I -\~ cosQ' d^r.) -f- cos~dH

-+- /•'sin-P[r/=7T — sinr cosrf/e^]

" On multipliera cette quantité par a, et l'on en prendra l'intégrale <'u faisant varier seulement r, P, Q ^Vrticle V 1; on aura ainsi la valeur de

jx^d'XèX + d'\ ÔY -+- d'Z az :,

(ju'il faudra substituer dans l'équation f A^, Article III.

16 RÉCIIEKCIIES

Remarque. — Il va plusieurs moyens (ral)réger le calcul de la valeur de

cP\ ÔX + d'\' ÔY -f- cP'L ÔZ ;

en voici un (jui (|uoi(|ue indirect est néanmoins préférable par sa simplicité et sa généralité. On commencera par chercher la valeur de

et pour ce j'observerai, dans la supposition présente, que la valeur de X devient celle de Y, en mettant simplement — coss à la place de sins, et siuc à la placé de cose, c'est-à-dire en augmentant l'angle s de 90 degrés; ce qui aura par conséquent lieu aussi dans les valeurs de d\^ et de d\'^ ; d'où il s'ensuit que, dès que Ton aura la valeur de d'X, on en pourra tirer tout de suite celle de dX--^dY^, en négligeant simplement dans le carré de d\ tous les termes qui renfermeraient sinecose, et effaçant dans lés autres les carrés sin^s et cos-s; après cela il n'y aura plus qu'à faire le carré de d/u, et l'on aura, après quelques réductions,

ff\' -h d\\-h dZ'

= r^ cos'P[^o)' + 2 cosTr f/w ds -h de- — -^ sin'7: f/e- -+- ^ dz-

-+- 7COS2Q' sin-rr/e^ — dn-} — siniQ'sinzd- de]

-h 2/-'sinP cosP[sinQ'(sinTrrfo)f/£ -+- sin- costt*'/*^) -f- COsQ'idod- -t- cos-ndsdi:)]

-+- /■; sin'P [sin-Tzde' -+- dv:'].

Je dillérentic à présent cette é({uation par rj, c'est-à-dire en affectant les diflérentielles de 0 au lieu de d; j'aurai, après avoir divisé par 2,

^X Ôf/X + dYèdY + dZàdZ

= r'^ cos^ P [ f/w ô do) -+- ces 7: di 0 dfj) -f- cos t: f/w d,de — si n r do) r/e or 4- . . .] -f-

Je ne mets pas cette différentielle en entier parce que je ne veux que

SUK I.\ LIHKAÏION DE LA LU.NK. 17

donner une idée de la iiiélliodc (|ii(' je [H'oposc. .Mainiciiaiil je coiisicJèrc (JIK' ^ (IX (îst la niriiic chose (|nc c/oX, coimiH' il est aise de s'en coiivaincreen considéranl la iialmc du (lalciil diUV'if'nrKd ; il en csl de inèiiic des autres difTérences afi'ectéos de o(/; on peut donc mettre pai loin f/o au lieu de fW, et l'on auia

d\ ddX -+- d\ dàY + d'A doL

= /■' C0S'P(^/w r/(5ù) -f- rosTîr/e dnu) -f- ros7:<^/(.) dût — s\i\r. (/'jide or. ..)+... .

On prendra Tintéi^rale de eelte équation, et, regardant les difFérences alleetées de ^ comme de simples variables, on fera disparaître leurs différentielles par l'opération assez connue des intégrations par partie; ce qui donnera

r/XoX -+- r/VoY + rflrTl ~ UrPXôX ^ rP \ (JY ^ r/'ZoZ) = /•' COS^ P ( fffj) OM -(- COS-ndi riM -h COSTT r/f.) rîj -+-...)-+-.. .

— / /•-COS^P[<'/-wfî&) -h r/(coS7Tr/£)r]'to + d[cos-doi)rJi -t- sin-f/wr/î 'It ■+■ . . .] -h . . A.

