CD, CF

Car à cause de l'égalité d'entre les rectangles des deux branches de chacun des trois couples AB, AH ;

AC, AG ; AD, AF les quatre branches AG, AF,

AD, AC sont deux à deux proportionnelles, d'où suit que

commeAGestàAF j ^.-^^j ^D est à CF.

ou bien AD à AC S et que

comme AF est à AC ) ^^^^j ^p est à CD. ou bien AG à AD ) Conséquemment la branche AG est à son accouplée la branche AC en raison mesme que la compo-

sée des raisons du brin GD au brin CF et du brin GF au brin CD, qui est la raison du rectangle des brins de la couple GD, GF au rectangle des brins de sa relative la couple CD, CF.

D'où suit que le rectangle des brins GB, GH gémeau du rectangle GD, FG est à son relatif le rectangle CB, CH gémeau du rectangle CD, CF comme le rectangle GD, GF gémeau de ce rectangle GB, GH est à son relatif le rectangle CD, CF gémeau du rectangle CB, CH.

Car de ce qui est démontré le rectangle des brins de la couple GB, GH est à son relatif le rectangle CB, CH comme la branche AG à son accouplée AC.

Davantage il est aussi démontré que le rectangle des brins GD, GF est à son relatif le rectangle CD, CF comme la mesme branche AG à son accouplée AC.

Partant le rectangle des brins GB, GH gémeau du rectangle GD, GF est à son relatif le rectangle CB, CH, comme le rectangle GD, GF est à son relatif le rectangle CD, CF.

D'oii suit qu'aussi le rectangle des brins FC, FG est à son relatif le rectangle DC, DG, comme le rectangle des brins FB, FH est à son relatif le rectan-

gle des brins DB, DH. Sçavoir est comme la branche ÂF est à son accouplée AD.

D'où suit aussi que le rectangle des brins HC, HG est à son relatif le rectangle BC, BG comme le rectangle des brins HD, HF est à son relatif le rectangle BD, BF. Sçavoir est comme la branche AH à son accouplée AB.

Inuoltition. — Et quand en une droite AH il y a comme celatrois couples de points B, H ; C, G ; D, F ainsi conditionnées à sçavoir que les deux points de chacune des couples soient de mesme ou mêliez ou démêliez aux deux points de chacune des autres couples, et que les rectangles ainsi relatifs des pièces d'entre ces points soient entreux comme leurs gémeaux, pris de mesme ordre, sont entreux; une telle disposition de trois couples de points en une droite est icy nommée Involution.

C'est-à-dire, qu'alors qu'il est icy dit, que trois couples cottées de points en une droite sont disposez en involution entr'elles ; cela ueut dire qu'en cette disposition de ces trois couples de points, se trouuent toutes les conditions et propriétez qui uiennent d'estre expliquées de nœus d'un arbre en chacune des deux espèces de conformation, ou que ces trois couples de points, sont trois couples de

nœus en un arbre do Tune des deux espèces de conformalion expliquée cy devant.

Fig. 5. — D'où suit d'abbondant que quand en une droite comme AH, quatre pièces comme AG, AL ; AD, A(] de deux couples AG, AC ; AL, AD ne sont pas deux à deux proportionnelles ou que les rectangles ne sont pas égaux entreux de deux pièces de chacun de ces deux couples AG, AC ; AD, AL , quoique leur but commun A soit de mesme engagé ou dégagé aux deux pièces de chacune de ces deux couples AG, AC ; AD, AL. la quelconque de ces pièces AG n'est pas à son accouplée AC comme le rect. GD, GL est à son relatif le rectangle CD, CL et la conformation d'un arbre n'y est point.

Car puisque ces quatre pièces AG, AL, AD, AC ne sont pas proportionelles entrelles, aussi les rectangles ne sont pas égaux entreux de chacune des couples de pièces AL, AD ; AG, AC.

Soit donc prise la droite AF pour couplée à la droite quelconque d'elles AD en façon que les rectangles soient égaux entreux de chacune des couples AG, AC ; AF, AD cette pièce ainsi prise AF est inégale à la pièce AL et le point F est séparé du point L, partant il n'y a pas mesme raison de la pièce FC à la pièce FG que de la pièce LC à la pièce LG.

TRAITK DES COÎSIQUES. 121

Ainsi la raison de la pièce AG a son accouplée AC qui est la raison du rectangle des pièces GD, GF, au rectangle des pièces CD, CF n'est pas la mesnie raison que du rectangle des pièces GD, GL au rectangle des pièces CD, CL, et partant sinon ([ue les quatre pièces AG, AL, AD, AC des deux couples AG, AC ; AL, AD soient deux à deux proportionnelles, elles ne constituent pas un arbre des espèces de conformation expliquée cy devant, et la quelconque des pièces AG n'est pas à son accouplée AC comme le rectangle des deux pièces GD, GL au rectangle des pièces CD, CL, comme nécessairement il auient quand ces quatre pièces sont proportionnelles entr'elles comme AG, AF AD, AC.

D'oti suit qu'estant donné de position deux couples quelconques de nœus G, C ; D, F en un arbre A H la souche A demesme est donné de position et cela reuient à ce que la somme ou la différence et la raison d'entre deux quantités estant donnée, chacune de ces deux quantitez est donnée de grandeur.

Car ayant premièrement engagé ou dégagé cette souche A aux nœus de chacune de ces deux couples G, C; D, F, selon que les nœus d'une des couples

sont ou mêlez ou démêlez aux nœus de l'autre couple.

Puis fait la branche AG à son adiointe la branche AF ou bien la branche AD à son adiointe la branche AG comme le brin GD à son semblable le brin FC.

De là suit que la branche AD est à la branche AC comme la branche AG est à la branche AF, conséquemment les rectangles sont égaux entr'eux des branches de chacune des deux couples AG, AG mitoyennes et AF, AD extrêmes.

Partant la quelconque de ces branches AG est à son accouplée AC comme le rectangle des brins GF, GD est à son relatif le rectangle GD, CF ; donc A est la souche de l'arbre dont GC et DF sont deux couples de nœus.

Ou bien encore ayant fait la branche AF à son ajointe la branche AC, ou bien la branche AG à son ajointe la branche AD comme le brin GF est à son semblable le brin CD, suit que la branche AG est à la branche AF, comme la branche AD à la branche AG ; conséquemment les rectangles sont égaux entr'eux des branches de chacune des deux couples ÂG, AC, et AF, AD; conséquemment la quelconqve de ces brçinches AG est à son accouplée la bran-^

che AC, comme le rectangle des brins GD, GF esta son relatif le rectangle CD, CF; donc A est la souche de l'arbre dont GC, DF sont des couples de nœus.

Et en passant puisque les semblables massifs ou solides compris de faces, flancs ou cotez opposez plats et parallèles sont entr'eux en raison mesme que la composée de la raison d'entre leurs bases et de la raison d'entre leurs hauteurs, il suit de ce qui est démontré que le massif ou le solide de la quelconque de ces branches GA en chacun des brins couplez qu'elle porte GD, GF est au semblable massif ou solide de son accouplée la branche AC en chacun des brins couplez qu'elle porte CD, CF relatifs à la couple GD, GF en raison doublée de cette quelconque branche AG à celle son accouplée la branche AC, et ce qui s'en peut d'avantage déduire.

Nœu moyen simple. — De ce que deuant il est encore évident qu'en l'espèce de conformation d'arbre ou la souche est engagée entre les deux branches ou nœus de la quelconque des couples, les deux nœus moyens qui donnent une couple de branches moyennes y soîit séparez l'un de l'autre

et qu'ainsi chacun d'eux est seul et pour cette raison il est ici nommé nœu moyen simple.

Et quand en cette espèce d'arbre, il y a deux couples de ces branches moyennes lesquelles donnent chacune une couple de nœus moyens simples, chacun des nœus moyens simples de la quelconque de ces deux couples se trouve uny avec un des nœus aussi moyen et simple de l'autre couple, et pour cette raison, il y aura deux cottes diverses auprès du quelconque de ces nœus moyens simples.

Mais pour des considérations ce cas de deux couples de branches moyennes avec une troisième couple de branches extrêmes en un arbre de l'espèce ou la souche est engagée entre les branches d'une couple, ne sera pas icy compris aux événements qui constituent une involution de trois couples de nœus entr'elles, aussi bien y a-t-il d'ailleurs beaucoup à reuoir, aiouter, expliquer, ordonner, transposer, retrancher, augmenter et netoyer mieux en ce brouillon proiet et ces deux couples de branches moyennes ensemble ne donnent que les mesmes nœus moyens d'une seule d'elles.

Nœu moyen double, — Mais quand en un arbre la souche se trouve dégagée d'entre les deux branches, ou deux nœus, de la quelconque des couples,

Ics deux nœus moyens que donne une couple de branches moyennes sont unis ensemble à un mesme point ou nœu qui pour cette raison est icy nommé nœu moyen double et peut au besoin estre cotté d'une seule cotte entendue redoublée ou prise deux

fois.

Et quand en cette espèce d'arbre, il y a deux couples de ces branches moyennes d'une part et d'autre de la souche, chacune de ces branches moyennes donne au tronc de l'arbre un de ces

nœus.

Et en cette espèce de conformation d'arl)re ou la souche est dégagée d'entre les branches d'une couple, ce cas de deux couples de branches moyennes auec une troisième couple de branches extrêmes est icy compris entre les événements qui constituent une involution de trois couples de nœus entr'elles ou chacun des deux nœus moyens doubles, est considéré comme une couple de nœus unis en un

point.

Nœus extrêmes. — Or eu l'une et l'autre espèce de conformation d'arbre les deux nœus que donnent ces deux branches extrêmes d'une mesme couple y sont nommez nœus extrêmes.

pig, 6. — De ces deux nœus extrêmes d'une cou-

pie BH l'un B est autour de la souche entre deux nreus moyens simples ou doubles et l'autre de ces nœus extrêmes H de la mesme couple est hors d'entre les mesmes nœus moyens simples ou doubles.

Nœu extrême intérieur. — Celui des nœus extrêmes B d'une couple BH qui est entre les nœus moyens simples ou doubles de l'arbre est icy nommé nœu extrême intérieur.

Nceu extrême extérieur. — Celui des mesmes nœus extrêmes H d'une couple BH qui est hors d'entre les nœus moyens simples ou doubles de l'arbre est icy nommé nœu extrême extérieur.

En chacune des deux espèces de conformation d'arbre, d'autant que la petite d'une couple de branches extrêmes est plus courte qu'une des branches moyennes, d'autant la grande de cette couple de branches extrêmes est à proportion plus longue que la mesme branche moyenne, et au rebours.

Ou bien d'autant plus que le nœu intérieur B d'une couple de nœus extrêmes BH est proche de la souche A, d'autant plus le nœu extérieur H de la mesme couple de nœus extrêmes BH est éloigné de la mesme souche A et au rebours.

Ainsi pendant que le nœu intérieur B d'une couple d'extrêmes est deioint ou bien désuni à la

TRAITÉ DES CONIQUIiS, l!27

souche de l'arbre, le nœu extérieur de la mesnie couple est au tronc à distance finie et au rebours.

Et quand le nœu intérieur d'une couple d'extrême est joini ou bien uni à la souche de l'arbre, le nœu extérieur de la mesme couple est au tronc à distance infinie et au rebours.

Voila comme en un arbre la souche et le tronc depuis la mesme souche iusques à l'infini d'une et d'autre part d'elle y sont entreux une couple de branches extrêmes, dont la petite est appe tissée jusqu'à la souche et la grande est alongée h l'infini.

Voila de plus comme la mesme souche et la distance infinie sont encore en l'arbre une couple de nœus extrêmes dont la souche est l'intérieur et l'espace infinie est l'extérieur, et qui avec deux quelconques autres diverses couples de branches constituent uneinvolution.

Or, l'euenement de semblables espèces de conformation d'arbres est fréquent aux figures qui uiennent de la rencontre d'un cône avec des plans en certaines dispositions entreux.

Fig. 6. — Et en l'espèce de conformation d'arbre ou la souche A se trouve engagée entre les deux branches d'une couple ÂC, AG lorsqu'il s'y

rencontre deux couples de branches moyennes ÂG, AC; AF, AD et que le quelconque des nœus moyens simples G d'une couple CG est uni, à un des nœus moyens simples D de l'autre couple DF, en ce cas il y a nombre de propriétés particulières.

Car puisque les rectangles sont égaux entreux de chacune des trois couples de branches, àsgavoir des deux couples de moyennes AF, AD ; AC, AG et de la couple d'extrêmes AB, AH. c'est-àdire que les trois couples tle nœus, deux de moyens simples DF, CG et une d'extrêmes BH sont disposées entr'elles comme en involution. Il est premièrement évident que chacune de ces branches moyennes est égale à chacune des trois autres et est moyenne proportionnelle aux deux branches d'une quelconque couple d'extrêmes AB, AH.

Davantage, comme le rectangle des brins GD, GF est à son relatif le rectangle CB, CH gémeau du rectangle CD, CF, et en changeant, le rectangle GD, GF est à son gémeau le rectangle GB, GH, comme le rectangle CD, CF, relatif du rectangle GD, GF est à son gémeau le rectangle CB, CH.

Or il est évident qu'en ce cas le rectangle des brins GD, GF est égal au rectangle des brins CD,

TRàlTÉ DES CONIQUES 129

CF, partant aussi le rectangle des brins GB, GH est égal au rectangle des brins CB, CH.

Ce qui dailleurs est encore euident, car de l'hypothèse et de ce qui est icy démontré, suit que le brin CH est h son semblable le brin BG comme le brin GH est à son semblable le brin BC, partant le rectangle (ies deux brins mitoyens GB, GH est égal au rectangle des deux brins extrêmes CB, CH. Ou bien encore, la branche AG a son accouplée AC. ainsi le rectangle des brins GB, GH au rectangle son relatif CB, CH ; donc la branche AG estant égale à son accouplée .AC, le rectangle GB, G H est égal h son relatif le rectangle CB. CH. Ce qui est incompréhensible quand le nœu intérieur B de la couple des extrêmes BH, se trouve uni à la souche A et que le nœu extérieur H de la mesme couple d'extrêmes est à distance infinie.

De manière qu'en ce cas il advient, que trois couples de nœus D,F; C.G; B,H sont réduites a ne donner que deux couples de points, au tronc desquels une couple BH est de nœus extrêmes et chacun des points de l'autre couple représente des nœus moyens simples de deux couples divers. Et ces deux couples de poincts donnent au tronc trois pièces consécutives FCB, BDG, DGH dont la

130 TRAltl- D '^ TOXIQUES.

somiiie FCH est ù la piectj moyenne GDB comme la pièce du bout de la part du nœu extrême extérieur H , à sgavoir la pièce GDH est à la pièce de l'autre bout de la part du nœu extrême intérieur B c'est à sçavoir à la pièce FCB.

De façon qu'alors qu'eu cette espèce de conformation d'arbre ou la souche est engagée quand il y a deux couples de branches moyennes, et que le nœu extrême intérieur est désuni de la souche, ou que le nœu extrême extérieur est à distance finie, c'est-à-dire que trois semblables couples de nœûs n'y donnent ainsi que deux couples de points au tronc qui donnent ainsi trois pièces consécutives; en ce cas la pièce mitoyenne est inégale à chacune des pièces des bouts, et de la part du nœu extrême extérieur et de la part du nœu extrême intérieur.

Et lorsque le nœu extrême intérieur est uni à la souche ou que le nœu extrême extérieur est à distance infinie, en ce cas la pièce mitoyenne de ces trois consécutives est égale à celle des pièces du bout qui esi de la part du nœu extrême intérieur.

11 y a nombre de propriétés particulières à ce cas de cette espèce de <;oufoimation d'arbre, ou chacun peut s'égayer à sa fantaisie, mais il n'est pas

encore icy du nombre de ceux qui coaslituent une inuolution : et partant.

Fig. 7. — Touchant l'autre espèce de conformation d'arbre où la souche A se trouve dégagée d'entre les branches d'une mesme couple.

Quand il y a deux couples de branches moyennes ÂC. AG; AF. AD l'une d'une part l'autre de l'autre part de la souche A et une couple de branches extrêmes AB, AH, c'est-à-dire qu'il y a deux nœus moyens doubles G,C; D,F et une couple de nœus extrêmes B,I1 en l'inuol'ition, et qui pour trois couples de nœus, donnent au tronc seulement deux couples de points, outre ce que celte espèce a de commun auec l'autre espèce de conformation d'arbre ou la souche est engagée qu'il n'est pas nécessaire de redire; il y a d'autres particulières propriétés éuidentes à l'abord, comme, que

La grande des "branches extrêmes AH, est à la quelconque des moyennes AG, et la quelconque des branches moyennes AG est à la petite extrême AB, comme le brin HG est au brin BG, c'est-à-dire, en raison moitié de la raison du rectangle des brins HG, HC, à son relatif le rectangle BG. BC.

