SECTION PREMIÈRE

KyU.VTlONS DIFFERENTIELLES DU MOUVEMENT D UNE COMETE AUTOIR DU^OLEIL, EN AVANT ÉGAUD AUX PERTURBATIONS Qu'eLLE PEUT ÉPROUVER PAR l' ACTION DES PLANÈTES.

1 . Je prends la masse du Soleil pour l'unité, et je nomme m la masse (le la comète, a, a',... les masses des planètes perturbatrices. Il est clair (juc ces quantités m, a, a',... doivent être des fractions très-petites, puisqu'elles expriment les rapports des masses de la comète et des planètes à la masse du Soleil; en effet on sait que Jupiter, la plus grosse de toutes les planètes, a environ mille fois moins de masse que le Soleil; et quant aux masses des comètes, quoiqu'elles soient inconnues, on ne |)cut guère les supposer plus grandes que celle de Jupiter, autrement il pourrait résulter de leur attraction des dérangements sensibles dans les orbites des planètes; ce que les observations n'ont pas encore fait connaître, et ce qu'on ne suppose pas d'ailleurs qui arrive dans le Problème des comètes, tel qu'on l'a envisagé jusqu'à présent.

Nous regarderons donc dans la suite et nous traiterons les quantités m, a, [j! ,... comme des quantités très-petites, dont il sera permis de né-

DES pi: KTUU BATIONS DKS COMETES. i07

gligcr les puissances cl les iHoduits de deux ou de plusieurs dimensions. Cette supposition est conforme à ce que les Géomètres oui |)r;ili(|ii(' jusqu'ici dans la Théorie des planètes principales et dans celle des comètes, et une plus i^rande exactitude ne serait peut-être d'auc une iilililé.

2. .Te rapporte les orbites que la comèle et les planètes décrivenl ;iiiloui' du Soleil à des coordonnées rectangles, prises du centre de cet astre, et parallèles à Irois droites fixes et perpendiculaires entre elles.

Et je nomme ces coordonnées a-, j^, z poui- l'orhilede la coiiii;te; ?., r,, Çpour l'orbite de la planète [x; B',r/, Ç pour l'orbite de la planète a', etc.

Je nomme de plus r la dislance de la comète au Soleil, ou le rayon vecteur de son orbite; p le rayon vecteur de l'orbite de la planète a; f/ le rayon vecteur de l'orbite de la planète p/, etc.

Enfin je désigne par R la dislance de la planète p. à la comète; par H la distance de la planète (x' à la comète, etc.

Il est clair qu'on aura

^^^^^ri-^z\ p = v'^^ + y]'H-i:S p'=y/^'-^-f--/,'2-t-r^ ...,

3. Cela posé, si l'on décompose, suivant les directions des trois cooidonnées rectangles x, y, z, toutes les forces qui agissent sur la comèle pour lui faire décrire son orbite autour du Soleil, savoir : les attractions

— ■> ^î ~i ' ' • exercées par le Soleil et par les planètes sur la comèle, el les attractions —5 -^5 4rî--- exercées par la comète et par les planètes

f,2 p2 p'2 I ri

sur le Soleil, et qwi doivent être transportées à la comète en sens contraire; el qu'on égale la somme de toutes les forces (jui agissent suivaiil

la ligne x et qui tendent à diminuer cette ligne à j-- . la somme de

toutes les forces qui agissent suivant j à ^; et la somme de toules

d^ z les forces qui agissent suivant z i\ r— > dt étant les éléments du temps

vos HECHEKCHKS SUK LA JllÉOllII':

supposés conslaïUs, on aura ces trois équations

d'^x [i-ir m) X î ^ — 'i W , [ ^ — l' l' ,

dp /•' •■ V R' pV '■ \ H'' p

' U. 7ZT- -H — 1 -H 'J.

yi yi

df /■' •■ \ K' pV ■■ \ K'^ p

lesquelles, d'api'ës les principes connus de la Dynamique, serviront à déterminer le mouvement de la comète par rapport au Soleil regardé comme immobile.

4. On aura des équations semblables pour le mouvement de la planète \L autour du Soleil, en tant qu'elle est dérangée par l'action de la comète et des autres planètes; pour cela, il n'y aura qu'a cbanger, dans les équations précédentes, les quantités/??, x, j, z, r, appartenant à l'orbite de la comète, dans les quantités analogues p., S, rj, Ç, o, appartenant à l'orbite de la planète, et vice versa, celles-ci en celles-là.

Mais il faut considérer que pour notre objet il n'est pas nécessaire de tenir compte des termes affectés des quantités très-petites m, fx, tj.', . . . dans les équations de la planète, parce que les quantités S, vî, Ç dépendant de ces équations ne se trouvent dans les équations de la comète que dans des termes déjà affectés de la quantité très-petite /jl.

On peut donc réduire les équations de la planète p. aux deux premiers

termes, savoir

dt- p^

et l'on réduira, par des raisons semblables, les équations du mouvement

OKS PEUïUniiAïlONS DES COMÈTES. '«Of»

de la planèlc p.' à celles-ci

di^

d'ft' dp

d'-Ç dp

et ainsi pour les autres planètes pei(ui])ali'ices.

Ces réductions sont fondées, comme l'on voit, sur la supposition que, dans le calcul des perluihalions des comèles, on néglige les perturbations des planètes perluihaliices. Si cette supposition n'est pas rigoureusement exacte, elle est du moins permise dans la première approxiniaiion, à laquelle nous nous contenterons ici de borner nos Kecherches, à l'exemple des grands Géomètres qui ont tiailé avant nous le Problème des comètes.

5. En considérant les expressions des (juantités r, p, p',..., R, R',..., il est aisé de voir (ju'on peut mettre les équations précédentes sous une forme plus simple que voici :

Pour la comète.

dt' * 'dx ■' dl ■' </f

d'r ''T- ''(;-Ti) /(7-1F

dP dy ' dn ^ d-n'

= (i -h m) —, 1- a --^^—rz 4- a' -

y li'J

dp ~' ^ ' dz ' de, ' < ^■••'

Pour la planète y.,