PAR M. CHASLES

Extraite de son ouvrage ayant pour titre :

APERÇU HISTORIQUE SUR L'ORIGINE ET LE DÉVELOPPEMENT DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE, 1837.

Page 74. § 20. — Desargues, que Pascal avait pris pour guide, et qui étoit digne en effet d'un tel disciple, avoit aussi écrit sur les coniques, un an auparavant, d'une manière neuve et originale. Sa méthode reposait, comme celle de Pascal, sur les principes de la perspective, et sur quelques théorèmes de la théorie des transversales. Il ne nous reste que quelques indications peu lucides sur l'un de ses écrits intitulé : Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan. Les autres, s'il en a existé plusieurs, ainsi que peut

le faire supposer un passage de l'Essai de Pascal, étoient peut-être sur des feuilles volantes, comme il paraît que De^argues en usait, soit pour communiquer ses découverles, soit pour lépondre à ses nombreux détracteurs.

Celui que nous venons de citer parut en 1639; il en est parlé dans plusieurs lettres de Descartes.

Cet écrit se disliuiîuait par quelques propositions nouvelles et surtout par l'esprit de la méthode, qui étoit fondée sur cette remarque judicieuse et féconde, que les sections coniques, étant formées par les différentes façons dont on coupe un cône qui a pour base un cercle, devaient participer aux propriétés de cette figure.

Desargues apportait donc une double innovation importante dans l'étude des coniques. D'aboidil les considérait sur le cône dans toutes les positions du plan coupant, sans se servir, comme les anciens, du triangle par l'axe : ei ensuite, il imaginait d'approprier à ces courbes les propriétés du cercle qui servait de base au cône.

Celle idée, qui nous paroît si simple cl si naturelle aujourd'hui, parce que nous sommes accoutumés aux procédés de la perspective, et à divers autres modes de transformation des ligures, n'était

>0T1CKS SCIENTIFIQUES. 1Ô9

pas venue à l'espril des géomètres d'Alexandrie. Car nous n'en trouvons aucune trace dans leurs ouvrages : et nous y voyons qu'en se servant dans leur théorie des coniques, d'une propriété du cercle (celle du produit des segments faits sur deux cordes qui se coupent), ils n'ont point eu l'intention de rechercher son analogue dans ces courbes; mais seulement de démontrer leur théorème du latus rectum.

§ 21. — La méthode de Desargues lui permit d'apporter dans la théorie des coniques, comme il le fit dans divers autres écrits, des vues nouvelles de généralité, qui agrandissaient les conceptions et la métaphysique de la géométrie.

Ainsi, il y considéra comme des variétés d'une même courbe les diverses stations du cône (le cercle, l'ellipse, la parabole, l'hyperbole et le système des deux lignes droites), qui, jusque-là, avaient toujours été traitées séparément, et par des moyens particuliers à chacune de ces sections.

Note. Desarguesius primus sectiones conicas universait quadam ralione tractare^ ac propositiones mut tas sic enuntiare cœpitj ut guœcumque sectio subinteUigipossei{Act. erud. ann. 1685, page ^00).

Descartes nous apprend que Desargues regardait

160 NOTICES SClENTIFIQOtS.

aussi un système de plusieurs droites parallèles entre elles, comme une variété d'un système de droites concourantes en un môme point; dans ce cas le point de concours était à l'infini; « Pour votre façon de considérer les lignes parallèles comme si elles s'assemblaient à un but à distance infinie, afin de les comprendre sous le même genre que celles qui tendent h un point, elle est fort

bonne(i) (Lettres de Descartes, t. III, page 457,

édition in- 12).

