PAR PERNETTY

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Gérard Desargues, peu connu dans sa patrie, fut admiré des étrangers. Il étoit né à Lyon en i 593 d'une famille ancienne et noble qui s'est éteinte avec lui ; il fut un des plus intimes amis et des plus zélés défenseurs de Descartes, il prit son parti contre Fermât et le P. Bourdin. Il le fît connoître au cardinal de Richelieu, l'aida dans sa retraite en Hollande. La reconnoissance ne fut pas le seul sentiment qu'il inspira à ce philosophe. Descartes l'estimoit, il le demanda pour censeur de ses méditations métaphysiques, il donna à sa considération les éclaircissements qu'il avoit jusqu'alors refusés sur sa géométrie, il loua les ouvrages de

U8 RECHERCnES.

Desargues, lui qui ne louoit personne, et lorsque le traité des sections coniques parut, au grand étonnement des meilleurs géomètres, Descartes s'obstina à le donner à Desargues, ne voulant pas croire qu'il fut de Pascal qui n'avoit que 1 6 ans, il n'y eut que Desargues lui-même qui put lui faire entendre raison.

M. De La Hireavoit autant d'estime pour lui que Descartes. Ses principaux ouvrages sont un traité de Perspective, la manière de poser l'essieu aux cadrans solaires, la pratique du trait et preuves pour la coupe des pierres, un traité des sections coniques. Les grâces du langage donnoient un nouveau mérite aux ouvrages de Desargues, il passa à Lyon les dernières années de sa vie, il mourut en 1662. Nous avons un monument pour la coupe des pierres dans cette trompe hardie qui soutient une maison du pont do pierre du côté du quai Villeroy.

KUB DESARGUES.

PAR LE GÉNÉRAL PONCELET- EXTRAIT DE SON TRAITÉ DBS PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

iQtroduction, page xxxviii et suivantes, 1822.

Desargues, ami de l'illustre Descartes, et dont celui-ci faisoit le plus grand cas comme géomètre ; Desargues qu'on peut appeler, à plus d'un titre, le Monge de son siècle, que les biographes n'ont point assez connu, ni assez compris; Desargues enfin que des contemporains, indignes du beau titre de géomètre, ont noirci, persécuté et dégoûté, pour n'avoir pu se mettre à la hauteur de ses idées et de son génie, fut, je crois, le premier d'entre les modernes qui envisagea la géométrie sous le point de vue général que je viens défaire connaître. Il traita soit par les considérations d^ l'espace, soit par la

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théorie des transversales, quelques-unes des propriétés des triangles et du quadrilatère, en imaginant, à cet effet, une notation ingénieuse à l'aide de laquelle il réduisait la multiplication et la division des rapports composés, qui se reproduisent à chaque pas dans cette théorie, à de simples additions et soustraction de quantité. On peut en voir un exemple dans une petite note placée à la fin de certains exemplaires du trailé de perspective publié, en 1648, par Bosse, qui n'était rien moins que géomètre, bien qu'il fut excellent graveur et qu'il eut reçu des leçons de Desargues.

Descartes écrivait en janvier 1039, au sujet d'un papier de Desargues que lui avait transmis le Père Mersenne : « La façon dont il commence son raisonnement, en l'appliquant tout ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus belle qu'elle est plus générale et semble être prise de ce que j'ai coutume de nommer la Métaphysique de la géométrie, qui est une science dont je n'ai point remarqué qu'aucun autre se soit jamais servi, sinon Archimède. Pour moi, je m'en sers toujours pour juger en général des choses qui sont trouvables, et en quels lieux je les dois trouver.» Il ajoute qu'on ne doit pourtant pas tellemenl s'y fier qu'on

NOTICES i^ClF,^TlFJgCLS. 1 .") 1

se croie dispensé de toute espèce de démonstration: que, par exemple, en appliquant les mêmes raifonnemens aux liijnes droites et aux courbes, il faut prendre garde qu'il n'y ait rien qui appartienne h leur dilTerence spécifique. ■>

11 paraît bien évident, d'après cette lettre, que Desargues avait deviné et connu l'extension qu'on pouvait donner aux principes élémentaires de la théorie des transversales, en les appliquant indistinctement aux systèmes de lignes droites et aux lignes courbes; et en effet. M. Carnot a démontré depuis, dans sa géométrie do position (Voy. le ch. 1", sect. II, du présent ouvrage), que la relation entre les segmens, formés sur les côtés d'un triangle coupé par une courbe géométrique d'ordre quelconque, est précisément celle qui a lieu pour un autre triangle coupé par un système de droites en nombre égal à celui qui marque le degré de cette courbe ; de sorte que, sous ce point de vue général, le système de deux, de trois droites tracées

dans un plan, doit être considéré comme représentant une courbe du 2", du 3^ ordre, doit

jouir des mêmes propriétés, quant à ce qui concerne la direction indélifiie des lignes et leur.s rapports indéterminés de grandeur, propriétés que

152 NOTICES SCIENTIFIQDES.

nous avons ci-dessus caractérisées par IVpithète de pi-ojeclives.