Or il est aisé de comprendre que cette équation doit être identique et que par conséquent il faut que la partie algébrique du preniier nieMd)re soit égale à la partie algébrique du second, et la partie intégrale à la partie intégrale; donc,. n'ayant égard qu'à la partie intéi>i-ale de l'un et de

l'autre membre, et ôtant le signe / , on aura sur-le-cliamp

d' X 0 X -+- d' Y 0 Y -+- d' Z rîZ

= /•^cos-'P[<'/^^) 0'j> ■+- d{ cos-ds) o« -f- d{cos-do>] rh -+- sinTT douh o- -h . . .] h- . . . .

On peut remarquer encore cjue cette valeui- ne dillere de celle de

qu'en ce (|iie la lettre d q[\\ était après la o dans les ditlérenlielles alleetées de 0^/ se trouve maintenant devant les (|uantités mêmes (|ui iiiulliplient ces dilïérentielles, et (|ue les autres termes, (pii ne renlei nient M. • 3

18 KECHEKCHES

point de semblables différentielles, ont des signes contraires. Ainsi, ayant

la valeur dr

on aura facilement celle de

d' X âX + </» Y ÔY -^ d' Z oZ,

dont ou a besoin dans la solution de tous les Problèmes de Dynamique

(jiroM voudra traiter suivant notre méthode.

Jusqu'ici la position de l'axe de rotation, autour duquel nous supposons que la Lune tourne en décrivant d'occident en orient l'angle r,j, est absolument arbitraire, et nous pouri'ons prendre telh; liijine (ju'il nous plaira pourvu qu'elle passe par le centre de gravité; mais le calcul sera beaucoup simplitié si l'on suppose qu'abstraction faite des forces étrangères, la rotation de la Lune doive être uniforme, et son axe une ligne fixe et invariable. Voyons donc les conditions qui résultent de ces suppositions; pour cela il n'y a qu'à faire

T 3= o, S = o dans ré(iuation (Aj, ce (jui la réduit à

^Cy.{d'XèX-hd'Yè\-\-d'ZèZ):=o;

et il faudra que cette équation soit vraie en faisant

f/'o) =: O, dî = O, ^/tt = O ;

or, dans ce cas, on aura (Article VII j

d'\d\ -h d'Y àY -^- d'ZàZ

= r^sinP cosPcosQ'sinTrt/w'ôe — r=sinPcosPsinO'r/o)'Ô7:;

SUK LA IJBHATION DE LA LUNE. 19

donc' réqualion à véritirr st'i'îi

siii7:^/(.)'oe T , . „ „ /w '!''<' or. f „ . „ ... rw ^-^ I a/' sinP rosP cosQ j-^ I «/• sin I* rosi* ■^lllO rr= o,

laquelle doFine séparément les deux suivantes ( Ailielc I\ , ii l:i liu^ (F) / ar^siiil* cosP rosQ' rr: o, | «/^^ siii P eosP sitiQ' o.

Telles sont les conditions nécessaires pour que la Lune puisse d'ellemême tourner uniformément autour d'un axe fixe; par (onsécjuenl si l'on suppose, comme les observations de la libralion paraissent le démontrer, (|ue ces conditions aient lieu dans la rotation de la Lune, il faudra négliger, dans la valeur (Article VII) de

(P X Ô\ -f- r/- Y 6\ + (/' Z èZ,

tous les termes où se trouvent sinPcosPcosQ' et sinPcosPsinQ'; el pour avoir l'intégrale

Çxld'XdX

-hd'YoY-hfl'ZoZ,

il n'v aura plus qu'à mettre au lieu de Q' sa valeur Q -4- oj; ce i|ni donne

cos2Q'= cos?.Qros20) — sin?Q.sin:>^), sin?.Q' ^rr P0S2Q sin?.''») -f- siiioQ cas-?.',).

En supposant, pour abréger,

|a/ cos'P H, /«/-sin'P -k,

/ ar-'eos'PcosaQ — M, / ar' cos'P sinaQ = N,

on tr(»Mvei'a poni' la valeur de

— I oc{d'\o\-h >h V è\ -t- (h /. oZ

une expression de cette forme

ilôco-t-Eôe-f-HâTT, dans laquelle

il = — y — — — - H H T- — ( M sin 2 <■,) + N cos ?. w )

dt- 2 dt^

sinnd-nde ,., -, . ,

H -T^ (M 005203 — N sin2&)),

^ (M Sin20) H- NC0S2r,))

dr-

\disin-Ti dt) — sitiTTc/M dn

M cos 2 0) — Nsin2 0)),

f/&)J7T — 4sin7Tf/^£ - , TVT ^ ( M 81112 0) H- JN cos 2 0))

dV s'\m:d(,ide -f- ^d^n -+- ysin:: cosTrt/e'