Leibnitz fait mention aussi de cette idée de Desargues dans un mémoire sur la manière de déterminer la courbe enveloppe d'une infinité de lignes {acta erud. ann. 1692, page 168) ; et dans un autre endroit, il la rattache à sa loi de continuité (comm. epist. îom. ll,pag. ^ 01). Newton adopta cette définition des paralelles dans les lemmes 18 et 22 de ses Principes de la philosophie naturelle, où il re-

(i) Celte innovatiou fit sensation dans le temps. Bosse la cite en ces termes, comme exemple des manières universelles de Desargues en géométrie : « Il fait voir, comme il l'a écrit à un sien ami défunt, le rare et savant Pascal fils, que les paralelles sont toutes semblables à celles qui aboutissent à un point et qu'elles n'en diffèrent point. » {Traité des pratiques géonétrales et perspectives, in-12, 1665.)

>OTICIS SClE.NTIl'lgLi;S. 161

'j[dvi\c (les (lioik's paralelles comme coiicoiiraiit cii im seul |)oiiil silué ù rinliiii.

Dcsai'gues^ appliquait aux systèmes de lignes droites les piupriétés des lignes courbes; ce qui est aujourd'hui <-,hose naturelle et très- usitée, parce qu'un système de droites peut être représenté par une équation uni([ue, comme une courbe géométrique; mais ce qui était aloi's nne conception neuve et originale. Descartes en parle en ces termes, dans une lettre adressée au P. Mersenne.

« La façon dont il commence son raisonnement, l'appliquant tout ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus belle qu'elle est plus générale, et semble être prise de ce que j'ai coutume de nomm.er métaphysique de la géométrie, qui est une science duufc je n'ai point remarqué qu'aucun autre se soit servi, sinon Archimède. Pour moi, je m'en sers toujours poui- juger en général des choses qui sont trouvables, et en quels lieux je les dois trouver (Lettres, page 379 du tome IV).

§ 22. — Les idées de Desargues, concernant les systèmes de lignes droites, comparés aux lignes courbes, ont dû. le porter à chercher à appliquer aux sections coniipies diverses propriétés connues du système de doux droites. L'une d'entie elles

1('»2 NUTICUS SCIL.NTIFIQLES

(juc Pascal, dans son Essai pour les coniques, ;.»[)pelle merveilleuse, et qui, en effel, est d'une lécondité extrême, nous a été conservée, (^'est la relation des segmens faits par nue coni((ue et par les (juatre côtés d'un quadrilatère qui lui est inscrit, sur une transversale menée arbitrairement dans le plan de la courbe.

Cette relation consiste en ce (jue : u Lu produit des segmens compris sur la transversale, enire un point de la conique et deux côtés opposés du ((uadrilatère, est au produit des segmens compris entre le même point de la conique et les deux aiities cotés opposés du qnadrilatère. dans un rapport qui est éyal à celuides produits semblables faits a\ec le deuxième point de la conique situé sur la transversale. >

Ce théorème est énoncé par Pascal dans son Essai pour les coniques, et par Beaugrand dans une lettre critique sur louvrage'de Desargues, intitulé Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec vn plan. Celle Ici Ire nous apprend que Desargues appelait la relation qui constitue son beau théorème : involution de six points.

On voit comment les six points se correspondenl. ou sont conjugués deux à deux. Desargues exaniiuait le cas où iku\ points conjugués venaient à sr

i>J«>TI(;iS SCIIùNTll'lylES. 103

coiiloiidic; il y cuait alors iuvolulion de cinq poiiils; puis celui ou deux autres points conjugués se conibudaient aussi ; alois un n'avait plus que quatre points, et la relation d'involution devenait un rapport harmonique.

\a\ relation d'involution de six points, telle que uous l'avons énoncée, contient huit segmens; mais elle peut être remplacée par une autre, ou n'entrent que six segments, et celle-ci est la même que celle que î^appus a donnée pour les segments faits sur une transversale par les quatre côtés et les deux diagonales d'un «juadiilatère (la 130' du livre VII des collections mathématiques.). ,

En considérant les deux diagonales comme une ligne du second degré qui passe parles quatre sommets du quadrilatère, on voit que le théorème de Desargues est une généralisation de la proposition de Pappus, dans laquelle se trouve substituée, à la place des deux diagonales du quadrilatère, une conique passant par les quatre sommets.

