COUPE DES PIERRES DE DESÂRGUES
Nota. — N'ayant pu nous procurer les planches et figures de l'ouvrage, nous nous sommes efforcé de les reproduire d'après le texte, et en nous aidant de l'ouvrage de Bosse sur le même sujet.
L'auteur pour exposer sa méthode de coupe de pierre suppose qu'il s'agit de construire une descente, ou montée biaise, dans un mur en talus ; prenant ainsi le cas le plus général de ces espèces de voûtes, d'où, dit-il, on en conclura facilementles cas particuliers ; de plus la méthode exposée pour ce genre de voûte, conduira à celle nécessaire dans tout autre genre de construction.
Dans sa V planche, il représente en perspective la susdite porte et sur cette figure il commence par donner les noms des différentes parties de celle construction et des divers plans et droites dont il doit se servir.
Il distingue dans cette construction cinq plans remarquables :
V — Le plan horizontal ou de niveau, tel que
celui CDR qui se trouve devant la porte et forme le sol.
2° — Le plan de la face du mur qui doit former l'entrée.
Ce plan coupe celui horizontal formant le sol, suivant une horizontale CD qu'il appelle l'alignement nivelée.
y — Par cette horizontale, ou seuil, CD de la porte passe un troisième plan CDGE qui est celui de la descente ou montée.Dans la figure qui représente une descente , il l'appelle plan du chemin.
A" — Il donne le nom de plan de route, à un plan vertical parallèle aux faces des tableaux des pieds droits, passant ainsi par les verticales des deux sommets K et Z de la voûte qui doit recouvrir ce passage. Sa direction indique le biais de la voûte. Sa trace YR sur le plan de niveau s'appelle la route nivelée et XY qui est sa trace sur le plan du chemin est dite : la route au chemin ou simplement le chemin.
5° — 11 considère ensuite un plan auxiliaire, perpendiculaire à la fois au plan de niveau et au plan de face et dont les intersections avec les trois plans, de niveau, de chemin, de face, servent à mesurer les angles que ces plans font entr'eux. Ce
plan s'appelle, droit aux face et niveau. Son intersection avec le plan de route se fait suivant une verticale KNR et l'angle de ces deux plans sert à mesurer le biais de la voûte.
On distingue facilement ces 5 plans sur la
figure.
Ces 5 plans peuvent se supposer transportés parallèlement à eux-mêmes, dans un endroit quelconque de la construction, et conserveront les mêmes noms et serviront aux mêmes usages. Ainsi la droite horizontale PQ peut aussi bien que celle CD représenter l'intersection des trois plans de niveau, de face, de chemin.
L'intersection du plan de chemin et de route est une droite AEK' qui est l'axe de la voûte, et à la quelle il donne le nom d'essieu.
Par un point quelconque K' de cet essieu, il abaisse sur le plan de face la perpendiculaire K'H qui rencontre ce plan en H. La droite qui joint ce point H à celui A qui est celui où cet axe perce le plan de face, sera évidemment la projection de l'essieu sur le plan de face, c'est ce qu'il appelle le sous-essieu; on voit alors que l'angle KAH mesure l'angle de l'essieu avec ce plan de face.
Le plan passant par la verticale K'N, perpendi-
culaire à celui de face, coupe le dianiMre au point B ; de sorte que la droite BK' représente la trace de ce plan sur celui de chemin. Celle BN sur celui de niveau et BH sur le plan de face, ainsi les angles que ces droites font entr'elles mesurent l'angle de ces divers plans entre eux
Par le centre, il considère un plan perpendiculaire à l'essieu, qui coupe le pian de face suivant une droite AT perpendiculaire à la sous-essieu AS et qu'il nomme traversieu, et il coupe le plan de l'essieu et sous-essieu suivant une droite AG qu'il nomme contressieu. Ainsi, il y a quatres droites importantes à considérer et qui servent de base ù sa méthode.
1° L'essieu, ou axe de la voûte.
2° La sous-essieu, qui est la projection de l'essieu sur le plan de face.