Et puisque par ce qui est démontré d'un arbre,

i3-2 TRAITÉ DES CONIQUES.

le rectangle des brins HF, HD est à son relatif le rectangle BF, BD, comme le rectangle HG. HC gémeaux du rectangle HF. HD, est à son relatif le rectangle BG. BC gémeaux du rectangle BF. BD et que les brins BF, BD sont égaux entreux, et les brins HF, HD sont égaux entreux et que de mesme les brins HG, HG sont égaux entreux, et les brins BG, BC sont epaux ent»'eux. suit que le brin HG est au brin B(j, comme le brin HF au brin BF.

D'où suit que la grande des branches AH, est à la quelconque des moyennes AG ou AF, et la quelconque des branches moyennes AG ou AF, est à la petite des branches extrêmes AB, en raison aussi moitié de la raison du rectangle HF. HD au rectangle BF. BD, c'est-à-dire comme le brin FH est au brin FB, et comme le brin GH est an brin GB, et à l'enuers, changeant et alternement , divisant, composant, et le reste.

C'est à dire qu'en cette espèce de conformation d'arbre à la souche dégagée et au cas de ces deux couples de branches ainsi moyennes, auec une couple quelconque de branches extrêmes, ces trois couples de branches là donnent au tronc quatre points FD, B, CG. H qui font trois pièces consécutives FDB; BCG, HCG en façon que celle de

TKAITK DES CONIQUES. 133

l'un des bouts quelconques H CG est à la moyenne CG B comme la somme des trois ensemble H FD est à celle de l'autre bout FD B, car alteruement à l'enuers aussi FD B est a B CG comme H FD est à H CG et de suite changeant, diuisant, composant et ce qui s'en suit.

Et dans ce mesme cas est évidemment compris l'euenement de ces deux couples de branches moyennes auec la souche et le tronc depuis elle jusqu'à l'infini d'une part, pour couple de branches extrêmes, qui donnent deux nœus moyens doubles chacun pour un couple de nœus moyens, et la mesme souche auec la distance infinie au tronc pour une autre troisième couple de nœus extrêmes, le tout pour trois couples de nœus en involution au tronc de l'arbre, auquel éuenement il est aisé de discerner les deux nœus moyens doubles d'auec les deux nœus de la couple d'extrêmes, en ce qu'ordinairement l'un des deux nœus extrêmes est entre les deux nœus moyens doubles, et qu'un des nœus moyens doubles est entre les deux nœus extrêmes, et ce cas d'inuolution est énoncé d'ordinaire en nommant premièrement les deux nœus de la couple d'extrêmes en cette manière, ces deux tels points sont couplés entreux en invo-

lution auec deux tels autres points, ou ces mots (sont couplez entreux) emportent que ces deux points ainsi couplez et séparez ou désunis d'ensemble sont une couple de nœus extrêmes, d'où suit que n'y ayant que quatre points en ce cas d'inuolution, chacun des deux autres est un nœu moyen double et conséquemment un des nœus extrêmes est entre ces deux nœus moyens doubles , ou bien un des nœus moyens doubles est entre les deux nœus extrêmes.

JSœus correspondant entreux au cas de 4 points seulement en inuoluiion — Dauantage en ce mesrae cas, les nœus moyens doubles sont icy nommés nœus correspondans entreux et les deux nœus extrêmes y sont aussi nommez nœus correspondans entreux,

Par où il est éuident que les trois quelconques des nœus d'une semblable inuolution estant nommez et donnez de position aussi le quatrième est donné de position, comme il apparaîtra mieux encore à la suite.

Et partant pour donner à entendre ce cas d in~ uolution, il suffira de dire, que tels quatre points sont en inuolution entreux, ou que deux tels points «ont en inuolution couplez avec deux tels autres

pointsen nommant les correspondans ensemble par couple.

Ou toute la plus grande remarque à faire est que ce cas d'inuolulion en quatre points, comprend comme deux espèces d'un genre : l'euenement ou quatre points en une droite chacun à distance finie y donnent trois pièces consécutives dont celle quelconque des bouts est à la mitoyenne comme la somme des trois est à celle de l'autre bout, et l'euenement ou trois points eu une droite chacun à distance finie y donnent deux pièces consécutives égales entr'elles, sçavoir est, lorsqu'en une droite, un point mipartit l'intervalle d'entre deux autres points, auquel reucoutre ou éuenement, le point de part et d'autre duquel sont les pièces de droite égales entrelles est la souche, et d'auanlage un nœu extrême couplé à distance infinie de la niesme droite en inuolution avec les deux points des autres bouts de ces deux pièces égales qui sont en ce cas chacun un noeu moyen double en l'inuolution.

A points en iunolution. — Partant a ces mots quatjce pojn^s en inuolution, on conceura comme de deux espèces d un mesme genre, Tun ou l'autre de ces deux éuenements; à sçayoir l'un, ou quatre points en une droite chacun a distance finie y

donnent trois pièces consécutives, dont la quelconque extrême est à la mitoyenne comme la somme des trois est à l'autre extrême : l'autre, ou trois points à distance finie en une droite auec un quatrième a distance infinie y donnent de mesme trois pièces dont la quelconque extrême est à la mitoyenne comme la somme des trois est à l'autre extrême, ce qui est incompréhensible et semble impliquer à l'abbord en ce que les troits points à distance finie donnent en ce cas deux pièces égales entrelles, par ou le point du milieu se trouue et souche et nœu extrême, couplé à distance infinie. Partant on observera soigneusement , qu'une droite estant mipartie en un point et alongée à l'infini c'est un des éuenements de l'inuolution en quatre points.

Or en ce mesme cas d'une inuolution en quatre points H, G, B, F chacun à distance finie, comme les deux correspondans entreux F, G sont chacun un nœu moyen double, et les autres deux aussi correspondans entreux B, H, sont une couple de nœus extrêmes, au tronc d'un arbre dont la souche A mipartit le bras GF.

Fig. 8, — Semblablement les deux points H, B sont chacun un nœu moyen double et les deux

points G, F sont une couple de nœus extrêmes d'un arbre dont la souche L mipartit le brin BH.

Car puisque BF est à BG comme HF à HG c'està-dire comme le rectangle FB. FB est au rectangle GB. GB comme le rectangle FH. FH est au rectangle GH.GH.

Si dauantage on considère les points G, F comme une couple de nœus extrêmes et chacun des points H et B comme un nœu moyen double.

Alors ces trois couples de nœus FG, BB, IIH qui sont en inuolution entreux. sont évidemment démêlez entrelles.

Partant ayant dégagé la souche de l'arbre L d'entre les nœus de chacune de ces trois couples, elle tombe évidemment entre les points H et G.

De plus ayant fait que, comme le rectangle FB. FB est au rectangle GB. GB, ou bien comme le rectangle FH. FH est au rectangle GH. GH. ainsi la branche LF soit à la branche LG, jsuiura ce que dessus, que les rectangles sont égaux entreux de chacune des trois couples de branches LF, LG ; LB, LB ; LH, LH, et partant la souche L mipartit le brin BH en un arbre dont LB, LB, LH, LH sont chacune une couple de branches moyennes et LG,

138 TRAITÉ DtS CONIQUES.

LF une couple de branches extrêmes et ce qui s'en suit :

Souches réciproques entrelles de quatre points en inuoluiion. Fig. 8. — De façon que quand en une droite quatre points chacun à distance finie, constituent une inuoluiion, chacun des points qui mi partit le brin d'entre chacun des deux correspondants de ces quatre points est souche d'un arbre de chacun desquels ces quatre points sont des couples de nœus, lesquelles deux semblables souches comme L et A d'une semblable inuoluiion de quatre points sont icy nommc'es souci es réciproques enlr'elles.

Et laissant désormais une des cottes à nommer quand il y en a deux pour un mesme de ces quatre points.

Fig. 7. — De ce qui est dit il suit d'auantage que BF est à BA comme BH à BG est à l'enuers alternement, changeant, composant, divisant et le reste.

Pour souche. — Ainsi les rectangles sont égaux entreuxdes extrêmes BF, BG et des deux moyennes BA, BH et le nœu extrême B est pour souche aux deux couples de nœus G, F et A, H ou de branches BF, BG et BH, BA; partant BF est à BG comme le rectangle FA. F H est au rectangle GA. GH à sçavoir

TRAITÉ DES CONIQrES. 139

en la raison mesme que la composée des raisons de AF à AG et de HF à HG c'est-à-dire à cause de l'égalité d'entre les brins FiV, G A en raison (le HT à HG c'est-à-dire en raison moitié de la raison du rectangle HF. HF au rectangle HG. HG etàl'enuers. alternant, changeant, composant el<'.

D'où suit d'auantage que HG est à HB comme HA est à HF, ainsi les rectangles sont égaux entreux des deux extrêmes HG, HF et des deux mitoyennes HB H \ , et le nœu simple extrême H est pour souche aux deux couples de uœus G, F et B. A ou de branches HG, HFetHB, HA.

Partant HF est à HG, comme le rectangle FA. FB est au rectangle GA. GB, c'est-à-dire en raison mesme que la composée des raison^ de FA à GA et de FB à GB, c'est-à-dire à cause de l'égalité d'entre les deux branches AF, AG, comme BF est à BG. sçavoir en raison moitié de la raison du rectangle BF.BF au rectangle BG.BG, et à l'enuers, alternant, changeant, composant, diuisant, et le reste.

D'où suit aussi que BF est à BG, comme le rectangle FA.FB est au rectangle GA.GB, et que HF est à HG, comme le rectangle FA.FH au rectangle GA.GU, avec ce qui s en suit.

Et que le rectangle FA. FH est au rectangle GA.

140 TAAITÉ DES CONIyUES.

GH, comme le rectangle FA. FB est au rectangle GÂ.GB, avec ce qui s'en suit.

Dauantaee BH est à BA, comme le rectande HF. HG est au rectangle des égales entr elles AF.AG, ou son égal le rectangle AG.AG.

Et HA est à HB, comme le rectangle des égales entrelles AF.AG, ou son égal le rectangle AG.AG, est au rectangle BF.BG.

D'où suit d'abbondant que FH est à FA, ou à son égale AG. comme BF est à BA. et consequemment comme BH est à BG, et alternement FH est à FB, comme AF, ou son égale AG, est à AB, et ce qui s'en suit.

Ainsi les rectangles sont égaux entreux des deux extrêmes FH, BA, et des deux mitoyennes FA, FB, et des extrêmes HF, BG, et des mitoyennes FA.BH.

De plus GA est à BF. comme HA est à HF, et partant comme HG est à HB. Ainsi les rectangles sont égaux entreux des extrêmes GÂ,HF, et des mitoyennes BF. HÂ, et'des extrêmes GA,HB et des moyennes BF, HG.

D'auautage BF esta BH, comme deux fois FA qui est FG est à deux fois GH, et alternement à l'eauers, changeant, diuisant , composant , et le reste.

TRAITÉ DES CONIQUIS. ^ ^t i

Dauantage FB est à la moitié de FG qui est FA, comme HB est à HG, et parlant encore comme H F est à HA.

Ainsi les rectangles sont égaux entreux des extrêmes FB,HG et des mitoyenne FA,HB; et des extrêmes FB, HA. et des mitoyennes FA, HF, et à l'enuers, alternanl, changeant, composant et le reste.

Dauantage le rectangle HB. HB est au rectangle HB. HA, comme le rectangle BA, BH, ou son égal le rectangle BG. BF, est au rectangle AB. AH, ou à son égal le rectangle AG.AG, oii AF. AF, c'est-àdire comme HB à HA, et ce qui s'en déduit.

D'où suit que la raison composée des deux raisons BG à BA et de BF à AH, qui est la raison du rectangle BG.BF, ou son égal BH.BA. au rectangle AH.AB, ou son égal AG.AG, ou AF.AF est la mesme raison que HB à HA.

Mais la raison de HB à HA est aussi la mesme que du rectangle BG.BF au rectangle AG.AF, à scavoir la raison composée des raisons de GB à GA et de FB à FA.

Donc la raison composée des raisons de BG à BA et de BF à AH est la mesme que la composée des

142 TKAlTi: DIS COMQUES.

raisons de GB à GA et de FB a FA. à sca\oir la mesme que de HB à HA.

Qui uoLidra poursuivre plus auant cette discution y trouuera bien encore du diuertissement.

Dauantage puisque HB est à HG, comme FB à FA. et que la raison est double qui est composée des raisons FG à FB et de FB h FA. c'est à-dire la raison de FG à FA.

La raison est atjssi double qui est composée des raisons de FG à FB et de HB à HG. mesme que de FB à FA, ou qui est mesme chose, la raison est double qui est composée des raisons de FG à HG et HB à FB.

Semblablemeut puisque BH est à BG , comme FH à FA, et que la raison est double qui est composée des raisons de FG à FH et de FH à FA, c'està-dire la raison de FH à FA.

La raison est aussi double qui est composée des raisons de FG à FH et de BH à BG, mesme que de FH à FA. ou qui est la mesme chose, la raison est double qui est composée des raisons de FG à BG et de BH à FH, donc aussi la raison est double qui est composée des raisons de HB à H F et de GF à GB.

Et en couuertissant la plu^. urande partie de ces

TRAITÉ DES CONIQUFS. 143

propriétés icy déclarées, on en conclud que quatre points sont en inuolution.

Par exemple, quand en une droite FH, trois pieces comme AB, AC, AH sont entr'elles continuellement proportionnelles, et qu'une quatriesme pièce comme AF est égale à la moyenne AG, les quatre points H, C, B, F sont éuidemment en jnuolution.

Quand en une droite FH. quatre pièces comme BH, BG, BF, BA sont deux à deux proportionnelles, et que la pièce comme AF est égale à la pièce comme AG, c'est-à-dire que le point A mipartit la pièce comme FG, les quatre points H, G, B, F soûl éuidemment en jnuolution.

Quand en une droite FH, quatre pièces HG, HB, HA, HF sont deux proportionnelles, et que le point comme A miparlit la pièce comme FG, les quatre points comme H, G, B, F sont éuidemment en jnuolution.

Kt semblables conuerses du leste qui sont euidentes et qui pouroient au besoin estre déduites au long.

n est semblablement euident de plusieurs endroits cy deuant qu'estant donnés de position, trois (juelconques de quatre points d'une quelconque jnuolution, le quatrième point de la mesme jnuo-

\4^ TiniTi-: DES ro.MQCE?.

lutioii coirespondaut au quelconque de ces trois est aussi donné de position.

Fig. 9. — Quand en un tronc droit trois couples de nœus extrêmes D, F ; C, G; B, H sont en inuolution entreux, que deux autres couples de nœus moyens unis, doubles ou simples PQ-XY font une jnuolntiou de quatre points auec chacune des deux quelconques couples C. G et B, H de ces trois couples de nœus extrêmes; ces deux mesmes nœus moyens PQ, XY font encore comme une inuolution de quatre points auec Ja troisième de ces couples de nœus extrêmes DF.

Car puisque les deux nœus moyens PQ. XY font comme une inuolution de quatre points auec chacune des couples de nœus extrêmes CG, BH, ayant miparty en A le brin PX, ce point A est souche aux couples des nœus moyens PQ, XY et extrême CG, BH, partant la branche AG est à la branche AG, comme le rectangle GB.GH est au rectangle CB.CH, et par l'hypothèse le rectangle GD.GF est au rectangle CD.CF, comme le rectangle GB.GH est au rectangle CB.CH ; conséquemment la branche AG est à la branche AC, comme le rectangle GD.GF au rectangle CD.CF, et A est souche à chacune des couples de nœus moyens PQ, XY et ex-

TRAITÉ DES COiMQUES. 145

tremes BH, CG, DF, qui partant sont tous en inuolution entreux; ainsi les deux couples de nœus moyens PQ, XY sont en inuolution avec le troisième couple de nœus extrêmes DF.

Mais pour ce brouillon c'est assez remarquer de propriétez particulières de ce cas qui en fourmille, et si cette façon de procéder en géométrie ne satisfait, il est plus aisé de le supprimer que de le parachever au net et luy donner sa forme complète.

La proposition qui suit au long auec sa démonstration est la mesme que celle de la page 5; et dont il est dit qu'elle est énoncée autrement en Ptolemée.

Fig. 10. — Quand en une droite HDG, comme tronc, a trois points H,D,G, comme nœus, pasent trois droites comme rameaux déployez HKh, Dqh, G4K, le quelconque brin Dh du quelconque de ces rameaux D4/t contenu entre son nœu D et le quelconque des deux autres rameaux EKh, est à son accouplé le brin D^ contenu entre le mesme nœu D et l'autre troisième des mesmes rameaux G4K, en raison mesme que la composée des raisons d'entre les deux brins de chacun des autres deux rameaux convenablement ordonnez, à scavoir de la raison du brin connue HA au brin comme HK, et

146 TRAin: dis coNiguES.

4e la raison du hiiu eoniiiie GK au brincomme G-4.