§ 23. ~ Un excellent écrit de M. Brianchon, intitulé : Mémoire sur les lignes du deuxième ordre (Paris 1817), est basù sur ce théorème, et en fait voir toute la fécondité. Mais il paraît que Desargues lui-même avait su en tirer un parti considérable,

164 NOTICES SCIEMiriQLES.

pour démontrer un i^^rand noml)re des propriétés des coniques ; car d'une part, Beaugrand dit, dans sa lettre, qu'une partie du Brouillon projet, etc., étoit employée à examiner les corrollaires du théorème en question; et, de plus, nous trouvons dans les pratiques gcométrales et perspectives du gra.\eur Bosse le passage suivant, qui se rapporte probablement à ce même théorème. Bosse répond aux détracteurs de Desargues, et ajoute : « Entre autres ce qu'il a fait imprimer des sections coniques, dont une des propositions en comprend bien, comme cas, soixante de celles des quatre premiers livres d'Apollonius, lui a acquis l'eslime des savants, qui le tiennent avoir été l'un des plus naturels géomètres de notre temps, et entre autres, la merveille de notre siècle, feu M. Pascal. »

Nous trouvons encore quebjues observations qui se rapportent au théorème en question, et qui prouvent que Desargues avait su en faire un grand usage, dans un ouvrage du graveur Grégoire Huret. intitulé : Optique de portraiture et peinture, etc. Paris, 1()70 in-fol.

Ainsi, il est constant que le théorème de Desargués était le fondement de sa théorie des coni(|ues. et que les nombreuses propriétés de ces courbes.

NOTICES sciKNTiFiori:s. 163

que nous avons appris, depuis quelques années, fi déduire de ce théorème, n'avaient point échappé à l'aspect logique et essentiellement généralisateur de Desargues.

Mais, outre son extrême fécondité, le théorème en question présente un autre caractère qu'il n'est pas moins important de faire ressortir dans an examen philosophique de la marche et de l'esprit des méthodes concernant les coniques. C'est que ce théorème, par sa nature, permettait h Desargues de considérer, sur un cône à hase circulaire, des seclions tout à fait arbitraires, sans faire usage du triangle par l'axe, comme le dit Pascal ; tandis que les anciens et tous les écrivains après eux n'avaient coupé le cône que par des plans perpendiculaires h ce triangle par l'axe. Cette grande innovation nous paraît être le principal mérite du traité des coniques de Desargues.

§ 24. — On voit par ce qui précède que l'ouvrage de Desargues était vraiment beau et original, et procurait une généralité et des facilités nouvelles à la géométrie des coniques. Aussi fut-il apprécié comme tel par les grands génies du siècle. Nous avons déjà cité le sentiment d'admiration de Pascal pour cet ouvrage; nous trouvons qu'il fut

1()0 N()Tir.i:s srjrNTiFiori.s.

pai'ta,y^é par Fermât, qui, dans une lettre au l'èif Merscjine, s'exprime ainsi : ^ .î'estimo heaiicoiip M. Desargues, et d'autant plus qu'il esllui'seul inventeur de ses coniques. Son livret qui passe, dites-vous, pour jargon, m'a paiu très-iulelligible et très-ingénieux.» (OEuvres de Fermât, page 173 . Quant à la fécondité du théorème et à la facilité toute nouvelle qu'il apportait dans la tlu'orie des coniques, on aperçoit aisément quelle en est la cause première. C'est qu'il exprimait une relation tout à fait générale de six points pris arbitrairement sur une conique. Les anciens n'avaient connu de telles relations que pour des positions particulières des six points, par exemple, pour le cas où quatre points étaient deux à deux sur deux cordes parallèles entre elles (la relation dont ils se servaient alors était que les produits des segmens faits sur ces deux cordes par celle qui joiiinait les ileux autres points, étaient entre eux connue les produits des segmens faits sur celle-ci par les deux premières). 11 leur fallait donc toujours diverses propositions intermédiaires, pour passer de la considération directe ou implicite de cinq points d'une conique à la considération d'un sixième point. De là. le grand nombn de propositions qui semblaient

NOTKKS SCIKNTIFlgUES. HiT

devoir «Milicr iircossaiicnu'iil dans un li'aiti* des coiiiqucs, e( de là siirtoiil la longueur des démons- Iralious.