3° La traversieu qui est une droite dans le plan de face et perpendiculaire à la sous-essieu.
4" La contre-essieu qui est dans le même plan que l'essieu et la sous-essieu, et qui est perpendiculaire à l'essieu.
Il propose de donner le nom d'essier au plan qui contient l'essieu, la sous-essieu et contre- essieu. 'A
ANALYSi: DE LA COU^E D) S FlERftElJ. 367
celui de traversier à celui qui contient l'essieu et la traversieu.
Le plan qui contient la traversieu et la contreessieu et qui est perpendiculaire à l'essieu, est dit le plan droit à l'essieu; il coupe la voiite suivant une courbe qu'il appelle l'arc droit, ou cintre avec laquelle tous les panneaux de joints sont à angles droits.
Desargues dit alors : « toule la façon de celle manière de trait consiste à savoir, au moyen des angles donnés, trouver l'angle d'inclinaison de l'essieu au plan de face, et sa position à l'égard de l'alignement nivelé en face. »
Si on a bien compris la première planche, où tout est représenté en perspective, on peut maintenant comprendre les diverses autres figures, qui ne sont plus en perspective, mais composées de la représentation géométrique de plans, avec divers rabattements qu'il faut deviner, car il ne donne que des constructions, sans aucune démonstration. Et si on veut s'aider de l'ouvrage de Bosse, ce n'est pas plus facile, car il donne, s'il est possible, encore moins de démonstration; mais se contente de faire en onze figures différentes et successives ce qui avait été fait par Desargues sur une même figure.
Le premier prcîblè.nnfe que Desargues propose est ainsi conçn :
(( Tromer l'angle d'inclinaison de C essieu au plan de face et sa portion. »
PIanclio2. Frg. 1 . — Pour comprendre cette fig., il faut admettre que le plan du papier représente le plan fa€e, (\m\ que soit son talus et que la ligne PABQ est la ligne de terre, seuil ou comme il le dit l'alignement nivelé) alors il faut supposer le plan horizontal tournant autour de PABQ comme charnière, de mani^ère à se rabattre sur le plan du papier qui est celulde face, cela étant compris, sa construction s'explique facilement :
Le point A étant le centre de l'arc, on trace une droite AN qui fasse avec AB l'angle donné entre la nivelée en face AB et la route au niveau.
D'un point quelconque N de cette droite, on mène une droite NH perpendiculaire à AB qu'elle rencontre CD B.
Si au point N sur le sujet, on élève une perpendiculaire au plan horizontal elle rencontrerait le plan du chemin qui passe par AB en un point K, et la droite K A qui joindrait le point K du plan du chemin, au point A serait la route au chemin, et par conséquent l'essieu de la voûte. Pour exécuter
la construction que nous venons d'indiquer, supposons que par la verticale KN, on mène le plan perpendiculaire à celui de face; il est évident que la perpendiculaire NB représentera la trace de ce plan sur le plan de niveau rabattu et ((ue celle BH sera la trace sur le plan de face; faisons tourner ce plan perpendiculaire à la face, autour de BH comme charnière, alors l'horizontale BN deviendra la droite BN' telle (jue l'angle HBN soit égal à celui qui fait le plan de face et celui de niveau, angle qui est celui de talus et qui est donné.
Menons à présent la droite BK telle que l'angle KBN* soit celui du plan du chemin avec le plan de niveau, prenons BIN' = BN et au point N' élevons N'K perpendiculaire BN, il est évident que dans le rabattement le point K représentera l'intersection de la verticale élevée au point N, sur le sujet, avec le plan du chemin.
Si maintenant, par le point K nous menons KH perpendiculaire sur BH, Il est évident que le point H de rencontre avec celle droite, sera le pied de la perpendiculaire abaissée du point K de l'essieu sur le plan de face, donc la droite AH représentera la projection de cet essieu sur le plan de face, ou la sous-essieu, repartie.
