DIMENSION DES LIGNES COURBES DE TOUTES LES ROULETTES

LETTRE

DE MONSIEUR DICTTONVILLE

A MONSIEUR HIGGUENS DE ZULICIIEM

Monsieur, Comme j'ay sceu que Monsieur de Carcavy vous devoilenvoyer mes solutions des problémesquej'avois proposés louchant la Roulette, je l'ay prié d'y joindre la dimension des courbes de toutes sortes de Roulettes, que je luy ay donnée pour vous l'adresser, parce qu'il m'a dit que vous avez tesmoigné d'avoir quelque envie de la voir. Je voudrois, Monsieur, que ce vous pût estre une marque de l'estime que j'ay tousjours faite de vostre mérite. Je croyois qu'on n'y pouvoit rien adjouster : mais vous l'avez encore augmentée par cet horloge incomparable*, et par ces merveilleuses dimensions des surfaces courbes des Gonoïdes*, que vous venez de produire, et qui sont un sujet d'admiration à tous nos Géomètres. Pour moy je vous advouë que j'en ay esté ravy, par la part toute particulière que je prends à ce qui peut aggrandir vostre réputation, et par la passion avec laquelle je suis, etc.

I . Pascal fait allution & l'ouvrago cite $upra p. i6a. a. Voir supra p. i83, note i.

Dimension des lignes courbes de toutes les Roulettes ' .

Je n*ay qu'une seule méthode pour la dimension des lignes de toutes sortes de Roulettes ; en sorte

que, soit qu'elles soient simples, alongées ou accourcies, ma construction est tousjours pareille, en cette manière :

Soit, fig. 4i'» une Roulette de quelque espèce que ce soit, dont AF soit la base, FG l'axe, et GMF la circonférence du cercle générateur, laquelle ayt telle raison qu'on voudra à la base FA, et, ayant divisé sa circonférence en un nombre indefiny d'arcs égaux aux points M, je mené de tous les points de division des droites MB, parallèles à la base, qui

I. D'après une lettre de Mylon è Huygens en date du i4 mars lôôg {Œuvres de Huygens, T. II, p. 378), Auzoult aurait résolu le même problème.

LETTRE DE A. DBTTONVILLE A M HUi.i.L t>i^ DK /.ULlClItM 191

cou|)ont la courbe de la Roulette chacune en un point B, et je joints tous les points voisins BB.

Je suppose que les divisions de la circonférence soient en si grand nombre que la somme de ces droittes BB (lesquelles sont les soustendantes de la Houlette) ne diirere de la courbe do la Houlette que d'une ligne moindre qu'aucune donnée.

J*ay aussi besoin qu'on sçache (et je le monstreray en peu de mots) que si on fait, comme la circonférence du cercle générateur à la base de la Houlette, ainsi le rayon FG à la portion GH de l'axe prise depuis le centre, et que de l'exlremilé H de cette portion on mené toutes les droites HM : il arrivera que toutes ces droites seront entre elles comme les soustendantes BB de la Houlette, et qu'elles les représentent : et c'est pourquoy je les appelle les représentantes.

Cela sera visible, si on entend que le cercle générateur soit placé à tous les points B, lequel coupe chaque parallèle BM voisine au point O ; en sorte qu'on n'en considère que les arcs BO, lesquels seront esgaux tant entre eux qu'aux arcs MM, et les portions BO des parallèles seront esgales entre elles. Et ainsi chaque arc BO sera à la portion OB de la parallèle comme la circonférence FMG à la base AF, ou comme GM* à GH. Et il arrivera ainsi que chacun des petits triangles BOB' sera semblable à

I. GM désigne ici la longueur du rajon de la circonférence. a. Le triangle BOB est traité comme un triangle rcctilignc, l'arc infiniment petit BO étant asaimilé à un segment porpend iculaire f ur BM .

chacun des triangles MGH : chacun des angles HGM estant esgal à chacun des angles BOB, ou BMC, faits de chaque parallèle et de la circonférence. Et partant chaque BB sera à chaque arc BO comme chaque HM à MG. Et toutes les BB ensemble, c'est à dire la courbe, sera à tous les arcs esgaux ensemble OB ou MM, c'est à dire à la circonférence CMF, comme la somme des HM à la somme des GM, ou au rayon multiplié par la circonférence CMF. Donc, en multipliant les deux premiers termes par le rayon, la courbe multipliée par le rayon est à la circonférence CMF, multipHée par le rayon, comme la somme des représentantes HM au rayon multiplié par la circonférence CMF ; mais les deux conséquents sont esgaux : donc la courbe multipliée par le rayon est esgale à la somme des représentantes HM (mulliphées chacune par les petits arcs MM) ; mais le rayon est donné : donc, si la somme des HM est donnée, la courbe le sera aussi.

Donc toute la difficulté de la dimension des Roulettes est réduite à ce problème.

La circonférence d'un cercle donné estant divisée en un nombre indefmy d'arcs esgaux, et ayant mené des droites d'un point quelconque donné dans le plan du cercle à tous les points de division : Trouver la somme de ces droites.

Ce problème est aisé à résoudre, quand le point donné est dans la circonférence (comme il arrive

LETTRE DE A. DETTOIIYILLE A M. HUOGUBIfS DE ZULlCHElf 193

quand la Boulette est simple ; cVst à dire quand la base AF est égale h la circonférence CMF) : car alors la somme de ces droites est esgale au quarré du diamètre, parce que c*est la mesme chose que la somme des sinus droits du quart d'un autre cercle, dont le rayon sera double.

