielles provenant uniquement de la variation des constantes arbitraires. il est facile de voir que ces équations peuvent se lucllrc sous celle loi me plus simple

as (Is

rlù , . r/U

-,- di --: 0 -7—,

du du

dont celles du 11° 8 ne sont que le développement.

De là, en regardant r, s, w comme fonctions de a, on tire tout de suite

f/0 „ dr , f/R ds . d\{ du . dK

—- dt -~ -^ Ô -,-r -h 'T~ d

da da dr' da ds' da du' '

et, à cause de

<5/'--o, (5.S r o, ou o,

on a aussi

,^R ,dK^ d\\

dû dr.dW ds .dl{ du^dR dr' ^ ds' , du' .

~r- dt =1 -— ô -j-j- + -7- ô -— - + -7- ô ,- ~, — ôr , — §s -, — ou,

da da dr' da ds da du da da da

où il n'y a plus qu'à changer R en T pour avoir la formule dont il s'agit. Cette équation et celle du n° 34, par laquelle on voit que le second membre de l'équation précédente est toujours indépendant du (emps /, sont le résultat de tout le Mémoire, (jui, présenté de celle manirrc. ne tiendrait que deux ou trois pages.

SECOiM) MÉMOIRE SUIl \A TIIÉURIi;