Car ayant par le point K, but de l'ordonnance d'entre les deux autres brins Eh, 04, mené une droite KF parallèle au tronc HDG, laquelle donne le point F à ce rameau D4/i, puis prenant le brin DF pour m'toyen entre les deux brins DA et D4 et considère le parallélisme d'entre KF et HG, le brin Dh est au brin D4, en raison mesme que la composée des raisons du brin hh au brin DF, ou du brin H/t au brin HK et de celle du brin DF au brin D4, ou du brin GK au brin G4.

Il y a plusieurs choses à remarquer de cette énonciatiou quand deux des trois rameaux sont parallèles enlreux ; quand au tronc, il y a deux nœus unis en un, et ce qui en dépend ou l'entendement ne uoit goûte.

La conuerse de cette proposition bien énoncée et concluant que trois points sont eu une mesme droite est aussi uraye.

Ramée. Fig. 11. — Quand à un tronc droit GH, à trois diverses couples de nœus BH, DF, CG disposez entreux en inuolution,passenJ trois couples de rameaux déployez FK, DK — BK, HK— CK, GR sont entreux d'une mesme ordonnance au but K. ces trois couples de rameaux ainsi d une mesme

ordonnance entreux sont tous nommez ramée d'un arbre, et chacune d'elles donne en quelqu'autre droite cb menéec onvenablement en leur plan une des trois couples de nœus d'une innolution bh, df, cg.

Quand le but K de l'ordonnance de ces trois couples dp rameaux et de cette ramée FK, DK, BK, HK, CK, GK est à distance infinie, la chose est évidente du seul parallehsme d'entre ces six rameaux.

Et quand le but K de rordonnance de ces trois couples de rameaux, c'est-à-dire de cette ramée est à distance finie, premièrement les nœus de chacune de ces trois couples bh, df, cg sont évidemment ou mêlez ou démêlez aux nœus de chacune des autres couples suiuant qu'au tronc GH les nœus d'un couple sont mêlez ou démêlez aux nœus des autres couples.

Dauantage cette autre quelconque droite cb est aussi bien que le tronc GH d'une diuerse ordonnance auec chacun des rameaux FK, DK d'une quelconque de ces trois couples de rameaux de celle ramée.

Par le point comme D but de l'ordonnancé d'entre le tronc GH et le quelconque des rameau*

DK de cette quelconque couple FK, DK et par le point comme f but de l'ordonnance d'entre cette quelconque autre droite cb^ et l'autre rameau FK, de la mesme quelconque couple FK, DK soit menée la droite D/'qui donne les points 2, 3, 4, 5 aux autres quatre rameaux BK. CK, GK, HK de la mesme ramée.

Maintenant en cette autre quelconque droite cb, le rectangle des deux quelconques brins dg, de est ù son relatif le rectangle des brins fg, fc, en raison mesme que la composée des raisons du brin gd au brin gf^i du biin cd au brin cf.

Et le rectangle des brins db. dli gémeaux du rectangle dg,dc est à son relatif le rectangle fb.fli^Qmeau du rectangle fg.fc en raison mesme que la composée des raisons du brin bd, au brin 6/" et du brin hd au brin lif.

Or la raison du brin gd au brin gf est la mesme que la composée des raisons de Kâf à KD et de 4D

Et la raison du brin cd au brin cf est la mesme

que la composée des raisons de K</àKD et deSDà 3/".

C'est à dire que la raison du rectangle dg.dc au

rectangle fg.fc qui est composée des raisons de gd

à gf ^i de cd à cf est la mesme que la composée de

TRUTl': OF.S COIQUES. I4d

deux fois la raison Kd à KD et des deux raisons de 4D à 4/" et de 3D à 3f,

Or la raison de 4D à 4 /"est la mesme que la composée des raisons de GD à GF et de KF à Kf.

Et la rairon de 3D à 3/* est la rnesrae que la composée des raisons de CD à CF et de KF à Kf.

C'est à dire que la raison composée des deux raisons de 4D à 4/'et de 3D à 3F est la mesme que la composée de deux fois la raison de KF ci Kfet des deux raisons de GD h GF et de CD à CF, c'est à dire delà raison du rectangle DC.DG au rectangle FC.FG.

C'est à dire que la raison du rectangle dg,dc a son relatif le rectangle fg.fc à scavoir la raison coniposée des raisons de gd à gf et de cd à cf est la mesme que la composée de deux fois la raison de Krf à KD et de deux fois la raison de KF à lif et des deux raisons de GD à GF et de CD à CF, c'est à dire, et de la raison du rectangle DC.DG à son relatif le rectangle FC,FG.

Semblablement la raison du brin bd au brin bf est la mesme que la composée des raisons de Kd à KD et de 2D à 2/".

Et la raison du brin hd au brin A/ est la mesme que la composée des raisons de Kd à KD et de 5D à 5 f.

liO TRAITÉ DES CONIQURS.

C'est à dire que la raison du rectangle db.dh au rectangle fb.fh à scavoir la raison composée des raisons de bU à bf et de hd à hf est la mesme que la composée de deux fois la raison de Kd à KD et des deux raisons de 2D à 2/" et de 5D à 5/".

Or la raison de 2D à If est la mesme que la composée des raisons de BD ù BF et de KF à K/".

Et la raison de 5D à 5/" est la mesme que la composée des raisons de HD à HF et de KF à K/.

C'est à dire que la raison composée des deux raisons de 2D à 2/* et de 5D à 5/" est la mesme que la composée de deux fois la raison de KF à K/'et des deux raisons de BD à BF et de HD à HF, c'est à dire et de la raison du rectangle des brins DB. DH a son relatif le rectangle FB.FH.

C'est à dire que la raison du rectangle db.dh à son relatif le rectangle fb.fli à scavoir la raison composée des raisons de bd a 6/" et de hd à hf est la me«îme que la composée de deux fois la raison de Kûfà KD et de deux fois la raison de KF à K/'et des deux raisons de BD à BF et de HD à HF, c'est à dire et de la raison du rectangle DB.DIJ au rectangle FB.FH son relatif.

Or par l'hypothèse le rectangle DB.DH est à son relatif le rectangle FB,FH comme le rectangle

TRAITÉ DliS CONIQUES. 151

DC.DG est à son relatif le rectansfle FC.FG et alternement et le lesle.

C'est à dire que le rectangle dg.dc et à son relatif le rectangle fg fc et aussi le rectangle db.dh à son relatif le rectangle fb.fh, chacun en raison niesme que la composée de deux fois la raison de VlU à KD et de deux fois la raison de KF à K/"et de la raison du rectangle DB.DH à son relatif le rectangle FB.FH ou de son égale par l'iiypothese, la raison du rectangle DC.DG à son relatif le rectangle FC.FG.

Partant le rectangle dg.dc est à son relatif le rectangle /<7./i: comme le rectangle ^/6.<//* gémeau du rectangle dg.dc est à son relatif le rectangle fb.fh gémeau du rectangle fgjc et alternement. changeant, diuisant, composant et le reste.

Ainsi les trois couples de nœus db^ cg, bh sont eninuolntion.

Et quand cette quelconque autre droite cb est parallèle an quelconque des six rameaux d'uite ramée, l'accouplé de ce rameau parrallele donne eu celte droite la souche de cette inuolution pour nœu extrême couplé à la distance infinie.

Quand il n'y a point icy d'auis touchant la diuersité des cas d'une proposition, la démonslratiou

en conujent à tous les cas. sinon il en est icy fait mention pour auis.

Fig. 12. — En celte proposition au cas de quatre points en inuolution quand cette quelconque droite cb se trouve parallèle au quelconque de ces rameaux DK. le nœu comme f mipartit le brin cg^bli.

Car ayant fait que cette quelconque cb ou sa parallèle qui est la mesme chose passe au point CG.

D'autant que les droites DK et cg,bli sont parallèles entrelles, cg.bli est à DK comme BH, CG est à BH D, et DK est à f^ /"comme FD est à FCG, c'est à dire que cg, bh est hcg f en raison mesme que la composée des raisons de BH,CG à BH,D et de FD à F,CG qui a esté démontré estre la raison double.

Partant cg,bh est double de cg,f.

La conuerse en est euidemnient aussi uraye que quand l'un des rameaux FK mypartit le brin comm cg.bh cette droite cb est parallèle au rameau DK couplé du rameau FK; car puisque les quatre points que ces rameaux y donnent sont en inuolution et que le point f mipartit le brin cg,bh le quatrième point d que donne le rameau DK est à distance infinie.

Il y a une autre démonstration particulière de

TRAITI- D^S CONIQUES. 153

celte fonuerse, comme; soit mené la droite CNL parallèle à FK, il est est démontré que le rameau KD mipartit en N cette droite CNL et par l'hypothèse le rameau FK mipartit en /"la droite cg,bh ; et à cause du parallélisme d'entre les droites CL, FK le rameau FK mipartit eu K le costé Lhh du triangle Lc^, 6/*; donc le rameau DK mipartit encore en K le mesme costé du mesme triangle, et, partant ce rameau DK est parallèle au troisième colé cgM du mesme triangle.

Rameaux correspond ans entreux. — Au cas de quatre seuls points B.D,G,F en inuolution en une droite ou passent quatre rameaux déployez BK,DK, GK,FK d'une ordonnance entreux au butK, les deux rameaux comme DK,FK ou GK,BK qui passent à deux points correspondans entreuxD,Fou B, G sont nommez icy rameaux correspondans entreux.

Et quand en ce cas deux rameaux BK, GK correspondans entreux sont perpendiculaires entreux, ils mipartissent chacun un des angles d'entre les autres deux rameaux DK,FK aussi correspondans entreux.

Car ayant mené la droite D/" parallèle au quelconque des ramaux BK perpendiculaire à son cor-

154 TRilTÉ DES CONIQDES.

respondant GK, cette droite D/^est aussi perpendiculaire à ce rameau GK.

De plus à cause de ce parallélisme d'entre BK et D/"le rameau GK mi partii D/'au point 3.

Ainsi les deux triangles K3D, K3/'ont chacun un angle droit au point 3 et les cotez oK,3D et 3K,3/" qui comprennent ces angles égaux K3D.K3f égaux entreux.

Partant les deux triangles K3D, K3/sont égaux et semblables entreux, donc le rameau GK mipartit un des angles DKF d'entre les rameaux correspondans DK,FK et le rameau BK mipartit euidemment aussi l'autre des angles d'entre les mesmes rameaux correspondans DK,FK.

Et quand un quelconque de ces rameaux GK mi partit un des angles DKF d'entre deux autres de ces rameaux correspondans entreux DK,FK, ce quelconque rameau GK est perpendiculaire à son correspondant le rameau BK, lequel mipartit aussi l'autre des angles d'entre les mesmes rameaux correspondans DK,FK.

Car ayant mené la droite D/* perpendiculaire à ce quelconque rameau GK, les deux triangles K3D, K3/'ont chacun un angle droit au point 3 et encore chacun un angle égal au point K et de plus

TRAITÉ DES CONIQUIiS. 155

un costé commun K3, partant ils sont semblables et égaux, et le rameau GK mipartit D/*au' point 3.

Consequemmeut le rameau BK est parallèle à la droite Df et partant il est perpandiculaire à son correspondant le rameau GK.

Quand en un plan de quatre droites BK. DK, GK, FK d'une mesme ordonnance entrelles au but K, deux comme BK et GK sont perpendiculaires entrelles et mipartissent chacune un des angles que les autres deux FK, DK font entrelles, ces quatre droites là donnent euidemment en quelconque autre droite BDGF menée en leur plan quatre points B, D, G, F disposez entreux en inuolution.

Quand en un plan une droite FK mipartit en f un des costez GA d'un trioagle BG/«, et qu'au point K qu'elle donne au quelconque B/i des autres deux costez de ce triangle, passe une autre droite KD parallèle au costé mipartit G^; les quatre points B, D,G, F que cette construction donne au troisième costé BG du mesme triangle sont entreux en inuolution.

Et quand à l'angle B, soustenu du côté mipartit GA, passe une autre droite Bp parallèle au côté mipartit G^, les quatre points F,/*, K,;> que don-

^56 TRAITÉ Di;.S CUMgUES.

lient en celte droite FK les trois cotez BG, G/i, B/« de ce triangle BGh et la droite menée Bp sont entreux eninuolution.

Ce qui est pour la première partie euident en menant encore la droite comme KG, car en la droite mipartie Gfh, les trois points G,/", A et la distance intinie sont quatre points en inuolution où passent quatre rameaux d'une mesme ordonnance au but K et partant ils donnent en la droite BG quatre points B,D,G,F en inuolution.

Et pour la seconde partie en menant la droite B/*, semblablement en la droite G/i, les trois points a distance finie G/./i et la distance infinie sont en inuolution auxquels passent quatre rameaux d'une ordonnance au but B qui partant donnent en la droite FK quatre points F,/*,K,;; en inuolution. Alors que la droite FGB coupe en la droite hf une pièce, comme G/* égale à la pièce comme hfcosié d'un triangle comme hfK, cela s'appelle icy que cette FGH double ce côté hfde ce triangle hfK.

Quand en un plan une droite FGB double un des cotez hfcVmi triangle hfK et qu'au point B qu'elle donne au quelconque hK des autres deux costez du mesme triangle passe une droite Bp parallèle au costé double hf, cette construction donne au troi-

sieme costé Kf dé ce triangle hf K quatre points YJ,K,pen inuolution.

Comme il est évident ayant mené la droite BF.

Et quand à l'angle K soutenu du costé doublé hf passe une droife KD parallèle au costé doublé hf, cette construction donne en la droite doublante FB, quatre points F,G,D,B en iuNolution, comme il est euident, ayant mené la droite KG.

Cette matière foisonne eu semblables moyens pour conclure, qu'en une droite, (juatre points ou bien trois couples de nœus sont en inolutioii, mais cecy peut suirire pour en ouvrir la mmière avec ce qui suit.

Quand une droite, ayant un point immobile, se meut par le bord, autrement la circonférence d'un cercle :

Le point immobile de cette droite est ou bien au plan, ou bien hors du plan du cercle.

Quand le point immobile de cette droite est au plan de ce cercle, il y est à distance finie ou intinie.

Et en chacune de ces deux espèces de position de ce point immobile au plan de ce cercle, tou-> jours cette droite en mouuant, demeure au plan

io8 TRAITÉ DKS COMQDI'S.

de ce cercle, et aux diverses places (ju'elle y prend en se mouuaul, elle y donne une ordonnance de droites qui rencontrent le cercle et dont le but est à distance ou finie ou infinie.

Rouleau. Quand le point immobile de cette droite est hors du plan de ce cercle, il est à distance au finie ou infinie, et en chacune de ces deux espèces de position de ce point immobile hors du plan de ce cercle, et en réuolution elle enuirone, enferme ou décrit un massif autrement solide, icy nommé rouleau, comme d'un nom de surgenre qui contient deux sougenres.

Sommet du rouleau. — Le point immobile de celte droite est nommé sommet de ce rouleau.

Plate assi'tte ou base du roultau. — Le cercle par le bord duquel cette droite se meut est icy nommé base ou assiette plate de ce rouleau.

Enveloppe ou sur face du rouleau — L'espace que cette droite parcourt en se mouuant est icy nommé enuelope, autrement surface de ce rouleau.

Colomne ou cylindre. — ^ Quand lepoinct immobile de cette droite est à distance infinie hors du plan du cercle au bord duquel elle se meut, le rouleau qu'elle décrit est d'une grosseur égale en tous les endroits de sa longeur à quelconque distance

TRAITÉ DtS r.OlNIQlKS. 159

finie, et est icy nommé colomne, autrement cylindre dont il est évident qu'il y a des espèces.

Cornet ou cône. —Quand le point immobile de cette droite est à distance finie hors du plan du cercle au bord duquel elle se meut, le rouleau qu'elle décrit en sa réuolution est restreint à son point immobile, auquel il n'y a de grosseur qu'un seul point de part et d'autre duquel il ua s'élargissautà l'infiny. par deux cornets opposez entreux ri ce point immobile, et est icy pour cela nommé cornet ou cône dont il est évident qu'il y a des espèces.

Ainsi la colomne ou cylindre et le cornet ou cône sont deux sougenresd'un surgenre icy nommé rouleau, dont il est icy traité principalement en général, et ou l'on conceura qu'une seule partie de ce cornet ou cône contenue de l'un des cotez de so-B sommet et qui passe ailleurs pour un cône entier, n'est considéré ni ne passe icy que pour une moitié de cornet ou de cône el non pour un cône entier.

Et partant à ce mot de cornet ou cône on conceura les deux parties ensemble et à la fois, de cône opposées entrelles à leur sommet, le cône autrement n'étant pas entier.

160 TRAITJ; DES CONIQUIS.

Plan de coupe du rouleau. — Quand un plan autre que celui du cercle assiette ou base du rouleau, rencontre ce rouleau, pour cela ce plan est ic) nommé plan de coupe du rouleau.

