VI
4i8 RECHERCHES SUR LA THEORIE
12. On peut aussi donner une l'orme semblable aux équations primitives (lu n° 7. En effet, si l'on fait
d'- rf' ^l \ ^ I I p p ^ p I
a p \f/H dn " dt, /
et que l'on fasse abstraction des ternies affectés de [}.' , on aura
=: ( I H- /?? ) \ -j— ox H- - — ~ ôy -\- -j — j- àz I — a
dp \dx^ dxd'i- '■ dxdz J '' dx
d^èy
dp ~''-^"'\dvk-^''-^dP^-^
troz /* .
13. On voit que la quantité - contient les deux premiers termes de
la quantité -^ développée en suite ascendante par rapport aux puissances
de X, y, z; comme la quantité ^ contient les deux premiers termes de la
même quantité ^ développée en suite ascendante par rapport aux puissances de ç, n, 'Ç. en négligeant (ce qui est permis ici) la différence infiniment pelit<' entre et l'unité : d'où résultent naturellement les
conclusions que nous avons trouvées plus haut (n°'' 10. 11).
Il s'ensuit aussi de là que, tant que r<p, il est plus simple de se servir des formules du n" 12, et qu'au contraire, lorsque r>/5, il est plus avantageux d'employer celles du n" 11; d'autant plus que dans celles-ci les termes affectés de p., et qui sont l'effet des forces perturbatrices, deviennent presque nuls lorsque la comète est à une grande distance du Soleil.
Si:CTION DEUXIÈME.
I NTEtiUATION DKS ÉQUATIONS I) 1 1' K É U K NT I ELL ES I) E I O K 11 I T Ë .NON ALTÉRÉE.
14. Ayant décomposé les équations générales du mouvement de la comète en équations de l'orbite non troublée (n" 6j et en ériualions des peilui'balions (n"7j, nous allons nous occu[)er, dans cette Section, de rintéij;ralion des premières. Nous pourrions, à la vérité, nous en dispenser, puisqu'on sait d'avance, par les Tliéorèmes de Newton, (jue, sans les forces perturbatrices, la comète doit décrire autour du Soleil une section conique dont cet astre occupe le foyer, et que le temps doit être proportionnel à l'aire parcourue, divisée par la racine carrée du paramètre. Mais, comme nous avons besoin de connailre les intégrales mêmes des équations dont il s'agit, il est beaucoup plus court et en même temps plus direct de chercber ces intégrales par l'intégration effective que de les déduire des propriétés des sections coniques.
Les équations qu'il s'agit d'intégrer sont celles-ci, en mettant pour
-r-' -r—' -7— leurs valeurs (l.x d) • (Iz
dp
dl-
On peut intégrer ces équations y.w différentes méthodes: celle doni je vais faire usage m'a paru une des plus simples.
Je remarque d'abord que, en supposant les deux premières équations, on peut satisfaire à la troisième en faisant
z ^ hx -h c} \
h etc étant deux constantes arbitraires; et il est visible que cette valeur (le z est en même temps l'intégrale complète de la troisième équation, puisqu'elle renferme deux constantes arbitraires.
Je multiplie maintenant la première des trois équations différentielles proposées par 2dx, la seconde par 2dY, la troisième par 2dz; ensuite je les ajoute ensemble, et j'intègre : j'ai
dx' ■+- dr^ -+- dz^ , l\
a étant une constante arbitraire.
Je multiplie ensuite les mêmes équations par x, y, z, et j'ajoute à leur somme l'équation précédente : j'ai, à cause de r^ = x'^ -^ y"^ -H ^^
2 dV ' ' \r a
Cette équation étant multipliée par d{r'^), et ensuite intégrée, donne celle-ci
'id[n
1 dt
h étant une nouvelle constante arbitraire. Or
- d'' {r^) z=z r d'' r + d r- et
t-Hlr-;
donc, si l'on divise l'équation (Dj par r'- , et qu'on la retrancbe de l'équation (C), on aura, après avoir divisé par r,
d^r dF
équation qui, en faisant 2/i —r=:p, prend cette forme
dt^ r^
qui est, comme l'on voit, semblable aux équations primitives.
C'est pourquoi ou aura sui-le-cliaMip cctlt' iulégrale p =^ f.r -\- f^ y , ou
hu'U
(E) 7J1— I =fx-^g}\
fei gôXimi doux uouvelles constautes arl)ilrair('S, on sorlo (\ur riiilri^iali; esl complète;.