Au surplus, il ne paraît pas que Desargues ait rien écrit sur les courbes d'of'dre supérieur, et qu'il y ait envisagé la question dans toute sa généralité; il est, au contraire, raisonnable de croire qu'il s'est contenté d'examiner le cas où la courbe est simplement une section conique, pour lequel le théorème de M. Carnot peut se démontrer directement et d'une manière purement élémentaire. C'est ce qu'on voit par une autre lettre de Descartes, où il est question d'un projet àQ traité des sections coniques dont s'occupait Desargues, et dans laquelle, tout en louant ce dernier sur le but qu'il cherclioit à remplir, il le blâme d'avoir voulu refaire la langue de la géométrie ancienne, et d'avoir employé des termes nouveaux , dans l'invention desquels il reconnaît pourtant « de l'esprit et de la grâce. » On voit aussi dans cette lettre, que Desargues avait coutume de considérer les systèmes de droites parallèles comme concourant à l'infini, et qu'il leur appliquait le même raisonnement , sur quoy Descartes fait des réflexions analogues à celles que nous avons déjà rapportées ci-dessus.

Nous citons d'autant plus volontiers ces passages

des lettres de Descaries, qu'ils montrent qu'à une époque où la méthode des coordonnées venoit à peine de naître, Desargues cherchait à imprimer aux conceptions do la simple géométrie, une généralité qu'elle n'a reçue que beaucoup plus tard, et par le concours d'un grand nombre de savants géomètres.

Quant au traité des sections coniques, dont parle Descartes, il parait être le même que l'écrit quia été publié en 1639, sous le titre de : Brouillon projet d'une atteinte aux évènemens des rencontres du cône avec un plan, etc., ouvrage que nous ne connaissons que par la critique, fort amère et fort peu lumineuse, qui en a été faite par Beaugrand, dans une lettre imprimée qu'on trouve encore à la bibliothèque du Roi, et qui est loin sans doute de pouvoir fixer nos idées sur l'esprit de la méthode employée par Desargues. Nous ferons connaître, au commencement de la seconde section de cet ouvrage. Le peu que nous en a transmis Beaugrand sur cet écrit de Desargues, et l'on verra qu'il devoit briller partout des traits de l'originalité et du génie.

(Section II, chapitre 1", page 95 du même ouvrage de M. Poncelet).

154 NOTICES SCirNTIFIQDi:s.

178. Ce beau principe fait la base du mémoire, souvent cité, de M. Brianclion ; d'après un passage de l'essai sur tes coniques de Pascal, il paraîtrait que Desargues avoit connu quelques-unes des relations qui le concernent ; ce qui confirme également une lettre de Oeaugrand publiée en 1639. Cette lettre, vraiment digne de Zoïle, contient la critique d'un écrit de Desargues, impiimé la même année, et ayant pour titre : Brouillon projet d'une atteinte aux evenemens des rencontres du cône avec un plan, etc. Selon Beaugrand, le tiers de cet écrit étoit employé à examiner les propriétés qui résultent de l'assemblage de six points rangés sur une même droile, entre lesquels auroient Lieu les trois premières relations de l'art. 1 72 ; il ajoute que Desargues nommait cette liaison remarquable : involution (le six points ; laquelle se réduit simplement aune de cinq, quand deux de ces six points (qui sont conjugués ou jouent le même rôle par rapport aux quatre autres) se confondent en un seul, et à une de quatre, quand la même chose arrive pour deux autres points également conjugués, ce qui donne alors lien à ce que nous avons déjà nommé la relation harmonique.

La pins grande partie du surplus de l'ouvrage

f NOTICES SCIENTIFIQUES. 1 05

(le Desargues aurait été consacrée, d'après ce qu'en dit le môme Beaugrand, à établir la proportion suivante, ainsi que ses corollaires ; un quadrilatère étant inscrit à une section conique quelconque, toute transversale détermine par ses intersections avec la courbe et les côtés du quadrilatère, six points qui sont en involution.

On voit, d'après cela, que l'ouvrage de Desargues qui ne nous est point parvenu, devait contenir plusieurs des intéressantes propriétés du quadrilatère inscrit qui sont aujourd'hui généralement connues; et en effet, le théorème de l'article 177 est un des plus féconds qui existe sur les coniques, comme on peut le voir par l'excellent parti qu'en a su tirer M. Brianchon dans le mémoire déjà plusieurs fois cité.

SUR DESABClfJES*