Vn tel plan de coupe rencontre un semblable rouleau ou bien au sommet, ou bien hors du sommet, et en chaque endroit c'est en l'une de ces deux laçons, ou que la droite qui décrit le rouleau ne se trouue en se mouuant iamais parallèle à ce plan de coupe ou (juelle s'y trouue quelque fois parallèle.

Quand un semblable plan de coupe rencontre un i'ouleau à son sommet, en façon que la droite qui décrit ce rouleau ne se trouue en se mouuant iamais parallèle à ce plan de coupe.

Si le sommet du rouleau se trouve à distance infinie, l'euenemeut en est inimaginable, et l'entendement est incapable de comprendre comment les éuenements que le raisonement luy en fait conclure peu u eut estre.

Si le souïmet de ce rouleau se trouue à distance finie, il est éuidentque cette droite ne donne qu'un seul point en ce plan de coupe.

En chacune de ces deux espèces de position du sommet de ce rouleau la droKe qui le décrit se

trouue, en se mouuant, ou bien une seule fois ou bien deux diuerses fois en ce plan de coupe ; — quand elle ne s'y trouue qu'une seule fois elle donne une ligne droite en ce plan de coupe qui lors est ioint au rouleau de son long ou comme ou dit autrement, touche le rouleau en une droite.

Quand elle s'y trouue deux diuerses fois, elle donne deux lignes droites en ce plan de coupe, qui fend alors ce rouleau de sou long par le sommet.

Quand un semblable plan de coupe rencontre un rouleau ailleurs qu'en son sommet, en façon que la droite qui décrit ce rouleau ne se trouve en se mouuant iamais parallèle à ce plan de coupe :

Si cette rencontre est à distance infinie l'euenement en est inimaginable et l'entendement trop faible pour comprendre comment peut estre ce que le raisonnement luy en fait conclure.

Si cette rencontre est à distance finie, la droite qui décrit ce rouleau trace en ce plan de coupe en se mouuant une ligne courbe, laquelle à dislance finie rentre et repasse en soi-raesme et dont il y a des espèces.

Quand un semblable plan Je coupe rencontre un rouleau ailleurs qu'en son sommet, en façon que

la droite qui décrit eu ruiileau se trome quelquefois parallèle à ce plan de coupe, l'euenement de cette espèce est du tout inimaginable pour le regard de l'espèce de rouleau nommée cylindre, et encore pour l'espèce nommée cône quand la rencontre est à distance infinie.

Et quand un semblable plan de coupe rencontre un cône ailleurs qu'au sommet en façon que la droite qui décrit ce cône s ' trouve quelquefois parallèle à ce plan de coupe, elle s'y trouve ou une seule fois, ou bien deux diuerses fois parallèles.

Quand elle s'y trouve une seule fois parallèle, elle y trace une ligne courbe laquelle à distance infinie rentre et repasse en soy mesme et dont il n'y a qu'une espèce.

Quand elle s'y trouve deux diuerses fois parallèles, elle y trace une ligne courbe laquelle à distance infinie se mipartit en deux égales et semblables moitiez, opposées entr'elles dos à dos, desquelles une seule n'est considérée el ne passe icy que pour une moitié de l'euenement de cette position de plan de coupe au regard du rouleau qu'il rencontre et dont il y a des espèces.

Voilà comme la rencontre d'un tel plan de coupe et d'un rouleau sans considérer son assiette

TR\TTÉ DES CONIQUES. ^iÔS

se fait ou bien en un seul point, ou bien en une seule droite, ou bien en deux droites en un mesme plan, ou bien en une ligne courbe

Coupe de rouleau. — Et laissant à part les espèces des rencontres qui se font en un point et en une seule droite, peur discourir seulement des autres espèces, l'espace que ce plan en ces autres espèces de rencontre occupe du massif du rouleau est icy nommé coupe de rouleau.

Bcrd de la coupe de rouleau. — Les lignes droites ou courbes, que la droite qui décrit le rouleau trace en se mouuant au plan de coupe sont icy nommées bord de la coupe de rouleau.

Quand le bord d'une coupe de rouleau se trouve estre deux droites, le but de leur ordonnance est à distance ou finie ou infinie.

Cercle, ellipse ou ovale, — Quand le bord d'une coupe de rouleau se trouve estre une ligne courbe la quelle à distance finie rentre et repasse en soymesme, la figure est nommée ou cercle ou ovale, autrement ellipse, en français défaillement.

Parabole. — Quand le bord d'une coupe de rouleau se trouve estre une ligne courbe laquelle à distance infinie rentre et repasse ensoy mesme, la

figure en est nommée parabole, en français cgalation.

Hyperbole. — (Juaud le bord d'une coupe de rouleau se trouve eslre une ligne courbe laquelle à distance infinie se mipartit en deux moitiez opposées dos à dos, la figure en est nommée hyberbole, en français outrepassement ou excedement.

Quand en un plan une droite rencontre une quelconque figure, cette rencontre est considérée seulement à l'égard du bord de cette figure et la rencontre en un plan d'une droite avec le bord d'une figure se fait en deux points, qui parfois sont unis en un seul, auquel cas elle touche cette figure. (Fig. 13.)

Tranuersale aux droites d'une ordonnance. — Ordonnées d'une tranuersale. — Quand en un plan une figure NB, NC est rencontrée de plusieurs droites FCB, FIK, FXY, d'une mesme ordonnance entre elles et qu'une mesme droite NGHO donne en chacune de ces droites d'une mesme ordonnance entre elles, un point G, H, 0, couplé au but F de leur ordonnance, en inuolution avec les deux points comme X,Y, — I,K, — C,B qu'y donne le bord de la figure NB, ISG, une telle droite NGH est pour cela nommée icy tranuersale des droites de l'ordonnance au but F, à J 'égard de

TRAlTl': Dr? CONIQUES. 105

cette ligure NB,NC et les droites de cette ordonnance au but F, sont pour cela nommées ordonnées de la tranuersale NGH à l'égard de la mesme

figure NB, NC.

Point tranuersal. — Le point qu'une tranuersale donne à son ordonnée y est nommé tra-

uersal.

Ordinalle. Une quelconque droite du corps des ordonnées d'une tranuersale et qui ne rencontre point, ou qui seulement touche la figure est à l'égard de cette tranuersale icy nommée ordinalle, à distinction de ses ordonnées qui trauersent la

figure.

Diamétrale. Diametrauersale . — Toute droite qui mipartit une figure y est nommée diamétrale de cette figure, et diametrauersale eu encore égard à ses ordonnées.

En chacune de ces ordonnées sont ensemble considérées les deux pièces ou segmens OC, OBqui sont contenus entre la trauersale et chacune des rencontres de cette droite auec le bord de la figure, et les deux pièces ou segmens FC, FB qui sont contenues entre le but F de leur ordonnance et chacune des rencontres de la mesme droite avec le bord de la figure.

166 TRAITÉ DES COMQUrS.

De façon que quand en plan les droites FB,FK, FY d'une ordonnance au but F rencontrent une figure NB,NC, il y a quatre espèces de plus grande et de plus petite à considérer, aux droites de la mesme ordonnance au but F.

La plus grande et la plus petite d'elle qui est contenues entre leur but commun F et leur rencontre auec le bord de la figure de l'espèce de la rencontre B.

La plus grande et la plus petite d'elle contenues entre leur but commun F, et leur rencontre auec le bord de la figure de l'espèce de la rencontre C.

Et celle d'elles dont la pièce ou segment comme CE qui est contenu dans la figure est la plus grande ou la plus petite.

Ou bien celle d'elles dont la somme ou la différence des deux pièces, comme FG,FB et comme OB.OC contenues entre leur but commun F et leur trauersale ON et chacune de ces rencontres auec le bord de la figure, est laplus grande ou la plus petite.

Partant à ces mots de trauersale, ordonnées, on conceura que les droites dont il est entendu parler, sont ainsi nommées à l'égard d'une coupe de rouleau, qui est au mesme plan que ces droites.

Quand en un plan, aucun des points d'une droite

TRAITE DES CONIQUKS. 167

ny est à distance linie, cette droite y est à distance infinie.

Dautant qu'en un plan le point nommé centre d'une coupe de rouleau, n'est qu'un cas d'entre les innombrables buts d'ordonnance^ de droites, il ne doit estre jamais icy parlé de centre de coupe de rouleau.

Dautant que toute droite qui passe au sommet d'un rouleau et au quelconque but d'ordonnance de droites au plan de sa base, a une propriété commune auec celle qui passe au but des diamétrales de la base de re rouleau, iamais il ne doit estre icy parlé d'essieu de rouleau.

Les droites parallèles entrelles sont chacune cotées d'une mesme lettre d'une et d'autre part, qui représente le but de leur ordonnance à distance infinie.

Un semblable éuénement de trauersale et d'ordonnées est fréquent aux plates coupes du rouleau quelconque.

Et le bord de la figure auec le but des ordonnées et leur trauersale donnent en chacune des ordonnées, toujours quatre points en inuolution, dont les deux qu'y donne le bord de la figure sont les correspondans entreux, et celui du but del'ordon-

Dance avec celui qu'y donne la trauersale sont aussi correspondans entreux.

Ou bien en chacune des ordonnées, le but de leur ordonnance est couplé au point qu'y donne leur tranuersale, en involution avec les deux points qu'y donne le bord de la figure et au rebours.

Ou bien en chacune des ordonnées, les deux points qu'y donne le bord de la figure sont couplez en inuolution, auecces deux autres points le but de leur ordonnance et celui qu'y donne leur traversale.

Or comme en une inuolution de quatre points quelquefois les deux de la couple des extrêmes sont éloignez l'un de l'autre, en façon que l'un est uni à la souche et l'autre est à distance infinie.

Par contre aussi les mesmes deux nœus ou points de la couple d'extrêmes sont quelquefois approchez iusque à estre réunis ensemble à un mesme des autres deux nœus moyens et correspondans entreux, auquel cas les quatre points de l'inuolution se trouvent réduits à deux seuls points, à l'un desquels on en conceura trois mots eu un.

Il y a beaucoup à dire au sujet des quatre points en inuolution d'une ordonnance de droites avec leur trauersale, et le bord de la figure : mais en ce brouillon il suffira de dire quelque chose des es-

TRAITÉ DFS COJÎIQCES. 169

peces d'euenemens plus généraux qui peuvent en faire voir plus aisément le particulier.

Au plan d'une coupe de rouleau quelconque, le but d'une ordonnance de droites, autrement d'un corps d'ordonnées, est ou bien au bord, ou bien hors du bord de la figure, et en chacune de ces deux positions il est ou bien à distance finie ou bien à distance infinie.

Au plan d'une coupe de rouleau quelconque, la trauersale d'une ordonnance de droites, autrement d'un corps d'ordonnées, ou bien rencontre, ou bien ne rencoutre pas le bord de la figure, et en chacune de ces deux positions elle est ou bien à distance finie ou bien à distance infinie.

Quand le but d'un corps d'ordonnées est au bord de la figure, à distance finie ou infinie, la trauersale de l'ordonnance est du corps mesme des ordonnées et passe au but de l'ordonnance auquel elle touche à la figure.

Quand le but des ordonnées est hors du bord de la figure à distance finie ou infinie et que toutes les ordonnées rencontrent le bord de la figure, la trauersale ne le rencontre pas ; et si toutes les ordonnées ne rencontrent pas le bord de la figure, la trauersale le rencontre.

170 TRAITÉ Di:S CONIQDES.

Davantage les deux pièces de chacune des ordonnées contenues entre leur but et chacun des deux points qu'y donne le bord de la figure sont ou bien égales ou bien inégales enlrelles,

Quand elles sont égales entrelles, aussi les deux pièces de chacune des ordonnées contenues entre leur trauersale et chacun des deux points qu'y donne le bord de la figure sont égales entrelles et au contraire.

Et par contre, quand la trauersale d'un corps d'ordonnées à distance ou finie ou infinie ne rencontre pas le bord de la figure, toutes les ordonnées se rencontrent.

Quand la trauersale d'un corps d'ordonnées à distance, ou finie ou infinie, rencontre le bord de la figure, elle le rencontre ou bien en un, ou bien en deux points/

Quand elle le rencontre en un point, ce mesrae point est le but de ses ordonnées.

Quand elle le rencontre en deux points, toutes ses ordonnées ne le rencontrent pas.

Dauantage les deux pièces de chacune des ordonnées contenues entre leur trauersale, et chacune de leurs deux rencontres auec le bord de la

figure sont ou bien égales ou bien inégaies en-

trelles.

Quand elles sont égales entrelles, aussi les deux pièces de chacune des mesmes ordonnées contenues entre le but de leur ordonnance, et chacun des deux points qu'y donne le bord de la figure sont égales entrelles et au contraire.

Fig. 14. — Quand en un plan, à quatre points B,C.D,E comme bornes couplées trois fois entrelles, passent trois couples de droites bornales BCN, EDiN, BEF, DGF, BDR, EGR chacune de ces trois couples de droites bornales et le bord courbe d'une quelconque coupe de rouleau qui passe à ces quatre points B,G.D,E donne en quelconque autre droite de leur plan ainsi qu'en un tronc I.G.K, une des couples de nœus d'une inuolution I,K — P,Q — G, Il et L,M, et si les deux bornales droites d'une des couples BCN, EDN sont parallèles entr'elles, les rectangles de leurs couples relatiues de brins déployez au tronc, sont entreux comme leurs gémeaux les rectangles dos brins pliez au tronc et dç mesme ordre sont entreux.

Car le rectangle de la couple quelconque de brins pliez au tronc QI, QK est à son relatif le rec--

tangle PI, PK en raison mesme que la composée des raisons de IQ à IP et de KQ à KP.

Or IQ est à IP en raison mesme que la composée des raisons de CQ à CF et de BF à BP.

Et KQ est à KP en raison mesme que la composée des raisons de DQ à DF et de EF à EP.

Donc le rectangle QI.QK est à son relatif le rectangle PI.PK en raison mesme que la composée des quatre raisons de CQ à CF et de BF à BP, et de DQ à DF et de EF à EP.

Semblablement le rectangle QG.QH est au rectangle PG.PH en raison mesme que la composée des raisons de GQ à GP et de HQ à HP.

Or GQ est à GP en raison mesme que la composée des raisons de DQ à DF et de BF à BP.

Et HQ est à HP en raison mesme que la composée des raisons de CQ à CF et de EF à EP.

Donc le rectangle QG.QH est au rectangle PG.PH en raison mesme que la composée des quatre raisons de DQ à DF et de BF à BP, et de CQ à CF et de EF à EP qui sont les quatre mesmes raisons dont est composée la raison du rectangle QI.QK au rectangle PI.PK.

Partant, le rectangle des brins QI.QK est à son relatif le rectangle PI.PK, comme le rectangle

QG.QH, gémeau du rectangle QI.QK, est à son relatif le rectangle PI.PH gémeau du rectangle PI.PK.

Et partant les trois couples de nœus I,K— P,Q— G, H sont en involution entr'elles.

Ou l'on uoid que c'est une raesme propriété de trois couples de rameaux déployez- au tronc d'un arbre, quand ils sont tous d'une mesme ordonnance entreux, et quand ils sont disposez comme icy aux quatre points B. C, D, E, de façon que le but de l'ordonnance de trois couples de rameaux est comme si ces quatres points B, C, D, E s unissoient à un seul point.

Que si les deux bornâtes d'une couple BCN, EDN sont parallèles entrelles, le rectangle des brins déployez IC.IB est à son relatif le rectangle KD.KE, comme le rectangle de la couple des quelconques brins pliez au tronc IQ.IP, gémeau du rectangle IB.IC, est à son relatif le rectangle des brins pliez au tronc KQ.KP gémeau du rectangle KD.KE, ce qm est euident du parallélisme de ces rameaux ou bornâtes entrelles BC, DE.

Ce qui montre que quand en un plan, il y a cinq quelconques droites BE, DC, PK, BC, DE dont les deux quelconques BC, DE sont parallèles entrelles,

174 TRAITÉ DES COMQUES.

estant la quelconque des autres trois KP considérée comme tronc, et chacune des autres comme rameaux déployez à ce tronc dont les deux parallèles BC, DE soient une couple et les deux autres BE, DC soient une autre couple, les rectangles des couples de brins IC.IB et KD.KE des deux rameaux d'une couple, sont éuidemment entreux comme leurs gémeaux pris d un mesme ordre, les rectangles de IQ.IP et KQ.KP des brins de l'autre de ces couples de rameaux sont entreux.

C'est-à-dire qu'aussi le rectangle CI.CB est éuidemment au rectangle DK.DE comme le rectangle CQ.CF est au rectangle DO.DF.

Et qu'aussi le rectangle Bl.BC est éuidemment au rectangle EK.ED, comme le rectangle BF.BP est au rectangle EF.LP.