Pour avoir maintenant, '::'"' partie, l'angle de l'essieu avec le plan de face, il faut faire un rabattement du plan qui contient l'essieu et la sous-essieu autour de la sous-essieu comme charnière. Or, le point K de l'essieu est sur une perpendiculaire au plan de face élevt^e au point H et à une distance de ce point égale à KH de la figure. Dans le rabattement HK deviendra HK' perpendiculaire à AH et alors AK' sera la représentation de l'essieu rabattu sur le plan de face.
3°'' partie. La perpendiculaire AT à la sous-essieu sera latraversieu. 4"" partie. Et la perpendiculaire AG à l'essieu sera la contre-essieu rabattue aussi sur le même plan de face.
ô""" partie. Faisons tourner le plan du chemin autourdeAB comme charnière, le point K où la verticale élevée en N rencontre le plan du chemin, viendra tomber sur BiN en un point k tel que Bk :=i=. BK et alors joignant k et A la droite Ak représentera la route au chemin et 1 angle kAB celui de la droite de chemin et de la nivelée en face AB, et si l'opération est exacte ou aura Ak = AK'. Ou voit pareillement que si l'angle BAk était donné, au lieu de celui BAIN, on arriverait aux mêmes résultats par un procédé analogue; il faudrait commencer par prendre BK = Ak.
ANALYSE DE LA COUPE DES PIERRES. i / 1
2« Prol»l4-me. — TROUVER LES PANNEAUX (angles) DES JOINTS ET ARÊTE DU PIED DROIT. (Plamhe II, fig. %)
Dans cette fig. 2, AB étant toujours le seuil, ou alignement nivelé, il fait le rabattement du plan horizontal sur celui de face, en sens inverse de la fig. \ , de sorte que le point N se trouve au-dessus de AB, au lieu d'au-dessous; de même pour la droite BN' qui représente l'intersection du plan de face et du plan perpendiculaire à ceux de face et de niveau. Ce plan perpendiculaire ayant é^é rabattu lui même autour de BN, il resuite de là, que si au point N on élève sur BN la perpendiculaire NG, elle rencontrera BN' au point G et ce point représentera l'intersection de la verticale élevée, dans le sujet, au point N, avec le plan face par, conséquent si on prend sur BN, la distance BE = BG, on aura le rabattement de ce point G sur le plan horizontal et alors la droite AE sera l'arête rabattue même du pied droit, et par suite l'angle EAB sera celui que fait cette arête avec l'alignement nivelé AB.
Si on veut avoir l'angle de cette arête avec la route au niveau AN, il faut rabattre le plan vertical
372 AiNALYSi: DE LÀ COLTE DES PIERRES.
EAN autour de AN comme charnière ; le point E tombera sur EN perpendiculaire à AN à une distance de N, telle que NL= NE = NG. Et alors LA fei'a avec AN cet angle cherché
Si l'arête AG = AE = AL était l'intersection des deux faces AB et AB', on ferait un rabattement autour de AB' et la figure montre comment on aurait de même les angles de cette arête dans cette autre face.
5« Problème. — TROUVER, DE DEUX MANIÈRES DIFFÉ- RENTES, l'arc DROIT, CE QUE QUELQUES-UNS NOMMENT
LE CINTRE. (Planche m, fig. 1 et i.)
Les méthodes employées par l'auteur pour résoudre ce problème sont fort intéressantes et dénotent une grande entente de ce que nous appelons la géométrie descriptive.
La détermination des quatre droites étant faite comme il a été indiqué , et étant donné, sur le plan du papier qui représente le plan face, une figure quelconque ; le problème consiste à trouver l'intersection d'un cylindre dont la base serait cette figure et dont la direction des arêtes serait celle de l'essieu, par le plan perpendiculaire à cet essieu.
