SUR LA LIBRATION DE LA LUNK
racines réelles et égales, l'une positive et l'autre négative; donc, puisiiuc
lange = — = — ?— :'
° ^1 -p» a -+- bx-
on aura au moins une valeur de tange, el par ('onsé(|U('nl de l'aiiglf i\ et cette valeur étant substituée dans l'expression de tang;: ci-dessus, on aura l'angle n correspondant. Ayant les angles ê et tt, on aur;i, coinnic on le v(>it, la position du pian cherché de l'équateur pai- rappoil ;iu \\\:\\\ (loMiic (le l'ccliptique. Si D = o et E = o, alors tang7: = o, cl le |)l:iii cherché tomberait dans le plan donné, ce (jui est évident, p;iicc (jnc les deux équations
1 xr^ cosp sinp siny =^ o, I xr^ cos/> sinyv cosq ^^ o
sont analogues aux équations de condition
/ ar'cosPsinPsinQ'=: o, i xr- cosPsinP cosQ'=o;
mais, (m reprenant les équations (jui résultent immediatenicnl de ces deux dernières équations et y mettant D = o et E = o, on trouve
sinTT cos7r( A cos'e — ?.C sine cose -+- B sin'e — F) = o, sin7r[i A — B) sine cose -(- Cicos'e — sin'e)] ~ o,
équations qui, outre la racine n = o, donnent encore
cosTT = o, (A — B) sine cose -+- Cicos'e — sin'e ^ = o;
savoir, en faisant tangs = t,
dont les d<'ux racines sont nécessairement réelles, à (anse du deinieiterme négatif; de là il s'ensuit que si, après avoir trouvé par les é()u;itions ci-dessus la position du plan cherché, on regarde niinutcnant ( <•
plan comme donné, on trouvera encore deux autres plans qui auront la même propriété, et dont la position par rapport à celui-là sera déterminée par les équations
CGsr = o, /H y; — / — I = o.
Donc : i** ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2*^' ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en t; c'està-dire qu'en nommant t' et t" ces racines, la tangente de l'angle en question sera, à cause de /'r= — i,
ScoLiE II. — A l'égard des quantités H, K, M, N de l'Article IX TéqualionsfG;], il est clair que leur valeur dépend entièrement de la figure et de la constitution intérieure de la Lune; car, soit D la densité d'une particule quelconque a, on trouvera aisément
et l'on aura
H= Çhi'di'Qos^VdVdq, K= Ç h r' chsm'V cosV (II* (l(),
M= |D/v/rcos^P^Pcos2Q(/Q, N = / Dr'^//ros^P^P sinaQ^/Q;
et, pour avoir la valeur complète de ces intégrales, il faudra, après avoir substitué pour D sa valeur en r, P et Q, intégrer : i" en faisant variei- r et en mettant, après l'intégration, sa valeur en P et en Q, qui dép^'iid de la figure de la Lune; i^ en faisant varier Q et en mettant, après l'intéi^ration Q = c, o étant la circonférence d'un cercle dont le rayon = i;
3" en faisant varier P et en mettant, aitrès l'intégration, P -- 7, et dou-
SUU LA IJBHATION DE LA LUNK. 25
l)laMt les termes. (]omme la tii^qn-c de l;i Liiiic <'sl snisiltlciiiciil s|>licn(|U(', (»ii ne s'éloiaiiei'a |)as de la vérilr en la l'ci^ardaiil coiiimc l'oiincc de dil-
férentes couches à pni près sphéri(|ues cl dont cliaciiiic soit partout de la même densité; soit donc /'(i -h eq) le rayon variai)le d'iiin' couclic quelconque de densité unii'ornic, /' étanl le ravon de cette couche, (|ui est perpendiculaire au plan de l'écjuateur, e uiu; <|uantilé constante trèspetite, et I une l'onction (juclcoiupie d(; /', P et Q, qui soit nulle, lors(jue P = 90". On remarquera : 1" (jue la (juantité D sera une fonction de r' seulement; 2'' que, si l'on néglige les carrés et les puissances plus
Il ■• • I • dir'^^) ^
hautes de e, on aura, (;n laisanl, |)Our alirei^cr, , ,- = X,
dir'^'f' r" dr = r"dr' + e . ^' dr' = r"dr' -\- e\di' ; clr
d'où il suit ({u'on aura
n= I D r'Ulr' cos^ P dP dQ-he j D\ dr' ces' P dV dQ,
K= Cbi-'Ulr' sin^P cosP d^ dQ -\- e fhXdr' siu'P cosVdVdQ,
M=: / l)/'^c//'C0S^PC0S2Qf/I>^/O+ e / I)\r//-' C0S'PC0S2Q(/Pr/O,
N = I D r"dr' cosn* dV sin^QdQ -^ e C DX dr' cos'V dV ^in^Qdi).