Quand le bord courbe d'une quelconque coupe de rouleau passe à ces quatre points B, C, D, E, ceux qui voudront chercher une démonstration en mesmes paroles pour toutes les espèces de coupes le peuuent faire ; cependant eu voicy la démonstration en deux reprises, premièrement quand c'est le bord d'un cercle qui y passe, et ensuite de quelconque de ces autres espèces de coupe de rouleau. Quand donc ces quatre bornes B, C, D, E, sont

TRAITÉ Dl.S CONIQUES. 175

au bord d'un cercle qui reocoiitre en LM cette septième quelconque droite GPH.

En ce cas, prenanl le rectangle comme FC.FD pour mitoyen entre les rectangles QC.QD et PB. PE, c'est-à-dire entre leurs égaux les rectangles QL.QM et PL.PM, il est évident que le rectangle QL.QM ou son égal le rectangle QC.QD est au rectangle PL.PM ou à son égal le rectangle PB.PE en raison mesme que la composée des raisons du rectangle QC QD au rectangle FC.FD, ou son égal le rectangle FB.FE et du rectangle FC.FD ou son égal le rectangle FB.FE au rectangle PB.PE.

Or, le rectangle QC.QD

égal au rectangle QL.QM

est au rectangle FC.FD, ^^^^ ,

'' )CQàCFetdeDQàDF.

égal au rectangle FB.FE

en raison mesme que la

composée des raisons de

Et le rectangle FB.FE

égal au rectangle FC.FD

est au rectangle PB.PE, ^^, ^^^ , .^^, ^r> ° ^BFàBPetdeEFàEP.

égal au rectangle PL.PM

en raison mesme que la

composée des raisons de

Donc le rectangle QL.QM , égal au re(îtangle

176 TRAlTli DliS CONIQLES.

QG.QD, est au rectangle PL.PM égal au rectangle PB.PE, en raison mesme que la composée des quatres raisons de CQ à CF et de DQ à DF, de BF à BP et de EF à EP, qui sont les quatre mesmes raisons dont est composée chacune des raisons et du rectangle QI.QK au rectangle PI.PK, et du rectangle OG.OH au rectangle PG.PH.

Et quand les quatre bornes B, C, D, E sont au bord courbe d'une quelconque autre espèce de coupe de rouleau , sans faire icy tant de figures pour un simple brouillon de projet , si Ton seueut donner le divertissement d'en faire ailleurs, on uerra que le rouleau duquel cette figure est coupé, estant establi sur elle et ensuite sur son assiette ou base le quelconque cercle BCDE.

Les quatre droites, menées par le sommet de ce rouleau et par les quatre bornes qui sont au bord de cette quelconque coupe, filent par la surface du rouleau et donnent au bord du cercle sa base, aussi quatre bornes B. C, D, E.

Et que les plans du sommet de ce rouleau et de chacune des droites bornales des trois couples, menées par les quatres bornes de cette quelconque coupe, donnent au piuii du cercle, base de ce rou-

TRAITÉ DFS CONIQUES. 177

leau, par ces bornes B, C, D, E, trois couples aussi de bornalles BC, ED, BE, CD, BD, CE.

Et que le plan du sommet de ce rouleau et de cette septième quelconque droite, menée au plan de cette coupe, donne au plan du cercle, base de ce rouleau, de mesme une septième quelconque droite KGH, qui rencontre en deux points L,M le bord du cercle BCDE, base ou assiette de ce rouleau, et la({uelle droite KGH rencontre aussi aux points comme P,Q; G, H ; I,K chacune des bornâtes des trois couples du plan de ce mesme cercle.

Et que les droites, menées du sommet de ce rouleau par les points L,M, bord de ce cercle sa base, passent en la septième quelconque droite du plan de cette coupe quelconque, aux mesmes points qu'y donne le bord de cette coupe quelconque

Et que les droites, menées du sommet du rouleau par les points de chacune des couples de nœus Q,P ; Q,H ; I,K de la septième droite GH du plan du cercle base de ce rouleau, passant aux points que donnent, en la septième droite du plan de cette coupe, les trois couples de bornales ainsi menées en ce mesme plan.

Or. il est démontré que ces couples de nœus

178 TRAITÉ Dis CONIQUES.

L,M; Q,P; G, H; I,K, du plan du cercle sont en inuolution entreux.

Et la ramée de celte arbre, eu trois ou quatre couples de rameaux, sont d'une mesme ordonnance, dont le but est le sommet de ce rouleau, donne en cette septième droite du plan de cette coupe autant de couples de nœus aussi d'une inuolution. Et partant :

Cette démonstration bien entendue s'applique en nombre d'occasions, et fait voir la semblable génération de chacune des droites et de points remarquables en chaque espèce de coupe de rouleau, et rarement ifne quelconque droite au plan d'une quelconque coupe de rouleau, peut avoir une propriété considérable à l'égard de cette coupe, qu'au plan d'une autre coupe de ce rouleau la position et les propriétez d'une droite, correspondante à celle-là, ne soit aussi donnée par une semblable construction de ramée d'une ordonnance dont le but soit au sommet du rouleau.

Mais avant que passer outre aux propositions générales des quelconques coupes du rouleau, possibles, il ne sera pas mal à propos de donner encore une des propositions particulières du plan du cercle.

Fig. 1 5. — Quand en la diamétrale A7 d'un cercle LMEC, deux quelconques points A, I sont couplez entreux en inuolution avec les deux points E,G qu'y donne le bord du cercle; que deux droites LIS,LAM ordonnées à quelconque point L au bord du cercle, passent à ces deux points A et I.

Qu'à chacun des points E, C et au centre du cercle 7 passe une couple de droites CP, CN-ER, E0-7B, 7D coniuguées, et par la nature du cercle icy perpendiculaires aux deux droites LA, LI auxquelles elles donnent les points P,N-R,0 et B,D.

Ordonnées à un mesme but. — Droites ordonnées à un mesme tel but, c'est-à-dire qui passent ou tendent ensemble à ce tel but.

Coniugales. — Deux droites chacune parallèles à un de deux diamètres, d'une coupe de rouleau, conjuguez entreux, sont icy nommées coniugales. La pièce quelconque de ces deux droites LA, LI, contenues entre-^les deux points qu'y donnent ses coniugales uenant des points E et G, est égale à la pièce de l'autre des mesmes droites LA, LI qui est contenue entre les points qu'y donnent le bord du cercle.

C'est-à-dire que la pièce NO de la droite LI est égale à la pièce LM de la droite LA, et que la pièc

180 TRAITÉ DES CONIQDES.

PR de la droite LA est égale à la pièce LS de la droite L.

Et d'auantage le rectangle de chacune des couples de ces coniuguées, uenant des points E et C, sur chacune de ces droites LA, LI est égal au rectangle des deux pièces de celles des deux LA, LI, à laquelle elles sont coniuguées, contenues entre l'un des points qu'y donne le bord du cercle et chacun des points qu'y donnent ces deux coniuguées.

C'est-à-dire que le rectangle PC. RE est égal au rectangle LP.LR, et que le rectangle NC.OE est égal au rectangle LN.LO.

Car comme 7B miparlit EC en 7, de mesme à cause du parallélisme d'entre 7B, CP, ER elle mipartit RP eu B, mais de la nature du cercle, elle miparlit aussi LM en B, partant les deux pièces LP, MR sont égales entrelles.

Semblableraent et par mesmes raisons, comme 7D mipartit EC en 7, de mesme elle mipartit PsO en D, mais elle mipartit aussi LS en D, partant les deux pièces NL, OS sont égales entrelles.

Dauantage ayant mené la droite LE qui donne H en PC et la droite LC, les deux EL et CL sont perpendiculaires entrelles ueu le demi-cercle ECL,

Et puisque les quatre points C, I, E, A sont en

TB41TÉ DIS COMQUiS. 181

inuolution, ces perpendiculaires CL, EL mypartissent chacune un des angles que les deux droites LA, LI font entrelles.

Ainsi les triangles rectangles CLP, CLN sont semblables et à cause de leur côté commun CL ils sont égaux entreux.

Et semblablement les triangles rectangles LEH. LEO sont semblables, et à cause de leur côté commun EL ils sont égaux entreux.

Ainsi les droites LR, LO sont égales entrelles. et les droites LP, LN égales entrelles.

Mais les droites LN, SO sont égales entrelies, donc les droites LP, SO, MR sont égales entrelles, conséquemment les droites NO, LM sont égales entrelles, et les droites PR, LS égales entrelles.

Et menant la droite MI iusque au bord du cercle X, il est éuident que les deux pièces IL, IX sont égales entrelles, et les deux pièces LM, IS égales entrelles.

Car ayant mené les deux droites ME, MC ueu le demi-cercle elles sont perpendiculaires entrelles, partant elles mipartissent chacune un des angles que les deux droites MAL, MIX font entrelles.

Ainsi les deux pièces IL, IM sont égales aux deux pièces iX, ISou autrement LS, différence ou

182 TRAITÉ DPS CONIQUES.

somme des deux pièces IL, IM est égale à RP, c'està-dire que RP est égale à la somme ou à la différence des deux IL, IM.

Maintenant, puisque EL est perpendiculaire à LC, le triangle CLH est rectangle, et a son angle droit au point L où passe la droite AP perpendiculaire à son côté CH, base de l'angle droit CLH, ainsi le triangle rectangle LPH est semblable à chacun des triangles aussi rectangles CLH, CPL.

Et à cause du parallélisme d'entre les droites CPH, ERQ, le mesme triangle LPH est encore semblable à chacun des deux triangles aussi rectangles LRE et LOE.

Partant, les triangles rectangles CPL, LRE, CLN et LOE sont semblables entreux, conséquemment PC est à RL comme PL est à RE, et le rectangle des deux extrêmes PC. RE, qui sont les deux conjuguées perpendiculaires venant des points G et E sur la droite LA, est égal au rectangle des moyennes LR.LP qui sont les deux pièces de la mesme droite LA , contenues entre l'un des points L qu'y donne les bords du cercle, et chacun des points R et P qu'y donnent ces deux conjuguées perpendiculaires ER, CP; et en menant les droites MC.ME par mesme raisonnement, on démontrera que les

TRAITÉ DIS CONÎQtES. 183

triangles ERM.MPG sont semblables, et alon'geant les droites CM.ER on démontrera semblablement PC. RE et MP.MR sont égaux entreux.

Dauanlage les triangles CLN,LOE estant semblables entreux, NO est h LO comme LN est à OE, et le rectangle des extrêmes les conjuguées perpendiculaires NC.OE est égal au rectangle des moyennes LO.LN, qui sont les deux pièces de LI, contenues entre un des points L qu'y donne le bord du cercle, et chacun des points N et 0 qu'y donnent ses deux conjuguées perpendiculaires CN,EO.

Et demeurant la mesme construction, quand au quelconque I des deux points A et 1, passe une droite IZ conjuguée, perpendiculaire à celle AL, des deux droites LA, LI, qui passe à l'autre A des mesmes deux points A et I, en laquelle et en quelconque point P, des points tels que Pet R, passe une droito PQ, laquelle donne les points K en la droite IZ et Q en la conjuguée ER qui passe à l'autre point R, en façon que le rectangle des pièces comme ZK.ZR, soit égal au rectangle de deux fois la pièce comme ZI, c'est-à-dire au rectangle ZI.ZI.

Lors comme RP est à la pièce de ER telle que RQ, ainsi le rectangle tel que BR.BP est à chacun des rectangles égaux PC. RE et ZI.B7 ou MP.MR.

184 TR\1TÉ DtS CONIQUFS.

Car en prenant ZR pour hauteur commune à chacun des rectangles ZK.ZR et ZP.ZR, le rectangle ZP.ZRest au rectangle ZK.ZR, c'est-à-dire à son égal le rectangle ZI.ZI, comme la base ZP est à la base ZK, c'est-à-dire à cause du parallélisme d'entre ZK,RQ, comme RP est à RQ.

Dauantage à cause du parallélisme d'entre les droites CP, 7B, IZ, ER et que les points A, E, I, C sont en involution et que 7 en mipartit le brin EC, suit que 71, 7E, 7A sont proportionnelles ; et lA, JE; IC, 17 deux à deux sont proportionnelles et AC, A7 ; AI, AE deux à deux sont proportionnelles et CP, 7B ; IZ, ER deux à deux proportionnelles en mesme raison que les quatre AC, Â7, Al, AE entrelles, et que les quatre AP, AB ; AZ.ÂR entrelles.

De là suit que le rectangle AZ. AZ est au rectangle AR. AP ou à son égal le rectangle AZ. AB, comme la branche AZ à sou accouplée la branche AB, c'est-à-dire comme le rectangle des brins ZR. ZP est à son relatif le rectangle BR. BP, ainsi le rectangle ZI.ZI est à chacun des rectangles égaux ZI. B7 ; RE. PC et LP. LR ou MP. MR.

Et en changeant, comme le rectangle ZR. ZP est au rectangle ZI. ZI c'est-à-dire comme RP est à RQ,

ainsi le rectangle BH. Bl^ esta chacun des rectangles égaux PC. RE, ZI. B7 et LP. LR ou MP. MR.

Mais comme RP est à RQ ainsi aussi le rectangle RP. RP est au rectangle RP. RQ, donc le rectangle BP. BR est à chacun des rectangles égaux ER. CP ; ZÎ.B7; et LP. LR; MP. MR comme le rectangle RP. RP, au rectangle RP. RQ, et en changeant le rectangle BP. BR est au rectangle RP. RP comme chacun des rectangles égaux ER.CP-ZI.B7-LP. LR-MP. MR, au rectangle RP. RQ.

Or est-il. qu'à cause que PR est mipartie en B, le rectangle BR. BP est la <iuatrieme partie du rectangle RP. RP; donc aussi chacun des rectangles égaux ER.CP; ZL B7 ; LP.LR; MP. MR est la quatrième partie du rectangle RP. RQ.

A quoy si l'on ajoute que la droite EL mipartit l'angle MLS, et la droite CM mipartit l'angle XML; les pièces du bord du cercle ES, EM sont égales entrelles et les pièces CX, CL égales entrelles ; d'où suit que la droite EIC mipartit l'un des angles que les droites IL, IM font entrelles, et que la droite IGX perpendiculaire n EIC mipartit l'autre des angles que les mesmes droites IL, IM font encore entrelles.

On uerra bientôt en gros quelles espèces de con-

séquences et de conuers urayes s'en en suivent pour le sujet de ce brouillon, et qui l'enflerait trop pour les déduire au long.

Fig. 13. — Quand en un plan, à quatre points B, C, D, E commes bornes, en quelconque plate coupe de rouleau, passent trois couples de droites bornales BCF, EDF, BEIS, CDN, BDG, CEG et qu'aux deux buts G et N des deux ordonnances de deux quelconques couples bornales passe une autre droite GN à légard de la coupe de rouleau au bord de laquelle sont les quatre bornales B, C,D, E, cette droite GJN est trauersale des droites de l'ordonnance de la troisième de ces couples de bornales au but F, c'est-à-dire que F, X, G, Y, sont en inuolution.

Car comme il a esté dit, en concevant que chacune des deux lettres X et Y est doublée :

DXàDNetdeBNàBY.

GX est à GY en raison ^ mesme que la composée des raisons de : \

et GX est à GY en rai^ son mesme que la com- | CX à Crs et de EN à EY. posée des raisons de :

TRAITÉ DES COMQUïïS. 187

et FX est à FY en rai- | son mesme que la com- I DX à DN et de EN à EY, posée des raisons de : \

et FX est à FY en raison mesme que la com- CXàCN et de BN à BY. posée des raisons de :

D'où suit que GX est à GY comme FX est à FY, c'est-à-dire que les quatre points F, X, G, Y sont entreux en inuolution.

Et en conceuant la droite FN menée, les quatre droites NF, NX, NG, NY sont entrelles d'une mesme ordonnance au lîut N et passent aux quatre points en inuolution E, X, G, Y, partant elles donnent en chacune des quelconques droites menées en leur plan FCOB, FIHK quatre points en inuolution F, C, 0,B; F, I, H, K.

Et dautant que les quatre droites GF, GC, GO, GB sont entrelles d'une mesme ordonnance au but G et qu'elles passent aux quatre points en inuolution F, C. 0, B de la droite FB, suit qu'elle donne en quelconque droite FH menée en leur plan quatre points en inuolution F, Q, H, P.

Et quand ces quatre bornes B, C, D, E sont au bord courbe d'une quf4conque coupe de rouleau CLDEMB.

188 TRAJTl'; Dl s COMO^r^.

La mesme droite GN est à l'égard de cette coupe de rouleau trauersale aussi des droites ordonnées au but F, et les quatre points F, \j, H, M que donnent en la quelconque droite de cette ordonnance, le but de l'ordonnance F, la trauersale GN et le bord de la figure LM sont en inuolution entreux; car suiuant la mesme construction, il est démontré qu'en celte droite FH, les trois couples de points LM. IK. QP sont trois couples de nœus en inuolution.

