I . En langage moderne

£j^dx = z£xy^dy,

les notations étant celles que nous avons définies dans la note précédente.

Car si la figure adjointe ABK est composée des deux droites perpendiculaires AB, RK et de la parabole AOK, telle qu'elle a esté supposée dans le Lemme précèdent, il arrivera tousjours (par le Leramc gênerai) que la somme des rectangles FD en DO sera égale à la somme des portions AUI (qui seront icy des trilignes paraboliques). Donc, en multipliant le tout par BA, la somme des solides FD en DO en AB, ou FD en DA quarré, sera égale à la somme des trilignes ARl, multipliez par AB; c*est à dire (par le Lemme précèdent) au tiers de la somme des AU cube, ou des EG cube.

Corollaire.

Donc la somme des cubes des ordonnées à la base est égale à six fois la somme pyramidale des ordonnées à l'axe, à commencer parla base.

Car la somme des EG cube est triple de la somme des FD en DA quarré; et la somme des FD en DA quarré est double de la somme pyramidale des ordonnées FD, à commencer du costé de A, comme il a esté demonstré dans la mesine lettre.

fV Proposition.

On demonstrera de mesme que la somme des quarré-quarrez des ordonnées à la base est quadruple de la somme des ordonnées à l'axe, multipliées

chacune par le cube de sa distance de la base ; et ainsi lousjours*.

Avertissement.

Puis que celle qu'on veut des deux droites d'un triligne est prise pour l'axe, et l'autre pour la base, tout ce qui a esté dit des ordonnées à la base à l'esgard des ordonnées à l'axe se pourra dire de mesme des ordonnées à l'axe à Tesgard des ordonnées à la base.

Cinquième Proposition.

La somme des solides compris du quarré de chaque ordonnée à la base, et de sa distance de l'axe, est esgale à la somme des solides compris du quarré de chaque ordonnée à Taxe et de sa distance de la base*.

Je dis que la somme des solides de tous les EG quarré en EA est esgale à la somme des solides de tous les DF quarré en DA.

Ou, ce qui est la mesme chose :

La somme triangulaire des quarrez des ordonnées

I . La méthode moderne de l'intégration par parties montre immédiatement, en effet, que, quel que soit m, on a

1 y"*dx= xy"^ — ml xy"*—^dy

d'où

Jy'^dx= I xy'" -^dy 0 Jo