qui contient ainsi la traversieu et contre-essieu. Il suffit d'indiquer la construction pour un point. Soit P ce point situé sur le plan face, par ce point P concevons une parallèle à l'essieu, ce qu'il s'agit de déterminer, c'est l'intersection de cette arête avec le plan traversieu, contre-essieu. Voici sa construction : du point P on abaisse la perpendiculaire Y*p sur la sous-essieu S, par le pied de p de cette perpendiculaire, on abaisse la perpendiculaire pp' sur la contre-essieu C , puis sur celte dernière perpendiculaire el à partir de son pied p', on porte pV = pP, et le point P' ainsi déterminé est le correspondant du point P, et ainsi pour tous les autres points. Desargues ne donnant aucune explication de cette méthode, nous allons tâcher d'y suppléer. La parallèle à l'essieu, rencontre, dans l'espace, le plan de l'arc droit, ou plan de la traversieu-contre-essieu, en un point P' dont la distance au plan Ess, S.-Ess. est précisément égale à Pp. De plusj considérons la droite SS comme une ligne de terre autour de laquelle se fait le rabattement S. G. E. Il s'ensuit que la droite C est le rabattement de la contre-essieu et celle de l'essieu, contenues dans ce plan ; par suite la perpendiculaire pp' à la droite C est parallèle à celle E et par
374 ANAuVh . Di: LA couim: des pierres.
conséquent la parallèle à P/^, menée par le point P' rencontre la contre-essieu en p\ ainsi nous voyons que le point P' cherché est sur une perpendiculaire en p' à la contre-essieu C, élevée au point p' et à une distance de ce point égale à Pj». Maintenant on suppose que le plan de l'arc droit (T.-C.) qui contient la droite C, tourne autour de cette droite C, le point P' se rabattra sur la perpendiculaire Vpp' à une distance de p' égale à P';?'. De même pour tous les autres points, qui formeront par leur réunion l'arc droit, avec toutes ses divisions ou joints comme l'indique la figure.
L'auteur ajoute : Pour déterminer exactement une droite^ il est bon^ non-seulement d'avoir deux de ses points^ mais encore un troisième comme vérification. On peut prendre, à volonté, sur le plan donné ce troisième point ; mais il y en a de remarquables qu'on peut obtenir avec une grande facilité. Supposons, par exemple, qu'il s'agit de déterminer la^droite L'Q' correspondante à celle LQ, et dont on a déjà obtenu les deux points L'Q' correspondants respectifs de ceux L et Q. Prolongeons cette droite LQ jusqu'en / où elle rencontre la sous-essieu. Le point/ étant sur cette droite, la distance à cette droite est nulle, donc il faut de ce
point abaissoi hi [lorpundiculaire / // sur la droite C et à partir du point // porter, sur cette perpendiculaire, une distance nulle, c'est-à-dire que ce point // est donc le correspondant de celui / et se trouve sur la droite L'Q'.
De même si la droite prolongée rencontre la droite T au point ï, il faut de ce point abaisser sur la droite S la perpendiculaire ik, elle passera au centre A, et de ce point A élever une perpendiculaire à la droite G. Ce sera précisément la droite E et prendre dessus A//' = Aî et ce point //' sera encore sur la droite L'Q' comme étant le correspondant du point i qui est sur la droite LQ.
Par les procédés ci-dessus, on peut obtenir toutes les droites formant les têtes des voussoirs de Varc droit, au moyen de celles qui forment les têtes des voussoirs de Varc face; mais il est évident que par une construction directement inverse, on obtiendra aussi ^facilement les droites formant les voussoirs de l'arc face, au moyen de celle de l'arc droit données d'avance ; observation nécessaire, car on sait que souvent c'est la forme de l'arc droit qui règle et détermine la surface cylindrique de la voûte.
