VI
ilO RECHERCHES SUR LA THÉORIE
Pour la planète jx',
I— ' fi— I —
cl ainsi des autres.
d'- dl r r
Dans ces formules, les expressions -j—^ -tt'*" dénotent, suivant la notation reçue parmi les Géomètres, les coefficients de dx, dy,... dans la (litTérentielle de -•, et ainsi des autres expressions semblables.
6. Si l'on suppose que dans le mouvement de la comète on fasse abstraction des forces perturbatrices, il faudra rejeter, dans les équations de la comète, les termes affectés de p-, ,a', ... ; on aura ainsi
Pour l'orbite non altérée de la comète,
di' dx dt- (!)• (W dz
Nous pouvons supposer que les quantités x, y, z se rapportent à l'orbite non altérée, et sont par conséquent déterminées par les équations précédentes; dans cette supposition, il est clair cjue les vraies valeurs des quantités x, y, z, dans l'orbite troublée, ne peuvent diderer des précédenlcs que par des quantités très-petites de l'ordre de /jl, a',..., qu'on peut désigner, pour plus de simplicité, par la caractéristique f), à la manière des différences ordinaires; et la rechercbe des perturbations de la comèt(; se réduira à déterminer les valeurs des différences fî.r. âv, oz.
7. Dorénavant donc les (juantités x, y, z, r appartiendi'ont toujours à l'orbite non altérée de la comète, et devront par consé(juent se déterminer par les équations du numéro précédent. Dans l'orbite troublée.
DKS l'KKTUUlîATlONS DES COMETES. Vil
ces quantités (leviciidronl x-\-ox-, v-hây, z-+-(iz, r -t- or, et (l(;vi'(iril être délerniinées par les ('ujinilioiis du n" 5, m inetlaiit dans ces tHjuations ces nouvelles (juanlilcs à la place des premières jo, y, z, r. 0\\ comme l(;s dillercnccs àx, ây, oz sont très-petites de l'ordic a, a',..., il sullira de conserver, dans cette substitution, les premiî'res diin<'nsioiis de ces différences f pai- l'hypothèse du n" 1;, dans les termes non alleclés de p., /j,',...; et, dans les termes aiïectés de ces quantités, on pourra néj^ligcr tout à l'ail les ditlerences dont il s'aj^it.
Ainsi donc le terme ^— de la première équation du n" 5 deviendra
le ternie [i-hin] -r- «le la même équation deviendra
dj' /d'j d^'- d'~
^' ^ '"^^ ^ " "^ "'^ Ki^^ '^^' "*" d^- "•'■ "^ d^ °'
et les autres termes demeureront les mêmes.
On transformera de môme la deuxième et la troisième é(juation ^yi mouvement de la comète, et, effaçant ensuite les termes qui se détruisent en vertu des équations du n" 6, on aura ces trois-ci, qui serviront à déterminer les valeurs des quantités fî.r, ^y, ^z, dues aux perturbations de la comète :
Pour les perluvbations de la comète.
ï\'2 RECHERCHES SUR LA THÉORIE
C'est donc, de l'intégration de ces équations ([ne dépend la solution du Problème des peiiurhations des coniëtes. Nous allons nous en occuper, après avoir l'ail (|uel(|ues reniar(jues générales sur la nature de ces é(|!ialions.
8. J'observe d'abord (jue, comme ces é(iualions ne renferment que les premières dimensions des variables (ix, f)r, rî^, on peut cliercber à pari les valeurs de ces variables pour les dillerents termes aflectés des (juantilés |jl, '/,..., et qui viennent de l'action des différentes planètes dont ces (juantités sont les masses; car il est visible que, si l'on réunit ensuite ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des variables (^x, h', ^^, qui satisfont aux équations proposées.
En général, il est facile de concevoir que, lorsqu'on néglige, ainsi que nous l'avons fait, les carrés et les produits des forces perturbatrices, l'effet total de ces forces doit être égal à la somme des effets (|ue cliacune en particulier produirait si elle était seule.
0. Je remarque ensuite (jue les termes multipliés par les masses a, 11',... des planètes perturbatrices deviennent d'autant plus petits que les quantités^,/, s sont plus petites, c'est-à-dire, que la comète est plus près du Soleil. En effet, en supposant x, y, z des quantités très-petites vis-à-vis de ^, 75, Ç, on a à très-peu près (n" 2}
d'où l'on voit nue la (luantité 775 ainsi (lue ses différences divisées
^ ' p II '
par d'i, dri, dÇ, seront du même ordre de petitesse que les (juantités x, y, z. Par conséquent, si l'on suppose que ces quantités soient devenues de l'ordre des quantités p., a/,..., il est ( lair que les termes dont il s'agit seront pour lors de l'ordre de a'-, au.', ... ; de sorte qu'on pouira les négliger, d'autant plus (jue, dans ce c:is, la ([uantité - devient d'autant
DES PEKTOKIÎATIONS DES C(3MÉTES. Vi:{
plus graiiflo. (a\s tcniirs disparaissani, il est visil)le (ju'oii pourra satisfaire aux ('([ualioiis pi'oposées par la siipposilioii de r)x=^o, oiv = o, oz = (). Ainsi l'on pciil ici^arder ces valeurs comiuic les liuiilcs des v;iriahles oa;, nv, oz, du côlc du Soleil.
10. \'oyous maiuteiiant (pudJes sont les limites des mêmes variables du colé opposé.
Supposons donc les quantités x,y, z infiniment grandes vis-à-vis de 2, n, Ç; on aura ici fn" 2)
rlL fil d- (P- (Pl iPl r/-'- <nl fPl
- — *^ VI — - — - ^ ^ '--^ T,-\ —^ 0-\ ; ;- Ey,H : r- cC
H /• (l:r ' dy (Iz ' 1 (l.t' ' 'x d)^ 'X dz' ' dxdy' dvdz ' dr dz
J'ai poussé ici rapj)ro\iuiation jus(|u'a la seconde dimension des (juautités ^,, ri, Ç, parce (|ue la diiïérentiation par d^, dn, dÇ fait disparaître une dimension de ces (juantités.
Ou aura donc
dx
dx-
dx </>• dx dz
dn
dy dx dy ' dy^ dy dz
dz dx dz dy dz
Qu'on substitue ces valeurs dans les équations du n** 7, en n'ayanl égard qu'aux termes affectés de [j., par la remarque ci-dessus (n° 8j, on aura les équations suivantes
U. fi .U -J^ Ur - -^ .U % Uz --^à
