CHAPITRE PREMIER

FORMULES GÉNÉRALES POUR LE MOUVEMENT DES SATELLITES DE Jl'PITER.

Soient nommés :

/ le rayon vecteur de l'orbite d'un satellite quelconque projetée sur Uplan de l'orbite de Jupiter;

p l;i tangente de la latitude du satellite par rapport à ce même plan; F la force que Jupiter exerce sur le satellite à la distance i.

On aura la distance du satellite au plan de l'orbite de Jupiter égale à rp.

Donc la distance du satellite au centre de Jupiter sera rsji -\- p^.

Par conséquent la force par laquelle le satellite est poussé vers .hipi-

[vv sera

luette force peut être regai'dee comme composée de deux luilrcs : riiiic

parallèle au rayon vecteur et égale à 3^^ l'autre perpendiculaire

au plan de l'orbite de Jupiter et égale à ~ — ^•

Or on peut, en général, réduire les forces perturbatrices du satellite à trois forces uniques, dont :

La pieniière, que j'appelle R, soit parallèle au rayon r;

La seconde, que j'appelle Q, soit perpendiculaire au rayon vecteur, et parallèle au plan de l'orbite de Jupiter;

La troisième, que j'appelle P, soit perpendiculaire à ce même plan.

Donc le satellite sera sollicité, dans les directions dont nous pai'lons, par les forces

dont les deux premières déterminent le mouvement que le satellite doit avoir dans le plan de l'orbite de Jupiter, ou pour mieux dire, parallèlement à ce plan.

Cela posé, soient :

/ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement; (p l'angle décrit par le rayon /• durant ce temps; l'élément du temps dt constant, c'est-à-dire, ddt —- o.

On aura pour la vitssse circulatoire du satellite, parallèlement au plan de l'orbite de Jupiter, '-^, d'où résulte la force centrifui>'e —X = '^', laquelle étant retranchée de la force j + R, on aura la véritabh*

force qui tend à diminuer le rayon r.

Donc, par le principe des forces accélératrices, on aura

(A) .4L^=__JL^ + R q^.

DES SyVTELLIÏES DE JUPITER. 69

Maintenant on sait (jue, si la force perpcndiciihiirc O cl;!!! nulle. I( rayon /• décrirail des aires proporlionnellcs aux t('in|)s. de soric (|iir l'on aurait, ii cause de dl constant,

niais la force Q fait parcourir perpendiculairement à / l'espace Q r//= pendant le temps dt\ donc le secteur — -^ croîtra pendant ce ti'inp> (!.■ la (juantite ; par conséquent on aura lecjuatHtn

<lont l'intégrale, en ajoutant cdt, est

r^d(^-~cdt^ dt j Qrd/; d'où l'on tire

d(p c-hjQrdt

dt ' r'

Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au plan dd \\^\■l)ite de Jupiter,

dt' ~ , A -^ *^'

ou bien

</^y3 îdpdr pd'r Fp P

r'ii + p-^y

d'où, en mettant pour — r- sa valeur ^ rdt'

tirée de ré(|uation (Aj, et eiïaçant ce qui se detruil. un aura re(|(n.tn)n suivante /.^ <f^p d(p' -y.dpdr ? — l{p

ï<es équations (A), (B), (C) donneront r, 9 et/> en t, ce qui sutfira pour l'aire connaître le lieu du satellite; à chaque instant. Que si l'on voulait connaître la figure même de l'orbite qu'il décrit, il faudrait éliminer des équations (A), (C) l'élément dt. Or de l'équation (B) on tire, après quelques réductions fort simples,

l'do dt

donc, si l'on substitue cette valeur dans (A), (C), et qu'on tasse pour plus de simplicité - = u, on aura, en prenant d"^ constant,

F(i + »^f -^Rr^ + OV^ d'u r ' ^ do

«9 c^-^^jQr^dc?

c, tl^ ..(p-;,r^q|)^

Supposons pour un moment que les forces perturbatrices P, Q, R soient nulles; on aura par l'équation (c)

dont l'intéa,rale est, comme on sait,

p = Gsincp -f- H coscp,

ou bien

p = >. sin(9 — e),

X et £ étant deux constantes arbitraires. Cette dernière expression de p fait voir que l'orbite est toute dans un plan fixe, dont la position dépend des quantités À, s, qui expriment, la première, la tangente de l'inclinaison, et la seconde, la longitude du nœud. Retenons maintenant cette

mrmc expression de p, et supposons, à cause des lorccs p('rliirli;iii iccs, X e( 6 variables; on aura

dp =r- dï. sin f 9 - £ i -t- / ros io - e\l do - di n

Or, afin (pie le corps puisse être regardé comme se niouvaiil rfrllciiiciil dans le plan déterminé par X et s, il faut que la valeur de dp soil l:i hkiik que si ces quantités dcmeui-aient constantes, c'est-à-dire, (|ii('

dp = Xcos(9 - e)^/^;

donc

^/Xsin(cp — £) = Xcos(9 — c) f/e;

par conséquent, à cause de dy constant,

et

On réduira ainsi l'équation (c) ci-dessus à deux équations du prenVier degré, qui donneront X et s en 9; d'où l'on connaîtra la variation de l'inclinaison de l'orbite et le mouvement de la ligne des nœuds. C'est ainsi que la plupart des Géomètres en ont usé jusqu'ici dans la recherche des orbites des Planètes; mais il nous parait plus court de chercher directement la latitude/? par une seule équation, d'autant plus que les (|ikuitités X et £ s'en déduiront plus aisément; car, puisque

/? = Xsin(<p — £;, -^ — Xcos(9 — c).