11 est aussi démontré que les deux points F et H sont couplés en inuolution et avec les deux points I, K et auec les deux points Q, P.

Finalement il est aussi démontré qu'en suite les mesmes deux points F, H sont aussi couplez en inuolution auec les deux points L, M.

Que si l'on ueut, puisque chacune dci deux couples de points 1,K-P,Q est en involution avec les deux points F et H suit que chacune d'elles est une couple de nœus extrêmes d'un arbre dont F et H sont les deux nœus moyens doubles.

Et il est démontré que les trois couples de nœus I, K-P, Q et L, M sont en inuolution.

Partant les deux points L, M sont encore une coq-

pie de nœus extrêmes du mesme arbre dont F et H sont les deux nœus moyens doubles.

Consequemment les mesmes deux points L et M sont couplez entreux en inuolution avec les deux points F et H.

Le mesme se peut encore déduire et conclure en une autre façon.

D'où suit qu'à l'égard de cette coupe de rouleau CLDEM en laquelle sont ces quatre bornes B, C, D, E la droite GF est Irauersale des droites ordonnées au but N. et que la droite FN est trauersale des droites ordonnées au but G.

Et que quand au plan d'une quelconque coupe de rouleau, le but est à distance infinie d'une ordonnance de droites qui rencontrent cette coupe, les pièces de chacune des ordonnées contenues entre leur trauersale , et chacun des points que leur donne le bord de la figure sont égales entrelles, et de mesme de leurs pièces contenues entre le but de l'ordonnance et chacun des points que leur donne le bord de la figure.

D'où suit qu'au plan d'une quelconque coupe de rouleau toute droite à l'égard de celte coupe est trauersale de droites ordonnées à quelque but, dont

190 TllAITt DLS COINIQUIS.

une diamétrale, autrement diametrauersale n'est qu'un cas.

Et que tout point à l'égard de celte coupe y est le but de quelques droites ordonnées d'une trauersale dont le but des diamètres n'est qu'un cas.

D'eu suit encore qu'estant de quelconque point IN en la traversale G.\ , des droites d'une ordonnance au l)ut F, menée une quelconque droite INDC qui rencontre le bord de cette couj,e de rouleau comme en D et G, et puis par F but de cette ordonnance, et par l'un de ces points D, men('^ une autre droite FDE qui donne encore le point E au bord de cette coupe de rouleau.

Les deux droites menées finalement comme JNE, FC sont ensemble ordonnées à un but B au bord de la coupe de rouleau.

Car il est démontré que les points C et B que le bord de la coupe de rouleau donne en la droite FCO sont couplez en inuolution avec les deux points F et 0 qu'y donnent les deux droites NG, NF.

Il est ainsi démontré que les points G et B que les droites ?sYB, NXG donnent en la mesme droite FO sont de mesme couplés en inuolution avec les mesmes deux points F.O qu'y donnent les deux droites NG, NF, donc le bord de la coupe de rou-

TRAITÉ DIS CONIQOLS. 191

leau, et la droite NE donnent un mesme point B en cette droite FO.

D'où suit dabbondant que quand en un plan deux quelconques droites FCB, FDE rencontrent comme en des bornes B, C, D, E le bord d'une quelconque coupe de rouleau, et qu'à ces points B, C, D, E passent deux couples d'autres droites bornales BE, CD et BD, EC les deux buts N et G des deux ordonnances de ces deux couples de droites bornales sont en GN trauersale des droites de l'ordonnance de ces deux premières droites comme FCB, FDE dont le but est F.

D'où suit qu'au plan d'une quelconque coupe de rouleau BCDE chacune des droites FO, FH, FG d'une mesme ordonnance entrelles, est trauersale des droites d'une ordonnance dont le but est en leur commune trauersale GN.

Et par conuerse que les trauersales OF, HF, GF des droites des ordonnances dont le but est en une mesme trauersale ou droite NG sont toutes d'une mesme ordonnance entrelles.

D'où suit qu'estant au plan d'une coupe de rouleau donné de position le but F d'une quelconque ordonnance de droites Fil . FG, leur commune trauersale GN y est aussi donnée de position.

1V*2 TIIAITÉ DiS GO.MQIES.

Et qu'y estant donnée de position une quelconque trauersale ou droite GN le but de ses ordonnées F y est aussi donné de position.

Ou Fou uoid en outre que les droites comme FS qu'on nomme touchante à une coupe de rouleau, sont du corps d une ordonnance de droites qui ne rencontrent pas toutes la figure et ne sont chacune qu'un cas d'un cas.

D'où suit que la droite d'une ordonnance menée au point que leur trauersale donne au bord d'une coupe de rouleau touche cette coupe, et que du bord de la figui-e ayant mené une ordonnée à quelconque diamétrale de cette coupe, et une autre droite au point de cette diametiale. couplé au point qu'y donne cette ordonnée en inuolution avec les deux points qu'y donne le bord de la figure, cette dernière droite touche cette coupe.

Ou bien qu'ayant, par un quelconque point au bord d'une coupe de rouleau, mené à trauers la figure une quelconque droite comme trauersale, et une autre au but des ordonnés de cette trauersale, cette autre droite touche la figure.

Or, en une quelconque traversale NG, d'une quelconque ordonnance de droites FH, FO, chacune des couples de points N,G; Z.H; A,R, qu'y

donnent les trois buts d'ordonnés A, Z, N et leurs trauersales T G V, M H I>,'E R D sont chacune une des trois couples de nœus en inuolution d'un?arbre dont la souciie est couséquemment donnée de position, à scavoir: à celui de ses nœus extrêmes intérieur qui se trouve couplé à la distance infinie, ou autrement !e point qu'y donne la trauersale des droites ordonnées à distance infinie auec cette trauersale NG.

Qui uoudra se donner le diuertissement, ainsi que monsieur Puioz, d'en faire une seule démonstration eu un plan général de toutes espèces de cas, deuancera le uetoyement de ce brouillon dont la pluspart des choses ont dabbord esté démontrées par le relief.

Cependant on en poura voir icy la vérité par deux reprises : une en plan, l'autre en relief; c'est à scavoir au plan du cercle ou la chose est éuidente de la perpendicularité des diamétrales à leurs ordonnées.

Et pour les autres espèces de coupes, en rétablissant le rouleeu sur cette coupe et de suite sur la base cercle, et s'aidant après de la ramée de cet arbre ordonnée au sommet du rouleau par sa pro-

priété démontrée on uoid la uérité de cette proposition.

Ou bien de ce que dessus la chose est euidente vn quelconque diamétrale dont ensuite elle se condud en quelconque autre droite. D'où suit aussi qu'autant de couples de droites qui sont ordonnées à un des points du bord de la roupe de rouleau, et qui passent aux deux points du niesme bord qu'y donne une quelconque droite d'une quelconque ordonnance, donnent en la (rauersale de cette ordonnance autant de couples de nœus d'une inuolution.

Et par conuerse quand une couple de rameaux déployez à ce tronc sont ordonnez à un mesrae point du bord de la figure, les autres deux points quils y donnent encore et le but des ordonnées de cette trauersale sont en une mesme droite.

11 serait long d'assembler icy non pas toutes, mais seulement les proprietez qui s'offrent à la foule, communes à toutes les espèces de rouleau, et suffira d'en dire seulement quelques unes des plus euidentes et qui seruent à en découvrir des moins.

Cependant on remarquera qu'entre les deux espèces de conformation d'arbre, il y en a une troisième en laquelle chaque couple de nœus toujours

un et uni à la souche, ou l'entendement demeure court, de raesme qu'en plusieurs autres circonstances, et cette espèce de conformation d'arbre est mitoyenne entre autres les deux, à souche engagée et à souche dégagée.

Quand une trauersale est à distance infinie, tout en est inimaginable; quand elle est à distance finie, ou bien elle rencontre, ou bien elle ne rencontre pas le bord de la figure.

Quand elle le rencontre, c'est ou bien à deux points desunis, ou bien a deux points unis en un, auquel elle touche la figure.

Quand elle ne rencontre pas, l'arbre qu'y constituent les buts des ordonnées et leurs trauersales est d'espèce à souche engagée.

Quand elle le rencontre en deux points désunis, cet arbre est d'espèce à souche dégagée.

Quand elle le rencontre à deux points unis en un, c'est à dire qu'elle touche la figure, cet arbre est de l'espèce moyenne dont l'entendement ne peut comprendre comment sont les proprietez que le raisonnement luy en fait conclure.

Mais voicy dans une proposition comme un assemblage abrégé de tout ce qui précède.

Fig. 13. — Estant donné de grandeur et de po-

196 TRAITÉ DES COMQCES.

sition une quelconque coupe de rouleau à bord courbe EDCB pour assise ou base d'un quelconque rouleau dont le sommet soit aussi donné de position et qu'un autre plan, en quelconque position aussi donnée, coupe ce rouleau et que l'essieu 45 de l'ordonnance de ce plan de coupe auec le plan d'assiette soit aussi donné de position, la figure qui nient de cette construction en ce plan de coupe, est donnée d'espèce et de position, chacune de ses diamétrales auec leur distinction de conjuguées et d'essieux, comme encore chacune des espèces de leurs ordonnées et des touchantes à la figure, et la nature de chacune, leurs ordonnances, auec les distinctions possibles sont donnez tous de génération et de position.

Car ayant par le sommet de ce rouleau mené un plan parallèle au plan de coupe, ce plan de sommet donne au plan de l'assiette du rouleau une droite NH parallèle à la droite 45, laquelle NH est trauersale d'une ordonnance de droites ML. BC, TV, dont le but F est donné de position.

Et la droite menée par le sommet du rouleau et ce but F est l'essieu de l'ordonnance des plans qui engendrent les diamétrales de la figure que cette construction donne au plan de coupe, dont la droite

TllAlTl'; IH:S COMQUES. 197

qui passe au sommet et au but des diamétrales de la base du rouleau n'est qu'un cas.

Asymptotes. — De plus, ayant par chacun des points de la quelconque couple H, Z, que donne, en cette trauersale NH, le quelconque but Z, d'une ordonnance de droites et leur trauersale HF, et par le sommet de ce rouleau mené deux droites, les deux plans, du sommet de ce rouleau et de chacune des droites comme FZ,FH. donnent en lafigure qui vient de cette construction au plan de coupe, une des couples de diamétrales qu'on nomme conjuguées, lesqu'elles sont disposez entrelles comme les deux droites du sommet du rouleau et de chacun des points Z, H, sont disposées entrelles, et les mesmes droites du sommet du rouleau et des points Z, H sont les essieux de deux ordonnances de plans qui engendrent au plan de coupe, chacune une ordonnance de droites réciproquement ordonnées ou conjuguées entrelles, ensemble les touchantes possibles à la figure à distance ou finie ou infinie aux points que le bord donne à ces diamétrales conjuguées, ou l'on void que les droites nommées asymptotes, ou qui ne rencontrent le bord de la figure à aucune distance finie, y tiennent lieu tout ensemble de diamétrales de la figure et de touchantes à ses

198 TRAITÉ DES COiMQlES.

bords à distance infinie, toutes lesquelles choses sont euidentes du parallélisme d'entre les plans de coupe et du sommet et de la propriété d'une ramée d'arbre ordonnée au sommet du rouleau.

Pour une commodité dans cette manière on pourait encore accommoder et mettre en premier trois autres propositions :

L'une qui comprenne les 17 et 18 du 5* livre das Éléments d'Euclide ;

L'autre qui comprenne la 19 et quelques autres du mesme livre ;

L'autre qui comprenne les 47 du premier, et les 12 et 13 du second des mesmes élémens.

Néanmoins de ce qui est icy, l'on void déjà bien euidemment plusieurs propriétés communes à toutes les espèces de coupe de ce rouleau.

Comme entr'autre, que sur la quelconque de ces coupes de rouleau peut estre construit un rouleau qui sera coupé selon quelconque espèce de coupe donnée.

' Ordinales. — Et que quand aux deux points que le bord d'ûhô coupé de rouleau donne à la quelconque de ses diamétrales, passent détix droites du coi'ps des ordonnées, autrement ordinales de ce dia- "^toétre,' et qu'Hun aùfré ^•Jôl<^onqu6 droite' touche

ailleurs à cette coupe, les deux pièces de ces deux ordonnées autrement ordinales, contenues entre cette diamétrale et cette autre touchante, contiennent un rectangle toujours d'une mesme grandeur, en ce qu'une autre mesme grandeur a toujours une mesme raison à chacun d'eux.

Et que les rectangles des deux pièces de la quelconque des ordonnées a une diamétrale d'hyperbole contenues entre l'un des points qu'y donne le bord de la ligure et chacun des points qui donnent ses asymptotes, ou non touchantes à aucune distance finie, sont aussi tous d'une mesme grandeur ueu qu'une autre mesme grandeur a toujours mesme raison à chacun d'eux, auxquelles deux choses il y aura cy après une espèce de démonstration appropriée.

Souche commune à plusieurs arbres, Fig. 16. — Quand quatre points C,G-B,H sont deux couples de nœus d'un arbre HB dont la souche est A ; que la pièce du tronc contenue entre le quelconque deux couples de ces nœus est diamètre d'un cercle et la pièce contenue entre les autres deux nœus restant, est diamètre d'un autre cercle, les bords de ces deux cercles donnent eu quelconque autre droite ordonnée à cette souche A, deux semblables

couples de nœus aussi d'un arbre qui a la souche A commune auec cet arbre HB.

Dont la démonstration familière enflerait inutilement ce brouillon. Outre que A ne demeurant pas souche, au lieu de cercles, il peut y avoir sur les mesmes pièces d'entre les deux mesmes de ces quatre nœus G,G-B,H deux quelconques autres coupes de rouleau disposez en certaine façon que leurs bords opèrent la mesme chose que ceux des cercles; éuidemment au moyen d'une ramée de cette arbre HB.

Et quand en une inuolution des quatre points H, G, B, F en un tronc BH les deux brins tels que GF et BH contenus entre les deux nœus correspondans entreux,sont chacun diamètre d'un cercle.

Les bords de ces deux cercles donnent eu quelconque autre droite qu'ils rencontrent ordonnée à la quelconque des deux souches réciproques L et A de cette inuolution H, G, B, F chacun deux points aussi correspondans entreux d'une semblable inuolution de quatre points, ayant pour souche celle des deux souches réciproques, à laquelle comme but cette droite est ordonnée auec le tronc BH.

Et quelquefois A ne demeurant pas souche, si à ces brins G H, B F au lieu de deux cercles, il y a

rHAiTi: DIS (,oM(,»UEs. SOI

deux coupes de rouleau quelcoD(|ue disposées en certaine position, leurs bords opèrent le semblable que les bords des cercles.

Fig. 17. — Et (juand en un tronc BH quatre points H, G, B, F sont en inuolution, que le brin tel que FG somme de deux des branches moyennes de l'arbre AF, ÂG est diamètre d'un cercle et que la quelconque AH ou AB de deux des branches extrêmes d'une couple du mesme arbre est aussi diamètre d'un cercle, et qu'au nœu extrême de l'autre restante de ces deux branches extrêmes passe une droite du corps des ordonnées, autrement une ordinale à cette commune diamétrale de ces deux cercles.

Cette ordinale donne en quelconque autre droite oidonnée auec cette diamétrale à la souche A comme but, un point couplé au point qu'y donne le bord du cercle sur la branche extrême, en inuolution, avec les deux points qui donne le bord du cercle sur la somme des deux branches moyennes, dont la figure est aisée à conceuoir pour la décrire, ou la démonstration est éuidente de ce qui est dit :

Et au lieu de deux cercles s'il y a deux autres coupes de rouleau disposées en certaine façon, la mesme ou semblable chose auient, dont une ramée fait uoir la uérité.

Il y a plusieurs semblables proprietez communes à toutes les espèces de coupe de rouleau qui seraient ennuyeuses icy.

La circonstance qui suit pouuoit estre cy devant en la proposition de quatre bornes au bord d'une quelconque coupe de rouleau, mais pour des considérations elle est séparée en ce brouillon.

Fig. 14. — Quand en un plan une droite PH comme tronc rencontre en L et M le bord d'une quelconque coupe de rouleau B, G, D, E, que deux autres droites parallèles entrelles BC, DE comme rameaux rencontrent en B, G et D, E le bord de la mesme figure BGDE et aussi le tronc PH eu K et I ; qu'au quelconque des points L que le bord de cette figure donne au tronc, passe une autre droite LRSqui donne les points Ret S à ces deux rameaux déployez et parallèles BG, DE.

Le rectangle des deux brins tels que KS, KM est au rectangle des brins tels que KD, KE, en mesme raison que le rectangle comme IR. IM relatif du rectangle KS. KM est au rectangle comme IG. IB relatif du rectangle KE. KD.