La solution du problème w^/ quatuor tineas, il esl vrai, faisait connaîlre une propriété tout à l'ait itéiiéiale de six points d'une conique ; mais jusqu'à xXpolIonius, ce proj)lème n'a\ail point été résolu complètement, et ce i<rand liéomètre, qui dit l'avoir résolu à l'aide des principes qu'il a compris dans son IIP livre, n'a point eu le temps peutêtre d'en approfondit' assez la nature pour le juger propre à entrer dans ses éléments des coniques, de sorte qu'il n'a été d'aucun usage chez les anciens.

§ 25. — Nous avons dit que Fermai avait laissé, parmi quelques propositions présentées comme porisme, le théorème de Desargues ; et l'on ne peut douter que ce grand ijéomètre ny soit parvenu de son côté. Mais, outre l'avantage d'une antériorité de plus de 25 ans, Desargues a celui d'avoir connu et mis à pioiit toutes les ressources que ce théorème offrait dans la théorie des coniques.

R. Simsoii lions parait être le seul géomètre qui se soit ser\i jusqu'à ces derniers temps, (ie ce théorème qu'il a déni<iii(i(;' dans le .j' livre de son

Ui.S xoTirrs scir.MirTorrs.

Traitr des conù/vrs {iwnY)n^\\u,î\ 12'' ; ol dont il a\a"t enlrPMi la fL'Condité, cai- apivs on avoir tiré six corollaices, il ajoulo qu'ils reiiforment rlo^ drinoiistrations naturelles et faciles <le quelques propositions (lu premier livre des principes de Newton. R. Simson avait empruntt'! ce théorème des œuvres de Fermât; comme on lo voil dans son Traité des Porismes où il le démontre aussi sous le N° 81 .

§ 26. — On n'a considéré jusqu'à ce jour le tliéorème de Desargues que sous l'énoncé sous lequel nous l'avons présenté ; et c'est ainsi qu'on en a fait de nombreuses applications. Mais en y introduisant la notion (\v\ rapport an harmonique, on peut envisager ce théorème sous \u\ autre point de vue, et lui donner une autre forme qui en feia une proposition différente, et ni- ipre à de nouveaux usa*i:es. Cette proposition qu'on peut rei:nrder comme centrale dans la théorie des coniques, car une intinité de propriétés divei-ses de ces courbes, qui avaient paru sans Haison et étrangères les unes aux autres, en dérivent naturellement comme d'un centre uni(pie ; cette proposition, dis-je. offre une voie facile pour passer du théorème de Desargues à celui de Pascal, et vice versa, et (!e chacun de ce-^ deux là à (hverses anlri'> j)ropriét(''s L;éiu''rales

\0Ticrs sr.n.NTiFiorFS. 109

(Ips rnniquos, lellos qno le Ix'îui l!i«''Orème(Jo Newton sur la (lesrriplioii orgmiiqiift rlft cos conrbes. (Voir la noie xv.)

§ 27. — Les anciens n'avaient considéré, pour former leurs coniques que des cônes à base circulaire ; et Desargues et Pascal les imitaient en ce point, puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle, il se présentait donc une question,à savoir si tous les cônes qui avaient pour base une conique quelconque étair nt identiques avec les cônes h base circulaire ; ou, en d'autres termes, si un cône quelconque à base elliptique, parabolique ou bypeibolique, pouvait être coupé suivant un cercle; et, dans le cas où cela serait, de déterminer la position du plan coupant. Ce fut Desargues, ainsi que nous l'apprend le P. Mersenne [universœ.gcometriœ, mixtœque mathemalicœ synopsis, page 331 ; in-fol. 1644) qui proposa celte question, qui eut alors une certaine célél)rité à raison de sa difliculté; car elle est de la nature de celles qui, admettant trois solutions, dépendent en analyse d'une équation du troisième degré, et, en géométrie, des sections coniques. Descartes la résolut par les principes de sa nouvelle géométrie analytique, et d'une manière fort élégante pour le cas