, . , , Idt

sin (9 — e) «9

d^p \dt

d(f ' ^ sin(9 — e)d(f)'

on aura

= v//'*-^:7?r' tang(9-e)- ^^^

On pourrait laire une pareille transformation sur l'équation 'a \ ce qui réduirait l'orbite à une ellipse dont l'excentricité et la posilitni de l;i ligne des apsides seraient variables, ainsi que M. Newton l'a pialicpic

j3ar lappoi't a la Lune. En effet, si l'on suppose d'abord

l'équation {a) devient

d'il F

ont l'intésfrale, étant mise sous cette forme

u = pcos(9 — a),

donne une ellipse dans laquelle -^ est le demi-paramètre, ^ l'excentricité, et a la longitude de l'apside inférieure. Qu'on regarde maintenant fj et a comme variables, et qu'on suppose, par une raison analogue à celle que nous avons expliquée ci-dessus.

on trouvera

du =^ — psinf9 — a)d^,

dp ces (9 — a; + p sin(9 — a) rfa = o,

d~u F pdy.

do^ c^ CCS (9 — a.) d(f>

Ainsi l'équation (a) se réduira à deux équations du premier degré, d'où l'on tirera aisément p et a.

Les observations nous apprennent que les inégalités des mouvements des satellites de Jupiter sont très-petites, aussi bien que les inclinaisons de leurs orbites, par rapport a l'orbite de cette Planète; d'où il suit que,

si l'on nomme a la valeur moyenne de r, a la valeur moyenne de -r-->

•^ ' '^ dt

c'est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, et qu'on dénote par n un coefficient très-petit, et par x, y, z des quantités variables, on aura les expressions suivantes

r= a{i -i- nx), o = [j. t -\- ny, p = nz,

Î)KS SATELLITES DE JUPITLi;. 78

où Ton irmni(iiirr;i (iiic les valeurs de x vi de ;- ne doivont rontenir ' ' (Il

;iii( iiii Icrine constaiil; autrenienl a cl (j. ne seraient plus les valeurs moyennes de r et de -^» ce (|iii est conlre l'hypothèse.

SuhstiUions maintenant ces expressions de r, '^, p dans les équations de l'Article II, et négligeons les termes qui se trouveraient multipliés par des puissances de n plus hautes que n^, parce qu'une plus grand»exactitude serait superflue dans le sujet que nous traitons; nous changerons d'abord l'équation (A) en celle-ci

— na —, — = — \i — 9.nx -h- ônx-] [i — ' n' z' -i- \\ at- «L-

i . (h' dy \

— a{i + nx) ( p.^ -I- 7. nu -~ -^- '*' "^ ) »

ou bien

d-x F / aF \ . F ., . d)-

na —, h au- — n\ — -+- a u.'^ \ x -\- n' -: i o x^ — iz^ — 2 n a a -j-

dt' a- ' \a' ■ J a' " ■ dt

dr ^ dy'

— in^au.x—, wa—, h n = o.

dt dr

Si n était = o, on aurait

donc, n étant très-petite, la quantité

— — a iJ.' -I- l{

a^ devra l'être aussi; de sorte (|u'oii |)ourra supposer

a ur -h H = n — \ .

Cette substitution faite, on divisera toute l'équation par na, et l'on aura, en mettant pour plus de simplicité/ au lieu de -,

L'équation (B) deviendra, par les mêmes substitutions,

dy \ c fQ{i + nx)dt'\ , o , .,

n^n-i-=\— + '- \{i — -in-v -h 3n'x').

^ (ft [^a^ a J

Si n était = o, on aurait

Qdt ^za^— ^^

supposons doue

I Q(i + nx) dt = au \-n—Y;

on aura, après les réductions,

-^ =^ — Q.[j.x -+-/Y + Sny-x- — '?.iifxY.

Enfin l'équation (C) se changera en celle-ci

d'z ( dr\ dzdx y* — nWz

dp V ' dt j dr- «il + nx\

cl l'on prouvera ici, comme on a tait ci-dessus, qu'il t'aul (juc la (|uaiitité P soit très-petite de l'ordre n; c'est pourquoi nous supposerons

P — nUz F,, ; = n — /,

I H- nx cû

d'où nous aurons l'équation

d'^z , „,, dr dzdx

-^ h u' Z -\- f A -\- 7.niJ.Z -^ h 2 /i T— — :^ o.

dt' ' '^ ' dt dp

DES S\TKLLiri:S l)K JUPITKH. "S

Mil.

Voilà 1rs formules par Ic^ciucllcs on poiiir;! (Ictciiiiiiicr les inégalités (les s:ilcHi(('s de Jupilcr, di's (in'oii aura trouvé les valeurs des <|iiaiilil('S X, Y, Z (jui l'csullrnl de leur at lion miiluidlc.

Pour rendre ces lorniuies eueorr plus coinniodcs pour le calcul, nous

substituerons dans c(dles des Articles V et VII la valeur de -^ liree de l'Article VI.

De celle manière, on aura, en uéi^^ligeanl toujours les termes allecles de n^ , n' , . . . ,

\ «^G^a^ - 3/) X' - ^nfz' -+- enp.fxY - np Y= ) (E) -^ -h -z^j-x —f\ —'intj-x'' -h infxY = o'

Nous avons dit que les valeurs de £p et -^ ne doivent renlermer aiirun

terme eonstant; on remplira ces deux conditions par le moyen des coustantes/ Ct c.