Et si on résout ce problème quand le point donné est au dehors, il sera résolu en mesme temps quand le point est au dedans.

Car, s'il y a deux cercles concentriques, dont les circonférences soient divisées chacune en un nombre indefmy d'arcs esgaux : la somme des droites menées d'un |>oint quelconque de la grande circonférence à tous les points de division de la petite sera la mesme que la somme des droites menées d'un point quelconque, pris dans la petite circonférence, à tous les points de division de la grande. El chacune des droites d'une multitude sera esgale à chacune des droites de l'autre multitude, parce qu'elles sont les bases de triangles égaux et semblables. Et ainsi la somme des unes sera égale à la somme des autres, pourvcu qu'elles soient multipliées par les mesmes arcs. Mais si on entend qu'elles soient multipliées chacune par les arcs ausquels elles se terminent, alors la somme de celles qui sont menées aux divisions de la grande circonférence sera à la somme des autres comme la grande circonférence est à l'autre, ou comme le grand rayon au petit. Et ainsi, si la somme des unes est donnée, la somme des autres le sera aussi, les deux cercles estans donnez.

a- série. VI i3

Or j'ay ce Théorème gênerai.

La circonférence d'un cercle donné estant divisée en un nombre indefiny d'arcs esgaux, et un point quelconque estant pris où l'on voudra, soit en la circonférence, soit dedans, soit dehors, soit sur le plan, soit hors du plan, d'où soient menées des droites à tous les points de division : Je dis que la somme de ces droites sera esgale à la surface d'un Cylindre oblique donné.

Et je le demonstre en cette sorte dans le cas où le point est pris hors du cercle, qui est le seul dont j'ay besoin icy, et duquel s'ensuivent tous les autres.

Lemme.

Soit le cercle donné ALB, fig. Aa., dont la circonférence soit divisée en un nombre indefiny d'arcs égaux en L. Soit le point H hors du plan, et eslevé perpendiculairement sur un des points A, c'est à dire que la droite AH soit perpendiculaire au plan du cercle ; et soient menées toutes les HL. Je dis que la somme des droites HL, multipliées chacune par chaque petit arc LL, est esgale au quart de la surface du Cylindre oblique, qui aura pour base le cercle AMC, dont le rayon sera de AB, et pour axe la droite HB, menée à l'autre extrémité du diamètre AB.

Car soient les costez du Cylindre oblique MN, qui

LETTRE DE A DETTO?f VILLE A M. HUGGUBNS DE ZULlGHfiM iW

coupent la base supérieure en N ; et soient MO les touchantes de la base inférieure, sur lesquelles soient menées les perpendiculaires NO. Il est visible que le

quart de la surface oblique IVTC est composé des parallélogrammes compris des arcs MM et des costez MN, ou des rectangles compris des mesmes arcs MM et des perpendiculaires NO : mais les arcs MM sont égaux tant entre eux qu'aux arcs LL : donc, si la somme des perpendiculaires NO est égale à la somme des droites II L, ce qui est proposé sera évident.

Or chaque NO est esgal à chaque HL, comme il

est visible par Tesgalilé et la similitude des triangles HBL, NMO.

Car Taxe HB est esgal et parallèle au costé NM, et les droites BL, MO sont parallèles, estant perpendiculaires Tune à MB, l'autre à AL, qui sont parallèles à cause de Tesgalité des angles GBM, BAL.

Prop.

Soit maintenant (fig. 43.) le point H donné dans

le plan du cercle ALB, et hors le cercle, et soient menées les HL aux points L des divisions esgales.

Je dis que leur somme est esgale à la surface d'un Cylindre oblique.

Car en menant le cercle dont BH est le diamètre, et prenant AV en sorte que BV quarré soit esgal à BA quarré, plus deux fois le rectangle BAH ; et menant le cercle dont BV soit le diamètre; et où il ar-

LETTBB DB A. DBTTONVILLB A M. HUGGUBNS DE ZULICHEM 197

rivera aussi que quelque droite qu'on mène du point B, comme BLIZ, le quarré de BI sera esgal à BL quarré. plus deux fois le rectangle BLZ :

Soit aussi eslevé VO perpendiculaire au plan du cercle, et soit prise BO égale à BH, et soient menées toutes les droites 01 (aux points où les droites BL coupent lacirconfcrence BIV)* : Je dis que chaque droite 01 est esgale à chaque droite HL.

Car HB quarré est égal à HL quarré, plus LB quarré» plus deux fois le rectangle HLY (en prolongeant HL jusqu'au cercle BZH), ou à HL quarré, plus LB quarré, plus deux fois le rectangle BLZ, ou à HL quarré, plus BI quarré : mais aussi OB quarré (qui est le mesme que HB quarré) est esgal à 01 quarré. plus BI quarré. Donc 01 quarré plus IB quarré est esgal à HL quarré plus IB quarré : donc aussi 01 quarré est esgal à HL quarré ; et partant 01 à HL.

Donc la somme des 01 est la mesme que la somme des HL (si on les multiplie chacune par les mesmes petits arcs) ; mais la somme des 01 (multipliée par les petits arcs H, lesquels sont esgaux entre eux, puis que les arcs LL le sont par l'hypothèse) est esgale au quart de la surface d'un Cylindre oblique, par le Lemme, puis que VO est perpendiculaire au plan du cercle BIV.

Donc la somme des HL, multipliée par les mesmes arcs U, est esgale au quart de la mesme surface.