170 NOTICES SCIENTIFIQUKS.

OÙ la l)cis<' (lu cône est une parabole; auquel cas il n'a besoin que d'un cercle dont l'intersection avec la parabole donne la solution demandée. Depuis cette même question a occupé plusieurs autres géomètres célèbres, le marquis de Lbopital, Herman. le P. Jacquier, qui suivireiil la iiirme marche analytique que Descartes, en y apportant quelques simplifications, je ne crois pas que l'on ail donné de ce problème une solution purement «.Tométrique et graphique, l.a difficulté disparaît devant les nouvelles doctrines de la géométrie, qui peuvent en procurer plusieurs solutions diflérentes.

§ 2S. — On doit à Desargues une propriété des triangles, qui est devenue fondamentale et d'un usage très utile dans la géométrie récente. C'est que : «si deux triangles, situés dans l'espace ou dans nii mémo plaji. ont leurs soniinels [ilacés (](Mi\à deux sur trois droites concourantes en un ni;" in»' point, leurs col es se rencontreront deux à dmix i ii trois points qui seioni situés en ligne dioite; < et réciproquement.

Ce théorème se ti'ouve avec deux autres dont l'un est sa réciproque, à la suite du Traité de pcrspeclivc rédigé par Bosse, d'après h's principes ri la méthode de Desargues, mise au jour en {("..U;.

NOTicKS sr.irNTiFiQi'r,s. 171

(jiiaud les doux Irianjilos sont silin''s dans d^iix ])lans diirûrenls, le théorème est de \('v\W' inluitive, ainsi que le remarque Desargues ; (|uand ils sont dans un même plan, sa démonstration oOTrc cela de remarquable qu'il y est fait usage du théorème de Ptolémée sui' le triangle coupé par une transversale. C'est un des premiers exemples, chez les modernes, de l'application de ce célèbre théorème, qui depuis est devenu la base de la théorie des transversales.

Le théorème de Desargues, a été reproduit pour la première fois dans ces derniers temps, par M. Servois dans son ou\rage intitulé Solutions peu connues, etc.; et a été employé depuis par M. Hrianchon (correspondance polytechnique, t. m, p. 3), par M. Poncelet dans son Tîmté des propriétés pro- Jectives, et par MM. Sturm et Gergonne (Annales de mathématiques t. \vi et xvii). M. Poncelet en a fait la base de sa belle théorie des figures homologiques. 11 a appelé les deux triangles en question homologiques^ le point de concours des trois droites qui joignent deux à deux leurs sommets, centre d'homotogie, et la droite sur laquelle se coupent deux à deux leurs trois cotés, a^e d' homologie .

% 29. --^Mais....

172 NOTICES SCirNTIFlyLF.S.

« Nous remarquerons encore, nu sujet du llu'orème de Desargues qu'il conduit naturellement à un beau principe de perspective, qui semble en être, en quelque sorte, la première destination ; c'est que : « Quand deux figures planes, situ«^es dans l'espace, sont la perspective l'une de l'autre, si l'on fait tourner le plan de la première autour de sa droite d'intersection avec le plan de la seconde, les droites qui iront des points de la première figure aux points correspondants de la seconde, concourront toujours en un même point; et cela aura encore lieu quand les plans des deux figures seront superposés l'un sur l'autre. » Ce théorème peut ofï'rir une intelligence facile de certaines pratiques de la perspective.

§ 30. — Desargues s'était occupé des applications de la géométrie aux arts, et avait traité cet objet en homme supérieur, y apportant, avec une exactitude alors souvent inconnue aux artistes, les principes d'uni\ersalité que nous lui avons reconnus dans SCS recherches de pure géométrie.