Les équations (A) et (E) offrent déjà, counur l'on voit, deux intégrales finies. Ou trouvera la troisième au moyen de l'équalioii 1)^,
laquelle se réduit à
r dr , ,
— ■=: dt V 2 ' I + /n ) ,
dont l'iutéi^rale est
i étant encore une constante arbitraire.
Cette équation détermine ren t, et les équations (A) et (E), combinées avec celle-ci r^ = a?- + j- -1- z'^, servent à déterminer x, y, z ^w r-, ainsi l'on aura x, y, z en /, Mais ces valeurs, pour être complètes, doivent renfermer six constantes, parce que les équations différentielles proposées sont chacune du second ordre. Or l'équation (A) renferme d«Mix constantes arbitraires b et c; l'équation (E) en renferme trois/, g cl //. et l'équation (Fj en renferme encore deux autres'^ et /. 11 y fu a donc en tout sept, et par conséquent une de plus qu'il ne faut.
En examinant la chose de plus près, il est aisé de s'apercevoir (|ue cela vient de ce que la constante a a été introduite par l'intégration (jui a donné l'équation (Bj, équation dont nous n'avons point tenu compte dans la suite du calcul comme d'une équation intégrale. Il est donc nécessaire d'avoir égard à cette équation, et il en doit résulter une écjnation de condition entre les constantes; en sorte (|u'il n'en restera |dus que six d'arbitraires, comme le Problème le demande
15. Commençons par déterminer oo, y, z en r. Les équations fAj et (E) donnent, en retenant /> à la plaee de 2/1 — /-,
substituant ces valeurs dans oo^ -\- y- ■+- z- = r'- , el ordonnant [)ai raj»poil a z, on a
[;c/— %)^+/'H-§']z^ — 2(^/-H cg> pz + ('6^H- c')p^ — [cf— bg 'r-= o,
d'où l'on tirera z, et ensuite x el j. Si l'on t'ait, pour plus de simplicité,
on trouvera
^^ l/+ ^' '■f-J>AL^P-^1
Y [cf-bgY+p+g' '
f . ^ {bf-hcgp-h{cf-bg)q
'- ^cf-bgf+p + g^
16. Maintenant l'équation (B) donne, en chassant <//, par le moyen de l'équation { Dj,
dx^ -^ dp -h dz^ = dr^ ;
mais les équations précédentes donnent
d.^-^dr^+dz^=''^^';^:^^'^:'^'f,
^cf-bgY-i-j^-^g^
il faut donc que ces deux expressions de dx^ -\- dy- -\- dz'^ deviennent identiques après qu'on aura substitué dans la dernière les valeurs de/? et q en r.
(^es substitutions l'aitc's, on vcri';» (jik' ridcntité Miira lien en cllcl, en faisant
4/'. ^cf-hgy+p + g-
C'est l'équation de condition cherchée.
Si, dans l'expression de q du iinnn'ro précédent, on substilin- la valcni' de (cf— hg f^ -hf- -h i^'- donnée par Trijualion (G), que nous venons de trouver, et qu'on y nicHc <lr plus pour /> sa valeur 2/1 — /•, elle deviendra
q = ^s/h[y-hb-'-hcn\J r-~ -
17. Pour pouvoir appliquer les formules précédentes au mouvement des comètes, il faut connaître les valeurs des constantes (|ue ces fornniles renferment.
Pour cet efl'et, je remarque d'abord ({ne l'équation (A) est celle d'un plan dont la position, à l'égard du plan des coordonnées a? et r, dépend des constantes b et c. Ce plan sera donc celui de l'orbite de la comète, et qui est déterminé par les observations.
Soient w l'angle que l'intersection des deux plans, c'est-à-dire, la ligne des nœuds de l'orbite sur le plan des x et y, fait avec l'axe des oo^ et (j; l'inclinaison de l'orbite sur ce dernier plan; il est facile de prouver
qu'on aura
f = tang^i coso, 6 = — lang^]; sinoK
L'équation (E) servira ensuite à déterminer la figure de l'orbite; et il est aisé de conclure de la forme môme de cette équation que l'orbite ne peut être qu'une section conique, ayant le foyer dans l'origine des ((xndonnées, en sorte que r sera le rayon vecteur de l'orbite.
