II. PROPniBTÉ

Les niesmos choses tslanl posées, si on adjousle à chacune des grandeurs proposées A, B, C, D, une mesmc grandeur commune E, laquelle soit aussi connue, en sorte que chacune des grandeurs A, B, C. D. avec Tadjoustëe E, ne soit plus considérée que comme une mesme : et qu'ainsi il y ait maintenant autant de grandeurs nouvelles qu'auparavant, sçavoir A plus E, B plus E, C plus E, D plus E, etc.:

Je dis que la somme triangulaire, et la somme pyramidale de ces grandeurs ainsi augmentées, sera aussi connue, de quelque costé que l'on commence.

Car. en prenant la figure AIIFD comme auparavant, et prolongeant chacune des perpendiculaires DH jusques en O, en sorte que l'adjoustée commune HO soit à chacune des HD comme la grandeur adjoustée E est à chacune des autres A, B, G, D, il est visible que, puis que HO est donnée, et aussi la somme de toutes les AH (car elles sont égales à la moitié de A F quarré), la somme des rectangles AH en HO sera donnée ; mais la somme des rectangles AH en HD est aussi donnée ; donc la somme des rectangles AH en DO est aussi donnée, c'est à dire la

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somme de tous les rectangles RO en OD, c'est à dire la somme triangulaire des OD ; et partant aussi la somme triangulaire des grandeurs augmentées, A plus E, B plus E, C plus E, D plus E. Ce qu'il falloit premièrement demonstrer.

On monstrerade mesme que la somme pyramidale des OD est donnée ; ou, ce qui est la mesme chose, la somme des RO quarré en OD : car la somme des RO quarré est donnée (sçavoir le tiers de RS cube, ou AF cube) ; mais HO est donnée ; donc tous les RO quarré en OH sont donnez ; mais tous les RO quarré, ou AH quarré en HD, sont aussi donnez, comme il a esté dit: donc tous les RO quarré en OD sont donnez; donc, etc.

ni. Propriété.

Les mesmes choses estant posées, si les grandeurs proposées A, B, G, D, sont des lignes droittes, ou courbes, desquelles les sommes simples, triangulaires et pyramidales soient données, comme il a esté déjà supposé, et outre cela, la somme simple de leurs quarrez, la somme triangulaire de leurs quarrez et la somme simple de leurs cubes :

Je dis que la ligne commune E leur estant adjoustée, comme il a esté supposé, et qu'ainsi chacune d'elles avec leur adjoustée ne soit plus considérée que comme une seule ligne, la somme des quarrez de ces Hgnes augmentées sera donnée, et aussi la somme

PROPRitTÉS DBS S0M1IB8 Si

triangulaire de leurs qnnrroz. ùi la simple somme de leurs cube».

Car Noit comme auparavant les perpendiculaires lin t'::alcos aux lignes proposées A, B, C. D, cliaiinc à la sienne, et la droiite HO à la ligne adjous- 0 E : donc, par l'hypothèse, la simple somme des llD sera donnée; et la somme de leurs quarrez ; et la omme de leurs cubes: et aussi la somme trianguiire des droittes HD, ou la somme des AH en HD; t la somme triangulaire de leurs quarrez, ou la r»mme des AH en HD quarré; et la somme pyramidale des HD, ou des AH quarré en HD.

Il faut maintenant demonstrer que la somme des OD quarré est donnée ; et aussi la somme des OD cubes ; et enfin la somme triangulaire des OD quarré, ou la somme des HO en OD quarré. Ge quiseraaisé er '^'^^u^ sorle.

Chaque OD quarré estant égal à deux fois OH en HD, plus OH quarré, plus HD quarré, il s'ensuit que la somme des OD quarré sera donnée si la omme des OH en HD deux fois est donnée, et la somme des OH * , quarré et la somme des HD quarré. Or. puis que OH est donnée, et aussi la somme des HD, la somme des rectangles OH en HD estdonnée ; et partant aussi deux fois la somme de ces mesmes rectangles OH en HD ; mais la somme des OH quarré est donnée, et aussi la somme des HD