Soit
fl)r'Ulr'=::F;
on aura
j])r* dr' cos' P d V d() = F / cos' P dV dQ — c F Tcos' V dV = \ c F :
on trouvera de la même manière
/ D r'' dr' siii-P (OS P dV dQ = " cF,
JDr''dr' cos^P^/P cos^Q^/Q = o, JDr'Ulr' cos^P</P sïu.iQdQ = o; VL 4
on aui"j donc
/ à irès-pnu près ' K = f t-F-He / I)Xr//'sin^PcosPf/P^/Q f K = i^cF;
M e 1 l)\(/r' cos'V (JV coszQdQ,
N = e ToX dr' cos' P dV sin ?. Q f/Q.
D'on l'on voit : i*' que les cfiiantités H et K sont des quantités finies: a*' que les quantités M et N sont des quantités très-petites par rapport à H et K, étant de l'ordre de e; 3° que la quantité K — |H est aussi une quantité très-petite du même ordre, étant égale à
e TdX dr'{ sin^ P — ', cos^ P ; ces P dP dQ.
Quant à la masse de la Lune, on la trouve en intégrant l'expression de a, savoii', dans la supposition présente,
0 /V//- cosP dP dQ rr D r"dr' ces P dP dQ + ^ DX'dr' ri.s |> dP dQ, et son intégrale sera
oV; / I) r"dr' -¥- e j DXV/r' ces P dP dQ,
d' r'^'i en prenant ici X' pour la valeur de , , '•
Donc, nommant cette masse L, on aura, aux quantités de l'ordre de r près,
L = 2C j \)r"dr', d'où j\)r''dr'=^-
Or, ([uoique sans connaître la valeur de D on ne puisse délermirier le r;ippoil (le F on de jDr'dr' à jDr-dr , ou peut néanmoins trouver
SlJli L\ LlHKVIiON l)K L\ LUNE. 27
(les liinilcs nilic lesquelles ee rapport doit nécessairnnciil (liiiiciircr. Il csl clair : i" (|iie, si/exprime la valeur de r' à la surhice,
parce (pic /• ' csl loujours <lf-r -\ de plus on ;i
^'l)/"w/r'- {Dp- • Çr'^dW j\)r",/r'=\Dp- ' p-'V/D;
ce (|ui donne
3/- ^ 1)/'-///'- 5 p)/'«^/r'= jr'^^r"-/' 'l\)
égale a une (juantité positive si dD est négatif, cl a une (|u;nitilc nci-ative si dD est positif, parce que /•'- </'; donc. 2" si la dcnsile diminue du centre a la circonférence,
CDr"c/r'<lp lDr"(lr':
mais si elle augmente,
ainsi, dans ce dernier cas, la valeur de F sera contenue entre les limites
•^ — cl -= ~
Si la densité était partout la niéine, on aurait alors
ScoLiE III. — On peut au reste déterminer l:i ti-uie de h. I.une p;ir l;i Théorie, en supposant qu'elle ait été originairement lluide, ( t (|n'<lle ;iit conservé, en se durcissant, la forme qu'elle aurait diï premlie. en vertu de la iiravitation mutuelle de ses parties, combinée avec l:i Icrce eentri-
28 KECirERCHES
fuge et avec l'attraction de la Teire. Pour cela, nous supposerons que le premier méridien de la Lune, d'où l'on commence à compter les angles Q, soit celui qui passe |)ar la Terre, lorsque le lieu moyen de cette Planète est égal à son lieu vrai , et nous regarderons l'attraction de la Terre coinine agissant dans le sens du diamètre de l'équaleur qui se trouv<' <lans le premier méridien; ce qui est vrai à très-peu près, à cause que la Lune nous présente toujours sensiblement la môme face. Or soient ç/ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sous l'équaleur de la Lune Ht 0 la distance moyenne du centre de la Lune à la Terre; on trouvera généralement poui' la figure de chaque couche
ç = A cos-P -¥- B ros^P cos^Q,
et les deux (juantités A (;t B seront déltM-minées par les deux équations suivantes
/ J)(/(B/'^) + /'^fy] - f\)dB] =o, \ e T.p-' Q.C ic J \ J )
fi et n étant égales à ce que deviennent I DdA et / DdB, lorsque r'=/;
la démonstration de ces formules est facile à trouver par les principes établis par MM. Glairaut et d'Alembert; je ne la donne point ici, pour ne pas m'écarter trop de mon objet principal. On aura donc dans cette hypothèse
ar' dr' dr'
et par conséquent on trouvera
D\ dv' cos^ P dV dQ ={ic j f) di A r'^ ) -f- fi c / D d, B /'^ ),
j \)\dr'sin'PcosVdPdQ = ^c Cl)d(\r'') + ^c fl)diB, ■"■'),
JDXdr'cos'VdPcos7.QdQ = -^c f[)d{Br"),
