I. Sur la figure 45, voir la note, supra p. iSg

LETTRE DE A. DETTO>VlLLK A M DE SLUZE 147

point E. d'où la perpendiculaire AEestesgaleà lUi. On demande la proportion de la Sphère, dont le cercle donné est un grand cercle, avec le solide spiral descrit par ces mouvemens et terminé par quatre surfaces : sçavoir la spirale BAA descrite dans le plan du cercle, la portion de surface Conique bornée par la droite BE el par l'espèce de spirale BFE, le triangle rectiligne BAE, et la surface Cylindracée décrite par BG portée au tour de la spirale BllA.

Solution.

Soit coupée BA en un nombre indefiny de parties esgales aux points 0 : et soit le point T celuy du milieu, d'où soit mené le demy cercle TH qui, comme il est aisé de l'entendre, coupera le diamètre prolongé en H au mesme point où arrive la Spirale.

Soit sur ce demy cercle eslevée la surface Cylindrique TPFH, qui coupe les surfaces qui bornent le solide et y donnent pour communes sections TPFH, qui sera composée de quatre lignes : sçavoir la ligne TP, qui se trouvera dans le plan BAE, la ligne F H dans la surface Cylindracée esgale à TP, le demy cercle PF dans la surface supérieure, et le demy cercle de la base TH esgul au précèdent PF, comme tout cela est évident ; et ainsi la figure TPFH sera un rectangle Cylindrique.

Soit maintenant d'un des points O mené l'arc 01 à l'entour du centre A, qui coupe la Spirale en I, et soiteslevé de mesme le rectangle Cylindrique OYSI.

Je dis (el cela sera incontinent demonstré) que ce rectangle Cylindrique OYSI sera au premier PTHF comme BO q narré en OA à BT quarré en TA.

Ce qui estant tousjours véritable en quelque lieu que soit le point O, il s'ensuit que tous les rectangles Cylindriques ensemble (c'est à dire le solide proposé) sera à celuy du milieu PTIIF pris autant de fois (c'est à dire au demy Cylindre qui a le cercle donné pour base et pour hauteur TP, qui est la moitié du demy diamètre) comme tous les BO quarré en OA ensemble à BT quarré en TA, ou à BT cube pris autant de fois, c'est à dire comme la Perle du troisiesme ordre au rectangle de l'axe et de l'ordonnée du milieu ; laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée, non seulement dans la Perle du 3. ordre, mais encore dans celle de tous les ordres, où cette raison est tousjours comme nombre donné à nombre donné.

Donc le solide proposé est au demy Cylindre du cercle donné et de la hauteur TP en raison donnée; donc il est aussi en raison donnée au Cylindre entier de mesme base et de la hauteur quadruple, sçavoir du diamètre entier BD, et par conséquent à la Sphère qui est les deux tiers du Cylindre. Ce qu'il falloit demonstrer.

Or, que le rectangle Cylindrique YOIS soit au rectangle Cylindrique PTHF comme BO quarré en OA à BT quarré en TA, cela se prouve ainsi :

Je dis, premièrement, que l'arc 01 est à l'arc TH

comme le rectangle BO» OA, au rectangle BT, TA; car ces arcs 01, TH sont en raison composée des demy diamètres AO, AT, et des angles, ou des arcs BC. BCD, qui sont, par la nature de la spirale, comme CI ou BO à DU ou HT ; donc ces arcs sont en raison composée de BO à BT et de OA à TA, c'est à dire comme le rectangle BO. OA, au rectangle BT. TA.

Venons maintenant aux rectangles Cylindriques YOIS, PTIIF. Il est visible qu'ils sont en raison composée des hauteurs et des bases, c'est à dire en raison composée de OY à TP. ou BO à BT, et de l'arc 01 à lare TH, c'est à dire (comme on Ta veu) du rectangle BO, OA, au rectangle BT, TA : mais la raison com|)osée de BO à BT et du rectangle BO, OA au rectangle BT, TA est la mesme que la raison de BO quarré en OA à BT quarré en TA. Donc, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

Les solides des autres Spirales des ordres supérieurs se trouveront de mesme par le moyen des lignes en Perle des ordres supérieurs.

LETTRE DE MYLON A PASCAL

f] décembre i658.

Autographe à U BibUothkque NationaU, Iropriméf, Réserve, V. 85g.

LETTRE DE MYLON A PASCAL

A Ptrifl, lo a7*««i« Docembro i658.

Monsieur*, J*a^ veu toujours avec beaucoup de joye les belles choses dont vous enrichissez la Géométrie. J'en ay conceu pour vous une estime que je ne vous puis exprimer. Je n'aurais pas k présent troublé le repos de voslre solitude pour vous le tesmoigner si, ayant leu aujourd'huy les imprimez nouveaux de la roulette avec Monsieur de Carcavi, et vostre démonstration More Veterum de Tegalité de la spirale et d'une parabole*, il ne me fust échu une pensée que je n'ose appeler démonstration avant que de vous la présenter pour en avoir vostre jugement. Je vous supplie donc de prendre la peine de l'examiner. J'espère que vous me ferez bien cette faveur qui ne sera pas la première de cette nature, car je vous dois remercier de la belle manière dont vous me fistes voir la faute qui esloit dans un que je vous avois envoyé touchant les quadratures des perles paraboliques et cubiques de M' Sluse, ce qui me donna occasion d'en trouver une démonstration véritable' et que vous jugeastes estre légitime. Ce que je

I. L'original de celte lettre et de Técrit qu'elle accompagne est ooUé dans l'exemplaire des traités mathématiques de Pascal qui avait appartenu au Père Guerrier (^Bibliolhique Nationale, Imprimés, Ré- •anre, V. Sbg). Le premier recueil manuscrit du Père Guerrier donne une copie de la lettre, p. cxxiv. La dcmonstratlon proposée par If jlon, el le résultat même qu'il énonce, sont inexacts.