Pour compléter ce qui est nécessaire pour la
construction d'un voussoir tic la voûte, il faut savoir déteiminer les angles que font les joints de face, avec ceux de douële. Sur l'arc droit ces angles sont droits, il s'agit de les déterminer sur Tare face. Par exemple de déterminer l'angle du joint PF avec la génératrice du cylindre de la voûte, qui passe par le point F. Voici la construction indiquée par Desargues : Après avoir abaissé des extrémités P et F de ce joint les perpendiculaires Pp, Ff, sur S, de leurs pieds p. f, on abaisse sur la droite E les perpendiculaires p-pp f-/f, puis sur une de ces perpendiculaires, par exemple celle ff, h partir de ^on porte ff-ff' = P'F', on trace la droite ff-pp et l'angle de cette droite avec l'essieu pp-k est celui cherché, c'està-dire celui que doit faire le joint de face PF avec celui de douële passant à ce point P. — Si l'opération est bien faite, ajonte-t-il, ou doit avoir f-pp = PF. Cette construction est donnée comme les autres, sans démonstration, en voici une : D'après la construction, il est évident que dans l'espace la droite qui joint P k pp est perpendiculaire à la droite E, de même celle F-/f est perpendiculaire à la même droite. De même, la droite P'F' est la projection, sur une droite perpendiculaire à celle
ANALYSE DE LA COUftl' DES PIERRES. 377
E, de la droite PF, donc dans le triangle fjf-pp, ff" où les deux côtés de l'angle droit sont les longueurs de ces deux projections , l'hypothénuse ff-pp est la direction elle-même de la droite, faisant avec lin des côtés ff-pp-A l'angle cherché.
Voici maintenant la seconde méthode donnée par Desargues pour obtenir l'arc droit.
Dans la première, le rabattement de la section droite se fait autour de la contre-essieu C, dans celle-ci, il se fait autour de la traversieu T essieu et contre-essieu étant deux droites situées dans ce plan de la section droite.
PI. III. Fig. 2. — Voici d'abord sa construction pour un point et par suite pour tous les autres :
Pour avoir le point P' correspondant du point P de la section face on abaisse sur S, du point P, la perpendiculaire Pp' et de son pied p', sur T, du même point, la perpendiculaire Pp, puis du point p', on abaisse sur E la perpendiculaire p-pp, on porte cette longueur p'-pp sur la perpendiculaire Pp à partir de p, et le point P' ainsi obtenu est le point correspondant à celui P. On voit en effet, que dans l'espace, le triangle rectangle PP'p formé par la longueur PP' qui est la partie de la génératrice du cylindre passant par P et terminé au plan
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de la section droite, deuxièmement de la distance de ce point P' à la charnière en p, et enfin de la distance Pp; ce triangle PP'p étant perpendiculaire à la droite T, qui est l'intersection du plan du papier ou de face et de celui de la section droite. Or évidemment sur la place S. -CE rabattu autour de la droite S, la distance P'p est représentée par celle p'pp, donc en rabattant le plan de lare droit autour de T, le coté P'p de l'espace tombera en P' de la figure sur la perpendiculaire pP' à la droite T et à une distance de p égale à p'pp.
Pour avoir un troisième point d'une droite, telle que LQ, il prolonge LQ jusqu'en I ou cette droite rencontre la droite T, et ce point I appartient à la droite L'Q'. Cela est évident puisque la droite T est la charnière.
On peut, dit l'auteur, se servir de la contreessieu, comme de la traversieu, par la méthode suivante. Supposons qu'il s'agii de terminer le point 0' correspondant du point 0.
Par le point 0 c/n abaisse sur la droite S. la perpendiculcûre Oo, cette distance Oo est évidemment égale à celle du point 0', corespondant de celui 0, de la contre-essieu, puis du point o on abaisse la perpendiculaire o~oo sur la contre-essieu rabattue,
ANALYSE DE LA GODPE DES PIERULS. 370
autour de la S. ES., le point oo d'iutersectiou serait le pied de la perpendiculaire abaissée sur la droite C, du point 0', mais rabattu autour de S. Si donc on voulait obtenir le point 0' rabattu autour de C, il faudrait porter la distance O'o, à partir du point oo, sur une perpendiculaire à C élevée en ce point ; mais si au contraire, le rabattement se fait autour de la traversieu T, on voit qu'en décrivant, du point A comme centre avec A-oo pour rayon une circonférence, elle rencontrera S en un point oo' (\\\'\ sera le rabattement de ce point 00; donc maintenant si au point oo' on porte 00 sur la perpendiculaire oo'-O à la S. ES. S à partir de ce point oo' , le point 0' ainsi obtenu sera bien le correspondant de celui 0, dans le rabattement autour de T.