L(;s deux apsides seront donc aux points où -^ = o; or, dans ce cas,
l'éc) nation (Dj donne
r fi = o,
équation dont les deux raeines sont
[ail
La somme de ees deux raeines sera le grand axe, et leur différenee, divisée par la somme, sera l'excentrieité. Donc le grand axe de l'orbite
sera «f, et l'exeentrieité sera w i — — • que je désignerai dans la suite par e.
Puis doue que
on aura
« y/i — e== \J^lia = au petit axe de l'orbite;
par conséquent, 4^ sera le paramètre du grand axe.
Or on sait que le rayon vecteur qui répond à 90 degrés d'anomalie, c'est-à-dire, qui est perpendiculaire au grand axe, est égal au demi-paramètre. Donc on aura à 90 degrés d'anomalie /■ = 2 A, et l'équation (E)
donnera/^ H- gy=^ o; d'où l'on tire — = — ^, égal par conséquent à
la tangente de l'angle que fait avec l'axe des x, dans le plan des œ et j, la projection du rayon vecteur qui répond à 90 degrés d'anomalie dans l'orhite.
Soit cet angle =90*^+8, on aura donc ^ = tang£; donc, taisant
1= \//- -h g- , on aura ^ = /sin£, /=/cos£; ces valeurs étant substituées dans l'équation (H) du n"* 16, ainsi que celles de ^ et c trouvées
ci-dessus, et mettant e'- à la place de 1 — —1 elle deviendra
,. I H- tang'd; cos^(6j — e) , , . ., . ; ,-,
e'=h- 5 jr ^ i ==/2 I — sin'<J;sin' (0 — £)];
d'où l'on tire
\/ 1 — sin^ 4' sin'^ (o) — e)
OKS PERTURBATIONS DES COMÈTES. 'ri5
(lo sorte (pi'oii ;iiii;i
/. ecose esine
v/i — sin'''4' siii'(o) — e ) y/i — sin'''^' sin'(&) — e)
18. Si l'on l'ail coiiicidci' le plan de l'orhik' av(M', celui de a; et J, on aura ij; = 0, et l'angle s sera évidemment celui (juc le i^iand axe de l'orl)il(! fait avec l'axe des ce. Donc, si l'on suppose de plus (|ue ces deux axes coïncidenl, on aura aussi £ = 0; de sorte que, dans cette hypothèse, h =0, c = (),/= e, g = Oy et les forniules (G) du n" 15 donneront
e " e savoir
2/1 — r ■?. Jli ^ I /•- ,
Or il est visible (jue, dans ce cas, ^ et j deviennent les coordonnées de l'orbite dans le plan même de cette orbite ; et comme ces coordonnées doivent être indépendantes de la position du plan de l'orbite, il s'ensuit que les valeurs précédentes de x aiy exprimeront toujours, l'une l'abscisse prise dans le grand axe depuis le foyer, et l'autre l'ordonnée rectangle dans le plan même de l'oibile, quelle que soit d'ailleuis la position de ce plan.
Donc, si l'on nomme o l'ande du ravon vecteur r avec le i>rand axe,
on aura, dans la supposition pi'écédente,
• a: = /'C0S9, y =: rs'xno; savoir
o.li — r . 2 Jfi I
r coso = • /' sin o = — ^ — \/ r ni
(I où I on lire
V '•< I + e coso '
i-i-écoso V (i i + ecos9
cette expression de /• fait voir que cp est l'anomalie vraie d»' Torbile, comptée de son périhélie.
V2r> RECHERCHES SUR LA THÉORIE
On aura donc, en général,
ersino
pz=ercoso, q
cos^j;
et l'on pourra, par ces substitutions, dans les formules (F) et (G), avoir les valeurs de t, x^y, z exprimées par la seule anomalie ^.
19. Dans le nœud, on a 5 = 0; donc (équation G) {hf-jrCg)p-\-{cf — bg) g = o, savoir, en subslituanl les valeurs précédentes de p et q,
of H- 6"^' ) ces© -+■ [cf — bg) \- = o,
où ç est l'anomalie qui répond au nœud.
