INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES PERTURBATIONS

22. Nous avons vu, dans la première Section, que x, y, z étant les

coordonnées de l'orhile non altérée, et a: H- ^x, y -h §r, :; -h f^r- celles

de l'orbite troublée par raction d'une planète fj., ou a poui- la d('t<'riuinalion des (|uanlilés (ix, oy, (iz les é(|iiatious suivantes

fi' dx

—rj- = (i + m , \ -, — — ^x -^ —TT 0)' H — ; — J- oz j — iJ.\ ,

d^àz , ... . . • I /

—7-7— =(•-<- '" ) \ —, 7- 0-^ H -• — Oy -+- — TT oz I — 'J. A,

en faisant, pour abréger (n° 12),

x=lli^, v=='!lbi), z=liizil.

23. C'est doue de l'intégration de ces équations (jue dépend la recherche des perturbations causées par l'action d'une planète quelconque sur la comète. Or celle intégration dépend, comme l'on sait, de celle du cas où il n'y aurait aucun terme tout connu, à cause que les variables inconnues ^x, ^y, ^z ne paraissent que sous la forme linéaire. Ainsi toute la dillicullé se réduit à intégrer des équations de la forme suivanle

d^ ox

df '

= 1 -+-/;/ \ -; — J— 6x H ; 7— 0)' -f- -p— OZ

dt^

d'èz

dr \dzdx dzdr dz

24. Si l'on se rappelle les calculs du n'' 7, on doit voir (jue les é(|ualions précédentes résultent des écjualions de l'oibile mui altérée, eu v

faisant varier les quantités x, y, z, des dillerences âx, fy, oz regardées comnie intiniment petites. Donc les intégrales des équations dont il s'agit doivent résulter aussi des intégrales des mêmes équations de l'orbite non altérée, en y faisant varier non-seulement ces mêmes quantités, mais encore les constantes arbitraires introduites par les différentes intégrations, et (jui, n'existant point dans les équations différentielles, peuvent, à leur égard, être aussi regardées comme variables.

Ainsi donc, pour avoir les intégrales des trois équations différentielles du numéro précédent, il n'y aura qu'à différentier à l'ordinaire les intégrales de l'orbite non altérée, trouvées dans la seconde Section, en y regardant les trois indéterminées x, y, z et les six arbitraires a, b, c, /, g, i, comme variables à la fois, et marquant leurs différences par la caractéristique ^ [à l'égard de h, elle doit aussi être traitée comme variable, parce que c'est une fonction de a, b, c, f, g, donnée par l'équation (H) du n"" 16] ; les différences de ces arbitraires seront elles-mêmes les nouvelles constantes arbitraires que les intégrales cherchées doivent contenir pour être complètes.

25. Comme les formules [Çi) du n° 15 donnent x,y, z en r, et que la formule (F) du n'* 14 donne ren t, on pourra tirer directement de la différentiation des premières les valeurs de ^x, oy, t^z en or; ensuite on aura ^r par la différentiation de la dernière; mais, à la place de r, il sera plus simple d'introduire l'angle u, au moyen des formules du n'' 20; et, pour donner à notre calcul toute la simplicité dont il est susceptible, nous remarquerons de plus que, la position du plan des^retj, auquel nous avons jusqu'ici rapporté l'orbite de la comète, étant arbitraire, on peut, sans nuire à la généralité du Problème, supposer que ce plan coïncide avec celui de l'orbite non altérée de la comète; et l'on peut, par la même raison, supposer aussi que l'axe des^c coïncide avec le grand axe de la même orbite, en sorte (jue les abscisses a; soient prises depuis le foyer et soient positives en allant vers l'apside inférieure.

Ces deux suppositions donneront (n"* 17 et 19)

t|; = o, « = (.); donc /> = o, c = o, f^e, g^o,

DES PERTURBATIONS DES COMÈTES. ï:V.\

cc(\u\ simplifiera hcaiicouj) les expressions Unies de ^, J, z; mais, coniiiie les dilTéreiices âh, ^c, (ig ne sont pas nulles, il ne faudra pas faire disjtaraître enlièremiMjt les quantités h, c, g-, niais il en faudra conserver les premières dimensions dans les expressions de x,y, z, afin de pouvoir en tirer par la dilférentialion les valeurs complètes de (^x, fy, âz.