Pour avoir le point correspondant à celui où une droite telle que LQ rencontre S, il faut abaisser la perpendiculaire / //' sur E et porter la longueur de cette perpendiculaire de A en 11' sur S et le point W sera sur le prolongement de L'Q', cela résuite de la première construction; ou bien par la deuxième, de 1 abaisser sur C une perpendiculaire et puis décrire du point A comme centre, avec un rayon égal à la distance de ce point A
au pied de cette perpendiculaire, une circonférence qui coupe S au même point //' sur S.
A" Problème. — TROUVER LES PANNEAUX DE COUSSINET DE DOUBLE ET DE JOINT.
A la place de l'arc, sur le plan de la face, l'auteur substitue, pour chaque voussoir, la corde de cet arc. Ce qu'il se propose est de trouver l'angle que fait cette corde de doiiele avec la génératrice de la voûte qui passe à chaque extrémité de cette corde. On a vu comment il avait trouvé l'angle des droites de joint en la face^ avec cette génératrice. La méthode employée pour la corde de doiiele est analogue.
Soit, pi. IV fig. 1, PC une de ces cordes de doiiele ; par les extrémités P et C, il abaisse sur la sous-essieu S les perpendiculaires Pp Ce; puis des pieds ;? et c de ces perpendiculaires il en abaisse deux autres;?/?', ce' perpendiculaires sur l'essieu E, il en résulte évidemment que p'c' est la projection de PC sur l'essieu E. Or si on veut avoir l'angle qu'une droite fait avec une autre, située ou non située dans le môme plan, on mène par une des extrémités de cette droite une
ANALYSE DE LA COUPE DtS PIERRES. 384
parallèle à l'autre, et de l'autre extrémité, une perpendiculaire à cette parallèle, alors la longueur de cette première droite est l'hypothénuse d'un triangle rectangle, dont sa projection sur l'autre est un des côtés de l'angle droit et l'angle cherché est celui de cette droite et de ce côté. Alors on voit que jo'c' étant la projection de P'C, si on forme le triangle rectangle pp.p'c dans lequel la droite c'-pp qui en est l'hypothénuse est égale à PC, il en résultera que l'angle A c' pp sera bien celui de la droite PC avec une parallèle à l'essieu. On agirait de même pour toutes les autres. On voit dans la même fig. 1 pi. IV comment on aurait de même l'angle que fait le joint OH avec l'essieu.
Au lieu d'exécuter ces constructions sur la fig. 1 , l'auteur fait voir fig. 2, même planche, qu'elles peuvent se faire plus commodément en les exécutant dans un endroit séparé, de la manière suivante : après avoir tracé la droite PQ et l'essieu E et la sous-essieu, comme dans les exemples précédents, on porte sur l'essieu et à partir du centre A et d'un même côté de PQ toutes les longueurs, telles que p'c\ des projections des doiieles, on élève des extrémités telles que celle p' une perpendiculaire à la S. ES, puis en décrivant du point A
382 ANALYSE Di: l. COl'P'l. DES PIERRES.
comme centre et avec des rayons successivement égaux à la longueur des doiieles, telles que P€, une circonférence, elle coupera les perpendiculaires en des points qui réunis par des droites au point A seront les hypothénuses des triangles cherchés, et il observe que comme souvent toutes les doiieles sont égales une seule circonférence suffira.
De même, dit-il, on portera sur la S. ES. S les longueurs des joints, telle que OH et par les mêmes opérations on obtiendra les angles des joints avec les parallèles à l'essieu qui sont les arêtes ou joints de doiiele de la voûte. Il sera nécessaire, pour éviter la confusion, de faire ces opérations de l'autre côté de PQ que cey^s précédentes relatives aux doiieles.