Tellement (jue si la droite LRS est posée de façon que le quelconque rectangle des deux brins,, tels que KS, KM soit égal au rectangle, tel que KD, KE, aussi

TRAITÉ DES CONIQDES. 208

le'quelconque autre rectangle comme IR. IM est égal au rectangle comme IG, IB, de manière qu'ayant de l'autre point comme M, que le bord de la figure donne encore au tronc, mené une droite MT d'une même ordonnance avec ces deux rameaux parallèles entreux BC, DE, qui donne le point T en la droite LRS.

— Le rectangle de la couple quelconque de brins pliez au tronc KL, KM contenus entre un des nœus K qu'y donne un quelconque de ces rameaux déployez au tronc ED et chacun des nœus L, M, qu'y donne le bord de la figure, est à son gémeau le rectrangle des brins déployez comme KE,KD contenus entre le mesme nœu K et chacun des points E, D, qu'y donne le bord de la figure, en mesme raison que le brin du tronc comme IVIL, d'entre les deux nœus qu'y donne le bord de la figure, est au brin déployé comme MT de la droite MT.

Coté droit, paramètre, coadiuteur. — Que si le tronc PH est diamétrale de la figure et les rameaux BC, DE ses ordonnées, le brin déployé, tel que MT est la ligne nommée ailleurs costé droit, paramètre et icy coadjuteur.

(^ar en prenant KM pour commune hauteur des

204 l'KU'ji: itis cdNioi i;s.

rectangles KL. KM et KS.KM; et LM pour hauteur commune des rectangles IL.IM et IR.IM.

Le rectangle KL. KM est au rectangle KS.KM, comme KL est à KS c'est-à-dire à cause du parallélisme d'entre les rarauax ED.BC comme IL est à

Et le rectangle IL.LM est au rectangle IR.IM comme IL est à IR c'est-à-dire à cause du parrallelisme des ramaux ED.BC comme KL est à KS.

C'est-à-dire que le rectangle KL. KM est au rectrangle KS.KIM comme le rectangle IL.IM est au rectangle IR.IM.

Et alternant le rectangle KL. KM est au rectangle IL.IM comme le rectangle KS.KM est au rectangle IR.IM.

Et il est démontré que le rectangle KL. KM est au rectangle IL.IM aussi comme le rectangle KD.KE est au rectangle IC.IB.

Partant le rectangle KS.KM est au rectangle IR.IM, comme le rectangle KD.KF, est au rectangle IC.IB.

Et alternant le rectangle KS.KM est au rec tangle KE.KD comme le rectangle IR.IM est au rectangle IC.IB,

Tellement que si le rectangle KS.KM est égale au

rectangle KE.KD, le rectanglo IR.IM est aussi égal au rectangle IC.IB.

Conséquemment le rectangle comme KL. KM est au rectangle KS.KM ou à son égal le rectangle KE.KD en mesme raison que KL est à KS c'est-à (lire à cause du parallélisme d'entre les droites KS, MT comme ML à MT.

Par ainsi quand le tronc PH est diamétrale de la figure et que les rameaux ED, CB sont ses ordonnées, le brin comme TM est euidemment cette ligne qu'on nomme costé droit, paramètre, ou coadiuteur et qui n'est qu'un cas d'un cas et uisible d'ailleurs en sa génération.

De ce qui est dit cy devant, on aura conçeu que pour mener d'un quelconque point une droite d'une mesme ordonnance auec deux parallèles entrelles, cela s'entend que cette droite soit menée aussi parallèle à ces deux, et de mêsme que pour mener d'un quelconque une droite à un point à distance infinie en une autre droite, cela s'entend qu'il faut mener cette droite parallèle à celle où le point assigné est à distance infinie.

206 TRAITÉ nrs comques.

Encore que ce qui suit paraisse évidemment des choses icy deuant démontrées, néantmoins :

Fig. 18. — Quand en un plan aux deux points

E et C que le bord courbe d'une quelconque coupe

de rouleau donne en sa quelcon(|ne diamétrale,

E7C passent deux droites EB, CD chacune ordinale de cette diamétrale E7C, qu'une autre quelconque

droite LR touche cette coupe de rouleau en quelconque autre point.

Le rectangle est toujours d'une raesme grandeur des deux pièces de ces ordinales EB,CD, contenues entre la diametrauersale E7C et les points B et D, qui leur donne cette autre quelconque droite LR touchante la figure.

Car puisque ces deux droites diamétrales E7C et touchante LR sont données de position en un plan, le but A de leur ordonnance est aussi donné de position .

Et ayant, par le point L. mené LIM trauersale des ordonnées au point A, et qui donne encore le point M au bord de la figure.

D autant que la droite E7«i est diamétrale de la figure, cette trauersale LIM est ensemble avec les deux EB,i.D ordonnée de cette diamétrale E7C.

Par le point 7 qui inipartit ia pièce EC de cette

diamétrale E7C soit menée encore une autre droite 7R, ordonnée ou ordinale aussi de cette diametrauersale E7C, et qui donne le point R en la touchante LR, le but de ces quatre ordonnées ou ordinales EB, (^D. IL, 7R est à distance infinie ueu leur diametrauersale E7C.

Soit encore menée la droite CGF qui donne en EB le coadiuteur EF.

Pour en la quelconque touchante EB de la quelconque part EN auoir le coadiuteur de la diametrauersale E7C. l'un des moyens est de mipartir l'angle que ces touchantes EN et diametrauersale E7C font de mesme part sur la figure, auec une droite EV qui donne au bord de la figure encore le point V, puis mener une autre droite VC qui donne le point F en EN et EF est euidemment ce coadiuteur. Il est démontré que les quatre points C, I, E, Â sont en inuolution et que 7 est souche d'un arbre dont EE, CC; et I. A sont des couples de nœus.

Et que A est souche commune à trois arbres, dont EC. 71 - BD, LR - HN et MO sont des couples de nœus.

Et que les quatre pièces CD, 7R, IL, EB, et encore les quatre CH, 70, IM et EN sont deux à deux proportionnelles en mesme raison que les quatre

208 Tii\m'; des coMQUiiï^,

ÂC, A7, Al, AE et leurs semblables AH. AU. AM. AN ou AD, AR, Al.. ÂB sont entrelles.

Donc le rectangle des deux branches A7, Ai est au rectangle de sa mesme hauteur Al. Al, c'est-àdiie la l)ase ou branche A 7 est à son accouplée la base ou branche Al, c'est- à-dire le rectangle de la coupe de brins égaux entreux et pliez au tronc 7C, 7E esta son relatif le rectangle des brins IC.IË, comme le rectangle 7R, IL est au rectangle de sa mesme hauteur IL. IL, ou à son égal le rectangle de la coupe de brins égaux et déployez IL.iM.

Et en changeant le rectangle de la coupe de brins égaux entreux et pliez au tronc 7C,7E est au rectangle 7R.IL ou à son égal le rectangle EB.CD comme le rectangle des brins pliez IC.IE est à son gémeau le rectangle des brins déployez IL.IM, c'està-dire comme la pièce telle que EC de la diamétrale E7C est à la pièce telle que EF de son ordinale telle que EB.

Partant un mesme rectangle des pièces égales comme 7E.7C de la diamétrale E7C a mesme raison à chacun des rectangles des pièces de ses deux ordinales EB.CD contenues entre ses deux points comme E et C et la quelconque droite LRB.D qui touche la figure en quelconque point L.

Et d'autant que 7 mipartit la pièce comme EC de la diamétrale E7C, le rectangle des pièces égales 7E,7C est le quart du rectangle de EC.EC ou q narré de EC.

Et comme EC est à EF ainsi le rectangle EC.EC ou le quarré de EC est au rectangle EC,EF de sa mesme hauteur EC et de mesme le rectangle 7E. 7C quart du rectangle EC.EC est au quart du rectangle EC.EF.

Donc le rectangle 7E.7C a mesme raison au quart du rectangle des pièces EC.EF et au rectangle des pièces comme EB.CD, consequemment le rectangle EB,CD est égal au quart du rectangle des pièces comme EC.EF.

Et par une conuerse eiiidente de ce qui a esté démontré, quand la diamétrale comme E7C est le grand des essieux de la figure, le brin comme BD de cette quelconque touchante LR est diamètre d'un cercle dont la circonférence passe en deux points comme Q et P en la mesme diamétrale et essieu C7E. de façon que le rectangle des pièces de cette diamétrale E7C contenues entre le quelconque de ces points P et chacun des points comme E et C qu'y donne le bord de la figure, est encore égal au quart du rectangle EC.EF, et la pièce comme

210 TRAITÉ DES (JOiMQUES.

EC est égale à la somme ou à la différence des deux droites menées du point dattouchement, comme L, ;i chacun de ces points comme P ètQ, scavoir à la somme ou à la différence des deux droites menées comme LP,!.Q, et la touchante LD mipartit un des angles que ces deux droites menées comme QL,PL font entrelîes.

Nombrils, points brulans, foyers. C'est à dire que les deux points comme Q et P sont les points nommés nombrils, brulans, ou foyers de la figure, au suiet desquel il y a beaucoup à dire.

Et particulièrement en la coupe de rouleau nommée hyperbole ou les asymptotes 7X,7Y sont deux touchantes à la figure à distance infinie.

Ayant mené les deux asymptotes X7Z, K7Y pour touchantes à distance infinie, des choses qui précèdent on uerra que les pièces de la droite ÏM contenues réciproquement entre le bord de la figure L et M et chacune des deux asymptotes sont égales entrelîes, c'est à dire que IL et IM sont égales entrelîes et IS,IT sont égales entrelîes, et conséquemment LS,MT égales entrelîes et MS.LT égales entrelîes euidemment au moyen d'une ramée.

Et ensuite que le rectangle des pièces d'une diamétrale E7C contenue entre son ordonnée des at-

touchemens à la figure, par ces asymptotes à distance infinie et chacun des points comme E et C qu'y donne le bord de la figure, est au rectangle des brins déployez de cette ordonnée ainsi à distance infinie contenus entre cette diamétrale E7C et les deux points qu'y donne le bord de la figure, en mesme raison que le rectangle comme 1E,IC est au rectangle comme IL.IM c'est à dire comme EG est à EF, c'est à dire comme le rectangle des pièces égales en l relies 7E,7G est au rectangle des pièces égales entrelles EX.CZ des droites EB,CD ordinales de cette diamétrale E7C et contenues entrelle et la quelconque touchante à distance infinie X7Z.

C'est à dire que comme le quarré E7 est au quarré EX c'est à dire comme le quarré 17 au quarré IS, ainsi le rectangle des brins pliez IC.IE est au rectangle des brins égaux et déployez IL,IM.

Or des propositions qui comprennent les 5 et 6 et les 9 et 10 du second des eleraens d'Euclide.

Il est euident que le rectangle lE.IC plus le quarré de E7 est égal au carré de 17.

Et que le rectangle LS.ST plus le quarré IM est égal au quarré de IS.

Partant puisque comme le quarré de 17 est au

quarré de IS ainsi le rectangle lE.IC est au quarré IM, suit que le restant quarré 7E est au restant rectangle LS.LT comme le rectangle lE.ICestau rectangle IL IM, c'est à dire comme EC est EF. D'où suit qu'en quelconque part que soit menée une droite comme LIM ordonnée à une diamétrale comme E7C, le rectangle des deux pièces de cette ordonnée contenues entre l'un des points L qu'y donne le bord de la figure et chacune des deux asymptotes est toujours d'une grandeur mesme, et égale au quart du rectangle des deux pièces comme EC. et EF coadjuteur.

Quand deux cônes se touchent en une droite, c'est ou par le concaue de l'un et par le connexe de l'autre, ou par le conuexe des deux et cette droite est en'un plan qui joint ou touche en elle chacun de ces deux cônes, lesquels donnent au plan de coupe qui est parallèle à ce plan ainsi ioint, deux paraboles à commun aissieu et dont les bords nese touchent à aucune distance finie, mais se touchent à distance infinie et donnent eu tout autre plan de coupe, deux figures dont les bords se touchent à distance finie ou infinie.

TRAITÉ DES CONIQUES. 21 o

Quand deux cônes se touchent en deux droites séparées et désunies, c'est en chacune de ces deux droites ou par le concave de l'un et par le connexe de l'autre, ou bien par le connexe de chacun d'eux, et chacune de ces droites est en un plan qui touche à chacun de ces deux cônes lesquels donnent deux paraboles qui se touchent en un point au plan de coupe parallèle à quelconque de ces plans ioignans ou touchans; et en tout autre plan, ils donnent deux figures dont les bords se touchent en deux points à distance finie ou infinie.

Quand ces deux cônes se touchent par le concaue de l'un, ces deux figures se touchent par le concaue de l'une.

Quand ces deux cônes se touchent par le connexe de chacun d'eux, ces figures se touchent par le connexe de chacune d'elles.

Et quand le plan de coupe est parallèle au plan des deux droites auxquelles ces deux cônes se touchent, il y uient deux hyperboles, ou l'une dans l'autre, ou l'une hors de l'autre et qu'on nomme coniuguées ayant les unes et les autres mesraes asymptotes, et dont les bords ne se rencontrent à aucune distance finie, ou autrement se rencontrent à distance infinie, et l'on peut uoir les propriétés de

214 TRAITÉ DES CONIQUIS.

cet éuenement par ce qui est déduit, comme encore en combien de manières et comment les bords des deux coupes quelconques de cônes se peuuent rencontrer.

Ayant conceu que c'est qu'une droite trauersale des droites d'une ordonnance , on conçoit aisément que c'est qu'un plan trauersal aussi des droites d'une ordonnance en ce qui est des lieux à surface.

Quand une boule et un plan sont chacun immobiles, ce plan à l'égard de cette boule est trauersal d'une ordonnance de droites dont le but est donné de position, et le but en estant donné la position de ce plan est donnée, le tout des choses cy devant.

Et quand plusieurs droites ayant chacune un point immobile en ce plan se meuuent à l'entour de cette boule, les plans des cercles qu'elles y décriuent sont trauersaux chacun des droites ordonnées au point immobile de la droite qui le décrit et s'entrecoupent tous au but des ordonnées de ce premier plan.

Semblable propriété se trouve à l'égard d'autres massifs qui ont du rapport à la boule , comme les

oiiales autrement ellipses en ont au cercle, mais il y a trop à dire pour n'en rien laisser.

Fig. 19. - Quand au plan d'une quelconque coupe de rouleau 0Y8GH, en la quelconque droite AF des ordonnées d'une trauersale AV, le point trauersal A est couplé au but F de ces ordonnées en inuolution auec deux quelconques autres points X, 0, lesquels soient considérez pour les deuxnœus moyens doubles de l'inuolutiou, cbacune des coupies de rameaux déployez à ce tronc XQ, qui passent à une des couples de nœus extrêmes de cet arbre comme FH, AH et RG. ZG, et sont ordonnez à des buts H et G au bord de la figure en fa(^on que l'un des deux louche la figure ainsi que HA ou ZBG, chacune, dis-je, des semblables couples de rameaux ainsi disposez donne en cette trauersale VA une des couples de nœus D,A-E,B d'un mesme arbre dont la souche G, est en une mesme droite auec les deux souches 7 et P du tronc 5 7 8 des mesmes ordonnées au but F qui est diamétral de la figure et de cet autre tronc AF.

Or en premier lieu , de l'hypothèse et de ce qui est icy démontré en la droite 7FT diamétrale de la

figure et du corps des ordonnées au but F, le point traversai T est couplé au but de l'ordonnance F en inuolution avec les deux points 5, 8 qu'y donne le bord de la figure et le brin 5 8 estant mipartit en 7 ; ce point 7 est souche en l'inuolution de ces quatre points 5, F, 8, T.

Semblablement ayant en P mypartit le brin XQ de l'inuolution des points X, F, Q, A, ce point P est souche de l'inuolution.

Il est dauantage manifeste des choses cy deuant démontrées que les points X et Q sont tous deux ou bien au bord de la figure, ou bien tous deux comme icy d'une mesme part, hors du bord de la figure, scavoir est, tous deux, ou de la part du concaue, ou de la part du conuexe.

Et que quand ils sont au bord de la figure, la droite PC menée par ces deux souches 7 et P est ordonnée en un point de la trauersale AV auec la droite HFD qui lors est trauersale des ordonnées au but A, lequel est en la droite AF et eu la mesme trauersale AT, et qu'ainsi ces deux points C et D sont alors unis en un seul et mesme point en cette tranuersale AV, partant hors ce cas là ces deux points C et D sont en la mesme trauersale AV désunis entreux.

TRAITl': D!:S COMQUKS. 217

Semblablement et par mesme raison, au mesme cas des deux points X et 0 au bord de la figure la mesme droite 7PC est encore ordonnée en un point de la mesme trauersale ÂV auec la droite GRE laquelle alors est trauersale des ordonnées au but Z qui est en la droite AF, et qu'ainsi ces deux points C et E sont alors unis en un seul et mesme point en cette trauersale AV, partant hors ce cas là ces deux points C et E sont en la mesme trauersale AV désunis entreux.

