DE TRAITÉS GÉOMÉTRIQUES

décembre i(>58

a* •en». VI

Lemme gênerai

Soit un triligne rectangle quelconque (fig. 1 1*) lel qu'il a esié definy dans la lettre précédente ABC, dont les ordonnées à l*axe soient DF, et les ordonnées à la base soient EG, coupants la courbe en G ; d'où soient remenées des perpendiculaires GR à l*axe, prolongées infiniment, et lesquelles j'appelle les contr ordonnées. Soient aussi prolongées indéfiniment les ordonnées à l'axe. Et soit, sur Taxe AB, et de Tautre costé du triligne, une figure quelconque BKOA. dans le mesme plan, comprise entre les parallèles extrêmes CA, BK (celle figure s'appellera Vadjointe du triligne). Que celte figure adjointe soit coupée par les ordonnées FD aux points O, et par les contr*-ordonnées GR, aux points L

Je dis que la somme des rectangles FD en DO, compris de chaque ordonnée du triligne et de chaque ordonnée de la figure adjointe, est esgale à la somme des espaces ARl, qui sont les portions de l'adjointe, comprises depuis chacune des conlr'-or-

I . Le U?xlc de l'édition originale renvoie par erreur & la figure 10. — Voir la figure ii, supra T. VIM '« '^>< V

données, jusques à rextremité de Tadjointe du coslé de A.

Car soit entendu le triligne BAC eslre multiplié*, par la figure BAOK, et former par ce moyen un certain solide, c'est à dire, soyent de tous les points du triligne ABC élevées des perpendiculaires au plan, qui forment un solide prismatique infmy, ayant le triligne ABC pour base. Soit aussi entendue la figure BAOK, tournant sur l'axe BA, relevée perpendiculairement au plan du triligne ABC ; et soit enfin entendue la base AC s'élever tousjours parallèlement à soy-mesme, le point A parcourant tousjours le bord de la figure relevée AOIKB, jusqu'à ce qu'elle retombe au point B : la portion du solide prismatique infiny, retranchée par la surface décrite par la ligne CA dans son mouvement, sera le solide que Ton considère icy, laquelle sera comprise de (juatre surfaces, entre lesquelles le triligne tiendra lieu de base.

Soyent maintenant entendus deux ordres de plans perpendiculaires à celuy du triligne ; les uns passans par les ordonnées DF à l'axe (lesquels, coupants

I. En parlant de « triligne multiplié par la figure adjointe », Pascal s'inspire de la terminologie de Grégoire de Saint-Vincent, qui a défini le « ductus plani in planum ». — Le solide que Pascal nous invite à considérer est ainsi défini. Relevons la face BOK en la plaçant dans le plan construit sur AB perpendiculairement au plan du triligne, puis envisageons : 1° le cylindre qui a ses génératrices perpendiculaires au plan du triligne et, pour directrice, l'arc GB; 2° le cylindre qui a ses génératrices parallèles à AG et, pour directrice, l'arc OK relevé : le volume considéré est le volume délimité par le triligne, par la face BOK relevée et par les deux surfaces cylindrique».

le solide, donneront pour sections les rectangles FD en DO, compris de chaque ordonnée DF et de chaque ordonnée DO de la figure adjointe) ; et les autres plans passans par les ordonnées GE, lesquels seront paraleles ù l'adjointe BAOK (relevée comme il a esté dit) et coupant le mesmc solide, formeront pour sections des Ggures égales et toutes semblables aux portions RIA, comprises depuis chaque contr*ordonnée RI, jusqu'à Textremité de la figure du costé de A (c« qui paroist par les parallciismes, tant de chacun de ces plans avec l'adjointe relevée, que de la ligne AC avec soy-mesme dans tout son mouvement). Or, il est visible que les sommes* des sections faites par chacun de ces ordres de plans sont égales chacune au soUde, et par conséquent entr 'elles (puisque les portions indéfinies AE, EE, etc., de la base, sont égales, tant enlr' elles qu'aux portions égales et indéfinies AD, DD, etc., de l'axe) ; c'est à dire que la somme de tous les rectangles FD en DO est égale à la somme de toutes les portions RLA : ce qu'il faloil demonslrer..

