DES FOYinS

Voici comment Desargues traite celte théorie imporlante des sections coniques.

D'abord il commence par démontrer celte proposition énoncée plus haut :

< Si aux extrémités C et E (fig. 18) d'un diamètre, on mène les deux tangentes CD et EB, le produit CD. EB des parties de ces tangentes comprises entre les points de taugcnce C et E et une droite LD tangente en un point quelconque L de la courbe est constant. »

Il entre dans de grands développements au sujet de cette proposition, il fait voir que le point A. interseclion du diamètre et de la tangente, se trouve souche commune à des imolutious de quatre points situés sur le diamètre EC, sur la tangente LBD et sur celle symétrique DAM et qu'enfin ce rectraugle

CD. EB est 6.giû à EC. EF c'est-à-dire au quart du

du produit du dinmèlre EC par le paramètre EF.

Il a déjà donné ci-dessus la délermination du paramètre; \oici, dit-il, un des moyens de l'obtenir facilement.

Aune extrémité E du diamètre EC, on tire la droite EV bisectrice de l'angle de la tangente EN el du diamètre EC. Cette droite rencontre la courbe en V, on joint ce point V à l'autre extrémité C du diamètre par une droite qui rencontre la tangente EN au point NF, et alors EF est ce paramètre. Ce qui se démontre facilement.

Il ajoute ensuite : <* Par une réciproque évidente de ce qui a été démontré, si le diamètre EC est le grand axe de la courbe, le segment BD de cette tangente LBD est diamètre d'un cercle qui passe en deux points Pet 0 de ce diamètre et qui sont Its foyers de la courbe ; et on a, pour le quelconque de CCS points Pet chacun dos points comme E et C :

î" PE.PC=^= iEC.EF.

2'. — De pl'.'.s le grand axe EC est égal à la somme, ou la différence dos droites menées comme LP, LQ du point de tangence Là ceux P et Q.

3°. — La tangente LD partage en deux parties égales, un des angles de ces deux droites LP, LQ.

La première proposition est évidente et résulte évidemment de la comparaison des deux triangles semblables BEP et PCD.

(Je ne vois pas de quelle proposition précédente, il tire les 2 autres.) Il conclut pour l'hyperbole.

r. — Qu'on peut prendre pour diamètre du cercle qui détermine les foyers la partie de l'asymptote contenue entre les deux tangentes au sommet de la courbe.

r. - Que IL = IM et IS = IT, donc LS ^ MT c'est-à-dire que les segments d'une ordonnée, interceptés entre la courbe et les asymptotes, sont égaux.

3°. — Que dans une hyperbole, toute droite Ll M conjuguée du diamètre EC coupe la courbe et chaque asymptote en des peints tels que le produit LS, LT des deux segments compris entre le point L de la courbe et les deux points S et T des deux asymptotes, est constant et égal au quart «lu rectrangle EG. EF formé par l'axe et le paramètre.

WALYS;- DU TRAITÉ DFS COMOIKS- 589