( M cos 2 0) — N sin a o) ;

ScoLiE I. — On aurait tort de croire que les conditions

1 ocr' sinPcosPcosQ' = o, / ar^sinP cosP sinQ'= o

rendissent notre solution moins générale; car je vais démontrer que, dans (juelque corps (jue ce soit, on peut toujours trouver trois axes qui passent par le centre de gravité, par rapport à chacun des(|uels ces deux équations aient lieu en même temps.

Pour cela, imaginons pour un moment que la position de la Lune, (|ue je considérerai ici comme un corps quelcon(|uc, soit tixe par rap-

SUU LA LIRRATION DE LA LUNE. 21

poil ;m plan de son (''clipt'Kjiic; et cherchons \;\ position du phm dr ré(|iiateur de manière qnc l'on ;iil

I ar'sinPcosP COsQ' - o, / ar'sInProsI* sinQ'= o;

on mira <l'ahord, en combinant les formules (C) de l'Article VI,

sinP ^=: sin7:cos;?sin^' -4- cost: sin/?,

cosP sinQ'= cost: cosp sinq' — sinr: sin/>,

cosP cosQ'= cosp cos^';

sinPcosPsinQ' = sin7i:cosTr(cos'/^sin'i7'— sin-/>) -+- (cos'r — sin'Tr) cos/y sin/>> siny' sinPcosPcosQ' = sinwcos^psin^'cosy'-i- cosn^sin/>»cos/>cos7',

et, en mettant pour q' sa valeur q — î afin que l'angle q' ail une oriiiinc fixe,

sinPcosPsinQ' = sinTT co97r(cos'/:' sin'7 cos''î — 2.co&'p sin^ cosy sinecose -t- cos^p cos'7 sin-r — sin*/») -+- (cos'tt — sinV) [cosp sïnp sinr/ cosc — cos/ysin/jcosy sine).

sinPcosPcosQ' = sin77Cos'/>'sin7COS(/(cos'£ — sin'e) -t- sin r sinîcosî (cos'/^sin'^ — cos7>»cos'y) + cos7T(sin/>'COS/Jsin7sins -+- sin/.'COS/>cosy cose).

Donc si l'on fait, pour abréger,

1 ar^ cos'/> sin'^ = A, / xr- cos'p cos-g — B,

/ xr^ ros'/> situ/ cos^ = C, / xr^ cosp s\up sin 7 ~- |),

j ar'' cosp sin/? cos^ = E, 1 xr^ sin'p — F,

on aura

/ a/'sinPfosPsinU' ~ sinTTCos7T(Acos^c — iC sinîcosî -+- Bsin"^ — F) -h (cos^tt — sin^Tr) (Dcose — Esins) = o,

/ xz-^sinPiosPcosQ' = sin-f(A — B) sinîCOS£-i-C(cos'^s — sin^c)] -+- cos7r(Dsinc -+- Ecosi) = o,

deux ('(|uations d'où l'on tirera les valeurs de £ et n. L'A première nous donne

langTT Esins — Dcose

I — tang'- A cos'à — 2C sinecose -f- Bsin'e — F et la seconde nous donne aussi

— Dsine — E cose

langr =:

A — B ) sin e cos e -+- C ( cos' e — sin' e :

donc, chassant tangTiet faisant sins = a^ on aura, après les réductions, une équation de cette forme

ax -^ bjc^ -h {f-\- gx^ ) v/i — x'^=o, ilans laquelle

a = CDK -f^ EHK - C^E - 2CHD + 2D=E - E',

b=:- 2CDK - EHK -f- 3CDH -^ ^C^E — 3I)^E + E%

/=CEK-C'D-^E'D,

g^=DHR — 2CEK — CEH-f-2CM)+ IP — H'I)-3E^D,

K étant =A — F et H = A — B. Cette équation, étant dégagée des signes radicaux, devient celle-ci

hKjuelle, ayant son dernier terme négatif, et ne renfermant aucune puissance impaire de .r, aura nécessairement, comme on sait, au moins deux