Divers écrits de lui furent publiés sur la perspective, la coupe des pierres et le tracé des cadrans, il parait que ces ouvrages étaient très-succinc(s, e( pour ainsi dire, comme des essais qui renfermaient

>OTICLS SCIEM'iriQUES. \To

la substance d'ouvrages qui devaieul ('lie plus développés et plus complets. Quelques années après, A. Bosse, célèbre graveur, qui, quoique géomètre médiocre, avait eu assez de pénétration pour apprécier le génie de Desargues, fut initié pai- lui dans ses nouvelles conceptions, et les exposa de nouveau, mais d'une manière très-diffuse, (ju'il croyait avoir appropriée aux usages des artistes, et qui ne l'était certainement pas à celui du véritable géomètre. Cependant les écrits originaux de Desargues étant perdus, ceux de Bosse ont acquis, par cette circonstance, un certain mérite. Ils suffiraient au géomètre qui voudrait les lire avec attention, pour rétablir les piincipes tliéoriques qui avaient servi de fondement aux diverses pratiques inventées par Desargues dans ses ouvrages originaux.

Ceux-ci avaient pour titre :

r Méllwde iinivcrselie de mettre en perspective les objets donnes rceUement ou en devis ^ avec leurs proportions, mesures^ éloignemcns, sans employer aucun point qui soit hors du champ de l'ouvrage y par G. D. L. (Girard Desargues Lyonnais) à Paris, 1636. Le privilège était de 1630.

2° Brouillon-projet de la coupe des pierres. 16 iO;

3* Les cadrans ou moyen de placer le style ou

174 NOTICES SCir.?(TII"iQUtS.

l^axe, inséré à la lin <lu Brouillon dr la coupe d-js pierres.

Le traité de perspective arrangé par Bosse contient un frafiinent dr l'ousra^e original de Desargues. On y reconnaît le fondement et la substance de tout l'ouvrage de Bosse. Le Ijut que s'y propose Desargues est de pratiquer la perspective sans se servir d'un dessin de l'objet, et an moyen seulement de cotes indiquant la position de chacun de ses points dans l'espace, de même que ces cotes serviraient . en architecture, pour construire le plan géométral et les coupes de cet objet. C'est à cette occasion qu'il imagina ïrchelle fuyante. maintenant si en usage chez les artistes, et qui porte le nom de Desargues dans quelques traités de perspective. (Voir celui «rOzanam, page 62, édition de 1720, in-8.)

Cet ouvrage était au témoignage de Fermât u agréable et de bon esprit. » Descartes en porta un jugement semblable en écrivant au P. Merseune : u Je n'ai re«;u que depuis peu de jours les deux petits livres in-folio que vous m'avez envoyés, dont l'un qui traite de la perspective (et qui était de Desargues) n'est pas à désapprouver, outre (juo la eu-

NOTicliS scji.rsririQUKS. 175

i'iosil<î et la iiettelO de son lyugage esl à ostimcr. » (Letlros, lomc iv, page 257).

Le livre des eadraiis niéiitu aussi l'approltalidii de Deseai'Ies, qui (i'uu\a ([iif <• J'iiiveiilion eu éiail l'urt belle, e( d'aiilanl jdiis ingénieuse qu'elle élail plus simple. " (Lellies, lomeiv, page 147). Cegraud homme n'exprime pas sou sentiment sur le livre de la coupe des ])ierres. parce ([ue les ligures y manquaient.

11 parait ([ueii UN ention des epicycioides et de leur usage en mécanique, dont Leibnitz a revendi((ué l'honneur pour le célèbre astronome Roener. est (Ui(! à Desargues. Car de La Hire nous apprend, dans la préface ûe m\\ Traité des épicycloïdcs qu'il a l'ait au château de Beaulieu, près de Paiis, une roue à dents épycloïdales, à la place d'une autre semblable qui y avait été autrefois construite par Desaryues. De plus de La Hire répète dans la préface de son Traité de mécanique publié en 1095, qu'il donne la construc'ion d'une roue où le flottement n'est pas sensible et dont Id première invention était due à Desargues, un des plus excellents géomètres du siècle.

§ 31 . — Le caractère principal des écrits de Desargues était une grande généralité dans ses prin-