I. Propriété

Soit une multitude indéfinie de grandeurs telles qu'on voudra A, B, C, D, desquelles on connoisse la somme simple, la somme triangulaire, et la somme pyramidale, à commencer par A.

PROPRIfiTËS DES SOMMES

Je dis qu'on connoistra aussi leur somme triangulaire et pyramidale, à commencer par D.

Car, soil prise, fig. i i.. la lii^iic liuuUe AF, de lelle grandeur qu'on voudra, laquelle soit divisée en

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un nombre indefiny de parties égales aux points H, et que de tous les points de division on esleve des perpendiculaires HD, qui soient entr'elles comme les grandeurs proposées, c'est à dire que la première II D (qui est la plus proche du point A) soit à la seconde HD comme A est à B, etc.

Maintenant, puis qu'on connoist tant la droilte AF, par la construction, que la somme des droittes HD, par riiypothese, on connoistra la somme de tous les rectangles compris de AF et de chacune des HD ; mais la somme des rectangles AH en HD est

donnée (puis que la première AH estant i , la seconde AH 2, etc., la somme des rectangles AH en HD n*e8l autre chose que la somme triangulaire de toutes les HD, à commencer par A, laquelle est donnée par l'hypothèse). Donc la somme des rectangles restans FH en HD sera donnée, c'est à dire la somme triangulaire des HD, à commencer par F, et par conséquent aussi la somme triangulaire des grandeurs proposées A, B, G, D, à commencer par D.

De mesme, puisque AF quarréest donné, et aussi la somme de tous les HD, il s'ensuit que la somme de tous les AF quarré en HD est donnée ; c'est à dire, la somme des solides compris de chaque HD et de AF quarré. Mais par les lemmes supposez dans l'Avertissement, AF quarré est égal à deux fois FA en AH, moins AH quarré, plus HF quarré. Et cela est tousjours vray, quelque point que l'on considère d'entre les points H : donc tous les DH en AF quarré sont égaux à deux fois tous les DH en HA en AF, moins tous les DH en HA quarré, plus tous les DH en HF quarré ; mais tous les HD en AH en AF sont donnez (puis que AF est donnée, et aussi tous les AH en HD, comme on vient de voir) et tous les DH en AH quarré sont aussi donnez, puis que c'est la mesme chose que la somme pyramidale des HD, à commencer par A (laquelle est donnée par l'hyp.). Donc aussi tous les restans, sçavoir tous les DH en HF quarré, seront par conséquent donnez ; c'est à

PROPRIÉTÉS DBS SOMMBS 10

dire la somme pyramidale des HD, à commencer par F ; et partant aussi la somme pyramidale des grandeurs proposées, à commencer par la dernière n r.» qu'il fulloit demonstrer.