Dénotons cette anomalie par «, on aura donc
[bf-\- cg) cosa cos^' -*- ( t'/" — bg) sina = o;
d'où l'on tire
g c sin a-h b ces 4> ces a
f 6 sina — ccosi|>ro.s«
et, en mettant pour h et c leurs valeurs (n" 17),
g" __ — cosw sina -f- coyij; sinoj cosa • f siiiM sina + cos4> coso cosa
maison a trouvé plus haut (n"17) -^ = tangs; ainsi l'on aura l'équation
— cosw sina -+- rosd; sin oj cosa
langs= — . 7-^ ;
sin&) sma -f- cos^]; cosc) cosa
d'où il est aise de tirer
— ces &) sina H- CCS 4^ sin M cosa sinw sinaH- cosd» coso) cosa
Sin£ = 5 C0S£= ^ -^
y I — sin'4^ cos^a y/i — siri'di ros^a
et, en substituant ces vahîurs dans les expressions de /et g du n" 17, on trouvera
/. / sin6)sitia\ / . coswsinav
/ = e roso) cosa H -, — U «j-:- e suio) rusa -, ;
\ cos'l' / \ cos^ I
par là, et par 1rs vaiciiis de h et c, on aura
r. / n I ^ e(cos« cosa H- sino) sina ccsd») /-t- ce/— bg) = -^ -j ÏJ,
,, y, , , e(sin(i)C0sa — coscosinacosd») ,/.,,/. e'
de sorte que, à cause de o = ercosç;, a = — '■ — r^, les formules (G) du
^ ^ ' ' cusq; '
n" 15 deviendront
^ =: /-[cos^) cos( 9 — a) — siiio) siii(<p — oc) cos^j^], ■>'= r[sino) cos(9 — oc'i -+- cos'.) sin((v — aj rosd;], 2 rr: /• siii'l sin(cp — a),
dans lesquelles 9 — a est ce (ju'on nomme l'argument de latitude. 20. Si l'on fait
y/fl — 4 /'
sinM, 9.t
et qu'on se souvienne que i/ i— — = e ( n" 17j, il est clair que l'équation (Fj du n'* 15 prendra cette forme très-simpl(>
u — esiuM = 0,
dans laquelle u sera évidemment ce que l'(ui nomme, d'après Kepl<M. l'anomalie excentrique, mais comptée du périhélie, et où 0 sera, par conséquent, l'ai^omalie moyenne.
Doik;, commo 5 = / loisijue ^ = o, on voit que la constante i n'est autre chose que l'époque de l'anomalie moyenne.
En appliquant les formules au mouvement de la Terre auloiirdu Soleil,
et prenant la distance moyenne - pour l'unité, on aura, en négligeant
m — „ .„^c- vis-a-vis de i ,
t -h i = 0 = l'anomalio moyenne du Soleil ;
d'où il s'ensuit que t, exprimé en angles, représentera proprement le mouvement moyen du Soleil pendant le temps écoulé depuis l'époque d'où l'on part; et qu'ainsi, en divisant la valeur, de t par 36o degrés, ou bien, si t est exprimé en nombres (la distance moyenne du Soleil étant l'unité), en divisant la valeur de t par le rapport de la circonférence au rayon, on aura le temps exprimé en années sidérales, puisque nous pouvons faire abstraction ici du mouvement de l'apogée du Soleil. Or, puisque
a \ (i cû a / \, a
il est clair qu'on aura donc
et comme (n°* 15 et 16
— =z e cos« :
a r=: - [i — e CCS m'
p = "?. Il — r, q = 2 <^li (\ -1^ b^ -\- c'] \/ V — // ,
on aura, à cause de h
ae
p= (COSM
q = — ^{i — e^j [i -+- Ir -\- C-) sinu.
De sorte que, en substituant ces valeurs dans les formules (G j, on aura aussi X, y, z exprimées en u.
Dans la parabole, le grand axe a de vie ni infini, |>;u' (•(>ns(''(|n(Mil l'iini^Uw/ estinfîninionl petit. Dans les eHi[)ses très-all()nL,^ées, telles (jue sont les orbites (lescomiiles, la cpiantité a est seulement tii's-grande; donc l'angle k sera très-petit, du moins tant (juc r n'est pas fort grand
Dans ce cas donc on aura
M =. sni« H- -: siii'/« + -^ siii^M H siii'// -t- . . . ,
et ré(juation enli'e 0 et u deviendra
0 = (i — e) sin« -+- - sin-^w + 7- swx'm H sin' /<-(-. . ;
mais