D'où il est euident qu'en un mesme des autres deux cas les points comme D et E sont tous deux toujours d'une mesme part du point comme C, c'est-à-dire que le point comme C est semblablement engagé ou dégagé à chacune des deux couples de points D.A et E,B.

Donc ayant mené la droite GF qui donne les points Y au bord de la figure et V en la trauersale AV.

Les droites 7D et 7B qui donnent les points M et L aux droites GF et AF ; la droite FN parallèle à la trauersale AV et qui donne les points K, N, I aux droites 7B, GRE et GB.

La droite 13 parallèle h la droite B7 et qui donne le point 3 en la droite G F,

218 TRAITÉ DLS CONIQUES.

La droite L M qui donne le point 0 en la droite 7PC. Et finalement la droite EP ordonnée ou que ce soit auec la droite GF.

Maintenant le moyen, ou l'ordre de cette démonstration générale par le plan, à laquelle M. Pujos à très-bonne part est diuisé comme en deux circonstances : dont

La première est de démontrer que la droite EP est ordonnée au but M ensemble auec les trois droites FV. 7D, LM.

Cela fait on conclud briefuement ce que dit la proposition à scauoir que les rectangles contenus de chacune des couples de branches CD, CA et CE, CB sont égaux entreux.

Touchant la première de ces circonstances que LM est parallèle à la trauersale AV.

Cy deuant il est démontré que le brin 7T est au brin 7 F en raison mesme que la composée des raisons du brin DT au brin DV et du brin MV au brin MF.

Et par un semblable raisonnement le mesme brin 7T est au mesme brin 7F en raison composée des raisons du brin BT au brin BA, et du brin LA au brin LF.

Ainsi la raison composée des relisons de DT à DV

TRAITÉ DES CONIQURS 219

et de MV à MF est la mesme que la composée des raisons de BT à BA et de LA à LF.

Or il est démontré que la raison de DT à DV est la mesme que de BT à BA.

Donc la restante raison de MV à MF est aussi la mesme que de LA à LF.

Partant les deux droites LM et AV sont parallèles entrelles.

Touchant la deuxième de ces deux circonstances que la droite EP est ordonnée au but M ensemble auec les trois droites LM, FV. 7D.

L'on y paruient ayant premièrement démontré que le rectangle des pièces VE et FK est égal au rectangle des pièces FI et FN en cette manière.

De l'hypothèse et delà construction il est éuideut qu'en la droite GF les quatre points G , F. Y, V sont en inuolution dont S est souche et SY, SY, SG. SG chacune une couple de branches moyennes et SY, SF une couple de branches extrêmes.

D'où suit que comme GV est à GP ainsi SG est à SF.

Et à cause du parallélisme d'entre FN et AV et d'entre B7 et 13.

Comme GV est à GF ainsi VE est à FN et GB est à Gl ainsi GS est à 03. D'où suit que G3 est égale

^20 TR Mil'; li'.S CoMQl I s.

à SF et F3 égale à GS. et qu'ainsi aussi K3 est àFS.

Mais comme F3 est à FS, ainsi, aussi FI est àFK.

Partant VE est à FN comme FI à FK.

Consequemment le rectangle des deux extrêmes VE. FK est égal au rectangle des moyennes FIS, FI.

Dauantage de la construction le point P est souche de l'arbre XQ dont PA, PF et PZ. PR sont deux couples de branches extrêmes.

Ainsi la branche PA est à son accouplée la branche PF comme le rectangle des brins AR. AZ est à son relatif le rectangle des brins FR. FZ, c'est-àdire en raison mesme que la composée des raisons de RA à RF ou de son égale la raison de E\ à FN et de ZA à ZF ou de son égale la raison de AB à FI, c'est-à-dire que la branche PA est h son accouplée la branche PF comme le rectangle des pièces AE. AB est au rectangle des pièces FN. FI, ou à son égal le rectangle des pièces EV. FK, scauoir en la raison mesme que la composée des raisons de EA à EV et de AB à FK ou de son égale la raison de LA à LF ou de son égale la raison de MV à MF, c'est-à-dire qu'au tronc EP le brin PA est au brin PF. en raison

TRAITÉ DES GOISIQUES. 22 i

iiiesme que la composée des raisons du brin EA au brin EV et du brin MV au brin MF.

Et par la conuerse d une cy dessus, les trois nœus P,M,E sont en un niesme tronc PE, c'est-àdire que le point M est en la droite EP, c'est-àdire que la droite EP est ordonnée au but M ensemble auec les trois droites LM, 7D et SV.

Voila comment la droite LM est parallèle à la Iraversale AV, et comment les 3 points E,M,P sont en une mesme droite, à cause de quoy tînale- i

ment comme [ OL est à OM ainsi CA à CE

et semblablement j comme : 1 OL est à OM ainsi CB à CD.

Parla Qt CA est à CE comme CB est à CD.

Conséquemment le rectangle de la couple de branches CA, CD est égal au rectangle de la couple de branches CE. CB.

Et ainsi en la traversale AV chacune des couples de points A,D et E,B sont une des couples de nœus d'un arbre oti le point C, que donne la droite 7P, est souche.

D'où il est éuident que quand les deux points comme X,0 sont hors du bord de la figure de la part du concaue, l'arbre que donne cette cons-

222 TRAITÉ DLS COiMQlES.

tructioii en la traversale comme AV est à souche

engagée.

Quand ils sont hors du bord de la pari du conuexse cet arbre est à souche dégagée.

Et quand ils sont au bord de la figure cet arbre est de l'espèce moyenne.

Or de ce qui est démontrée cy devant il s'en suit que cette quelconque coupe de rouleau 5 Y 8 estant assiette ou base du cône dont le sommet soit éloigné de la souche G perpendiculairement à la trauersale AV de l'interualle de l'une des branches moyennes de l'arbre que cette construction y donne et en un plan parallèle à un autre plan qui coupe le cône.

Les deux droites menées par le sommet de ce cône et chacun de ces points X et (J, quand ils sont hors le bord de la figure de la part du concaue, donnent en la figure de coupe qui nient de cette position du plan de coupe, les deux points qu'on nomme les nombrils, brulans, autrement foyers de la figure.

De façon qu'estant, pour assiette du cône, donnée de position une quelconque coupe de rouleau à bord courbe, et en son plan une droite pour trauersale comme AV, el l'angle du plan de cette

TRAITÉ DES COMQUES. 223

coupe anec le plan qu'y donne le plan du sommet et de cette traversale, et en elle ou bien la souche de l'arbre de cette construction comme icyle point C, ou bien deux couples de nœus de cet arbre, ou bien hors d'elle un point tel que P ou bien un des points tels que X et Q, ou bien deux couples de nœus de l'arbre comme X,Q,

Le sommet de ce cône est donné de position et le cône est donné d'espèce et de position, la ligure de coupe qu'y donne cette position de plan de coupe est donnée d'espèce et de position, tous les diamètres conjugués de la figure de coupe auec leurs distinctions, toutes les ordonnées et touchantes avec leurs distinctions, les costez, coadjuteurs, le but de l'ordonnance de ses thametrales, et les points foyers y sont donnez chacun de génération d'espèce et de position.

Que si le sommet, l'assiette, et la tranuersale, et le plan de coupe sont donnez de position tout le reste est donné semblablement de génératiou d'espèce et de position.

En cette occasion senoid uu parti("Lilier rapport de la ligne droite avec la ligne circulaire et les

254 TRAITÉ DES CUNIQUKS.

points de chacune d'elles qui ont rapport entreux.

Et pour cet efl'et il ne faut sinon conceuoir que le tronc d'un arbre se meuten un plan ayant le point milieu d'entre deux nœus couplez, immobile et considérer quelle espèce de ligne alors trace chacun des nœus de cette couple, on trouvera que quand ce point milieu est à distance finie, alors chacun de ces nœus trace une ligne courbée en pleine rondeur, autrement circulaire, et que quand ce point milieu est à distance infinie, comme de la coupe de nœus dont l'extrême intérieur est uni à h souche, et Textreme extérieur à distance infinie ; alors ce tronc en se mouuant parallement à soi mesme, le nœu extrême intérieur uni comme il est dit à la souche, trace une ligne droite perpendiculaire à ce tronc.

En laquelle droite se trouve, pour cette circonstance, les mesmes propriété/ qu'aux lignes courbées en pleine rondeur aux points que tracent les nœus de chacune des autres couples.

Et cette seule proposition fournirait de matière pour un liure entier à qui uoudroit en bien éplucher toutes les conséquences éuidentes de ce qui est démontré cy devant.

Ou l'on voit encore divers movens de décrire

TIIAITÉ D£S COMQDES. 225

chacune des espèces de coupe de coue, par des points, et diverses façons d'instruments pour les tracer toutes, à conter du point, suiuant par la ligne droite à chacune de ces courbes, soit au moyen de la propriété du coadjuteur, soit au moyen des propriétez des foyers, ainsi que M. Chauueau depuis peu de jours enaconceu un bien simple et d'autant plus gentil, mais il y aurait bien à faire à écrire tout ce qui dépend decequiesticy démontré.

Pour n'oublier les propositions articulées au bas de la 2°" page et qui doiuent précéder tout le reste, uoicy comment elles peuvent estre énoncées sur les simples droites de la slampe.

Fig. 20.— Quand une droite AH est coupée on quelque point B, le rectangle de la somme on a''-gregé de la toute AH avec la quelconque de ses parties AB, c'est-à-dire de HF, et l'autre partie HB, plus le quarré de la partie ajoutée AB, sont ensemble égaux au quarré de la toute AH ce qui comprend les 5 et 6 du second des Elémens d'Euclyde.

Quand une droite AH est coupée en quelque point B le quarré de la somme on aggregé de la toute AH avec la quelconque de ses parties AB.

c'est-à-dire le quarréde HF, plus le carré de l'autre partie HB, sont ensemble doubles des quarrés de la toute AH et de sa partie ajoutée AB, ce qui comprend les 9 et 10 du 2' des Elémens d'Euclyde.

Les démonstrations de chacune de ces propositions, et de leurs converses concl uantesà ce que A mi partit FH sont évidentes.

Quand en un plan deux droites d'une mesme ordonnance rencontrent un mesme cercle, les rectangles sont égaux entreux des pièces de chacune de ces deux droites contenues entre le but de leur ordonnance et chacune des deux points qu'y donne le bord du cercle, ce qui comprend les 35 et 36 du 3' des Éléments d'Euclide.

Et la démonstration en est éuidente des précédentes, en menant la droite d'une mesme ordonnance de ces deux, et diamétrale au cercle, puis les diamétrales du cercle perpendiculaires à chacune de ces deux droites, ou l'on uerra que la touchante, quand il en écheoit, se trouve comprise en la démonstration au nombre des ordonnées, et que quand le but de l'ordonnance de ces droits est au bord du cercle, l'entendement s'y trouve court, et qu'on peut y faire une espèce de conuerse.

Il y a telle des propositions icy démontrées , ou telle des conséquences qui s'en ensuivent, laquelle comprend ensemble plusieurs des propositions des coniques d'Apollonius, mesme de la fin du 3° livre. Et après les lemmes ou prémices, quatre de ces propositions contiennent la disection entière du cône par le plan.

Et comme quand une droite ayant un point absolument immobile se meut en un plan, un quelconque de ses autres points qui se meut simplement auec elle trace une ligne simple et uniforme droite, ou circulaire, on peut conceuoir que cet autre point, outre le mouuement que cette droite lui donne, se meut encore d'un autre mouuement allant et uenant au long de cette droite, en façon qu'il trace le bord d'une quelconque autre espèce de coupe de rouleau.

En cette manière de traiter des coniques, toute plate courbe de cône à bord courbe est également conceue base de cône.

Estant donnez de position, en quelconque espèce de base plate, un cône coupé d'un autre plan, la position et l'essieu de l'ordonnance d'entre ces

228 TRAITÉ DES CONIQDKS.

deux plans au plan de cette base, en la quelconque droite qui luy touche, la pièce est donnée qui soutient l'angle fait au sommet du cône par autres deux droites, dont le plan engendre au plan de coupole coadiuteur du diamètre de la figure qu'y donne celte construction, engendré par celui des plans conuenables du sommet du cône, qui passe à ce point d'attouchement. Il y a bien encore des propositions à faire de toutes sortes en cette matière, aussi bien que des noms à imposer pour ceux à qui plait ce divertissement.

En géométrie on ne raisonne point des quantitez avec cette distinction, qu'elles existent ou bien effectivement en acte, ou bien seulement en puissance, n'y du général de la nature avec cette décision qu'il n'y ait rien en elle que l'entendement ne comprenne à propos de la droite infinie.

L'entendement sesentuaguer en l'espèce duquel il ne scait pas dabbord s'il continue toujours ou s'il cesse de continuer en quelqu'endroit, afin de s'en éclaircir il raisonne par exemple en cette façon ; ou bien l'espace continue toujours, ou bien il cesse de continuer en quelqu'endroit ; s'il cesse de continuer en quelqu'endroit, ou que ce puisse estre, l'iraagi-

nation y peut aller en temps, or jamais l'imagination ne peut aller en aucun endroit de l'espace auquel cet espace cesse de continuer ; donc l'espace et conséquemment la droite continue toujours. Le mesme entendement raisonne encore et conclud les quantités si petites que leurs deux extremitez opposées sont unies entrelles et se sent incapable de comprendre l'un et l'autre de ces deux espèces de quantitez sans avoir sujet de conclure que l'une ou l'autre n'est point en la nature, non plus que les proprietez qu'il a sujet de conclure de chacune encore qu'elles semblent impliquer, à cause qu'il ne scaurait comprendre comment elles sont telles qu'il les conclud par ses raisonnements.

Du contenu dans ce brouillon il résulte :

Touchant la perspective.

Des droites sujet d'une quelconque mesme ordonnance, les apparences au tableau plat sont droites d'une mesme ordonnance entrelles, et celle de l'ordonnance des sujets qui passent à l'œil laquelle est l'aissieu de l'ordonnance d'entre les plans de l'œil et de chacune de ces droites sujet.

Touchant les monstres de l'heure au soleil.

En quelconque surface plate, les droites des

heures sont d'une mesme ordonnance entrelles et l'essieu de l'ordonnance d'entre les plans qui donnent la division de ces heures.

Touchant la coupe des pierres de taille.

En une raesme face de mur les arestes droites des pierres de taille sont communément d'une mesme ordonnance entrelles, etl'essieu de l'ordonnance d'entre les plans des joints qui passent à ces arestes.

Et les diuers moyens de pratiquer chacune de ces choses en sont euidents.

Ceux qui ne trouveront pas icy toutes les propositions dont ils peuuent avoir eu cy devant communication, iugeront bien que le volume en serait excessif.

Quiconque uerra le fonds de ce broiiillon est inuité d'en communiquer de mesme ses pensées.

Lettre de De La Hlro

Établissant l'autheuticité du manuscrit sur lequel a été copié le traité des coniques.

L'an 1679 au mois de juillet iay leu pour la première fois, et transcrit ce liuret de M. Desargues pour eu avoir une plus parfaite connaissance. Il y avait plus de six ans que iavais fait imprimer mon premier ouurage, sur les sections coniques, et je ne fais point de doute que si iauois eu quelque communication de ce traité cy ie n'aurais pas decouuert la méthode dont ie me suis servi, car je n'aurais pas cru qu'il eut esté possible de trouuer quelque manière plus simple et qui fut aussi générale. Toutes les démonstrations qui sont icy sont si fort remplies de compositions de raisons et sont prises par des detours si longs que si on les compare à celles que jai données des mesmes choses ou il n'y a aucune de ces compositions et qui comprennent dans le premier cahier beaucoup plus uniuersellement tout ce

232 lETTRF DE DE LA HTIŒ.

qui est ic\ ; il ne sera pas malaisé de juger de l'aiiantage de ma méthode par dessus celle cy. Elles ont toutes deux pour but commun de démontrer dans le cône les principaux accidents de ses sections par les proprietez de la division d'une certaine ligne droite, qu'Apollonius connaissait très bien, puis qu'il l'a appliquée dans toutes ses rencontres avec la section de cône, et dont M. Desargues fait un cas de son inuolution, laquelle iay nommée après Pappus harmoniquement coupée, ce qui me fait iuger qu'Apollonius auoit bien découvert dans le solide la propriété de cette ligne, mais que n'ayant pu en faire l'application d'une manière assez simple, il aurait préféré les démonstrations sur le plan dont il serui à ce qui luy aurait fait découurir toutes ces proprietez, et ce fut en considérant altentiuemant toutes les proprietez de cette ligne et tous les cas qui sont dans Apollonius et en

les comparant tous ensemble que je trouuay le moyen de n'en faire qu'un seul que ie donnay dans la méthode que jai publiée.

De la Hire.