Lemmc.

Soit ABk ^^fig. 12.) un triangle rectangle et isoscele, dont B soit l'angle droit : soit aussi AIK une parabole dont A soit le sommet, AB la touchante au sommet, et AB ou BK le costé droit ; et soit une

I. Édition de i6S8 : [la tomme àc% tection»], fauU manifeste.

droite quelconque RIV, paralele à BK, coupant AB en R, la parabole en I, et la droite AK en V.

Je dis I . que le triangle isoscele ARV est égal à la moitié de AR quarré : cela est visible.

Je dis 2. que le triligne parabolique ARI, multiplié par AB, est égal au tiers de AR cube.

Car le triligne ARI (par la nature de la parabole) est le tiers du rectangle AR en RI. Donc en multipliant le tout par AB, le triligne ARI, multiplié par AB, sera le tiers du solide de AR en RI en AB ; c'est à dire de AR cube, puisque RI en AB est égal à AR quarré.

Je dis 3. que si AIK est une parabole cubique (c'est à dire que les cubes des ordonnées soyent entr'eux comme les portions de l'axe, ou, ce qui est la mesme chose, que AB quarré en RI soit tousjours égal à AR cube) le triligne ARI, multiplié par AB quarré, sera égal au quart de AR quarréquarré.

Car, par la nature de cette parabole, le triligne ARI est le quart du rectangle AR en RI ; donc, en multipliant le tout par AB quarré, on demonstrera le reste comme en l'article précèdent.

Et de mesme pour les autres paraboles quarréquarrées, quarré-cubiques, etc.

TRAITS DBS TaiLl<»IS RBCTANOLBS

Rapports entre les ordonnées A Taxe et les or^ données à la base d'un trilig^ne rectang^le quelconque.

/. Proposiiion,

La somme des ordonnées à la base est la mcsme que la somme des ordonnées à l'axe'.

Car Tune et l'autre est égale à l'espace du triiigne.

//. Proposition.

La somme des quarrez des ordonnées à la base est double des rectangles compris de chaque ordonnée à l'axe et de sa distance de la base.

C'est à dire, fig. 1 1*, que la somme de tous les EG quarré est double de la somme de tous les rectangles FD en DA*.

Car si le triligne ABC a pour adjointe un triangle

I. Cette propoâtion t'exprime, en langage moderne, par l'égalité

bien connue I ydx = I xdy (AC étant toujours pris pour axe de* x,

et AB pour axe des y. voir la figure i, T. Vlll, p. 344)* a. Voir la figure ii, supra T. VIII, p. 383. 3. Paacal effectue ici une intégration par parties. On t

jy*dx = xy^^2J xydy

lnlf6g;nnt i» long de l'arc do courbe BG et posant AB := 6, AG = a* b fbmmle se réduit k l'égalité

qu'indique l'énoncé de Paaetl.

s OEUVRES

rectangle el isoscele ABK, dont les coslez AB, BK soient égaux entr'eux, et la base AK une ligne droite qui soit coupée par les ordonnées FD aux points 0, et par les contr'ordonnées GR aux points I, il arrivera, comme il a esté demonstré, que la somme de tous les rectangles FD en DO, ou FD en DA (puisque partout DO sera égal à DA) sera égale à la somme de tous les triangles ARI ; c'est à dire, par le Lemme précèdent, à la moitié de la somme de tous les AR quarré, ou de tous les EG quarré.

Corollaire.

Donc la somme des quarrez des ordonnées à la base est double de la somme triangulaire des ordonnées à l'axe, à commencer par la base.

Car la somme des rectangles FD en DA est la mesme chose que la somme triangulaire des ordonnées FD, à commencer du costé de A, comme il a esté demonstré dans la lettre à M. de Carcavy.

///. Proposition.

La somme des cubes des ordonnées à la base est triple des solides compris de chaque ordonnée à Taxe et du quarré de sa distance de la base.

La somme de tous les EG cube est triple de la somme de tous les FD en DA quarré \