INTRODUCTION

1. L'élude que nous avons en vue dans ce fascicule est celle des petits mouvenienls d'un liquide incompressible pesant, conteuu clans un \ase fixe, lorscjue ces mouvements sont dus à des causes exclusivement superficielles (impulsions, ou émersion d'un corps solide). On sait qu'alors la vitesse («, r, \v) d'une particule fluide quelconque dérive à chaque instant d'une fonction o dite potentiel des vitesses

ô'St <)o àzi

ux Oy oz

Le problème consiste à déterminer cette fonction 9(x, y, z, t) qui dépend évidemment des coordonnées x, j', 3 de chaque particule fluide et du temps t. Nous allons former les conditions auxquelles doit satisfaire cp, étant entendu que nous nous bornons au cas des petites oscillations, ce qui nous permettra de négliger les carrés et produits des déplacements et des vitesses et de remplacer, le cas échéant, dans certaines fondions, des coordonnées un peu variables par des coordonnées fixes.

Nous prendrons toujours les axes de coordonnées rectangulaires, le jilan xOy étant confondu avec le plan horizontal de la surface libre au repos, l'axe O; vertical dirigé vers le bas {Jig- i). Nous désignerons la surface libre par S, les parois du vase par 'L.

Le fluide étant incompressible, la condition de conservation du volume (équation de continuité ) donne l'équation indéfinie

, ()2m cl2çn ,J2(e

la fonclion o, en tant que fonction de x.^.. z, est donc harmonique à toute époque.

Comme conditions « aux limites », nous de\ons d'abord écrire qu'en tout point de la paroi i la composante normale de la vitesse est nulle, ce qui se traduit par

(Sur S),

— - désignant une dérivée prise suivant la normale.

Nous avons ensuite à écrire la condition à la surface libre S. Des é(|uations de l'Hjdrodjnamique (équations d'Euier), on déduit immédiatement l'intégrale bien connue suivante (où p désigne la pression, p la densité du liquide et g l'intensité de la pesanteur)

f=— :-i-i[(S)'-(iy-(^i)T

intégrale qui, {)uisque nous négligeons les carrés des vitesses.se réduit à

^'-If

Afin de siiuplider un peu les écritures ultérieures, nous supposerons toujours, dansée qui suit, (juel'ona clu)isi l'unité de btngucur (ou celle de l(!m|)s) de faç(tn à rendre numériquement égale à i

raccélération ^ de la pesanteur. Faisant donc g = i , nous écrivons

J ~ "' ~ ât'

Cette équation est vérifiée à toute époque et en tous les points du tluide. L'aclion d'une pression constante, s'e\erçanl en tous les points d'un fluide, n'a aucune influence sur ses mouveinenls (la pression n'entre dans les équations de l'Hjdrodvnamique tjue par ses dérivées ) ; nous pouvons donc faire abstraction de la pression atmosphérique qui s'exerce à la surface libre S et la regarder comme nulle (*). Appelan! alors // la dénivellation actuelle d'un point de la surface libre (comptée posiii\ement vers le bas, comme z); la condition à cette surface libre pourra s'écrire

ou. en dérivant par rapport à /,

àh <)-^^

Comme d'ailleurs il s'agit de petits mouvements, — peut être regardé

comme étant la vitesse verticale iv = ~ d'un point de la surface

libre. T/é(j nation

dzi à- o , o \

( 3 I -r^ T-^ = o (sur S, ou pour z = o)

()z ât-

est donc vérifiée à la surface libre; mais comme celte surface libre S diflere toujours très peu du plan ^ = o, il est légitime de considérer cette condition m aux limites » comme vérifiée par la fonction o sur le \Adkn fixe ; = o.

!2. I.'équation iudéfinie { i) et les Ciniditions aux liuiites (2) et (3) ne déterminent pas complètement le potentiel des vitesses (y, car cette tonction dépend aussi du temps t. Pour achever de déterminer le pr.)blèiii(', on peut se j)lacer à deux points de vue bien différents.

Premier point de vue. — Se donnant les condilinns initiales,

(') Cela revient, si l'on veut, à ajouter à — ^ la constante — •- ce nui est évi-

ilemnicnt peiiuis puisque ^ n'est dcterniinc qu'à une fonction arbitraire de t près.

c'esl-à-dire les valeurs pour riiislanl initial f = o, de la dénis ellation 11 et de la vitesse des différeuls points de la surface libre, on cherchera à obtenir l'expressiou explicite de cp(a:. y. z, t) (par exemple, développée suivant les puissances de ?), ce (pii déterminera vomplètement le mouvement ultérieur du liquide. D'ailleurs, les con- Jitions initiales que nous venons d'indiquer reviennent à se donner, pour / =: o et dans le |)lan ; = o, les valeurs du potentiel des vitesses o et de sa dérivée y V^^' raj)porl au temps; les valeurs de jj déterminent la di'-nivellalion iniliale [équation (a')], et les valeurs de o déterminent le potentiel initial (pii est une fonction harmonicpie dont la dérivée normale est nulle à la paroi; d'où les vitesses initiales.

On démontre que le problème ainsi posé est complètement déterminé, c'est-à-dire (pi'il n'existe qu'une fonction cp satisfaisant aux conditions énoncées (' ).

Cette méthode conduit à la solution complète du problème dans le cas d'un vase cylindrique vertical àe profondeur infinie. En particulier, le cas d'un l)assin indéliui, aussi bien dans le sens horizontal qu'en profondeur (parois infiniment éloignées), a été traite'' dans d'importants jMémoires de Cauclij. Poisson, M. Boussinesq, avec de hirges développements. Mais dans le cas d'un \ase de dimensions finies, à'[)arois quelconques, la méthode tond)e eu ddaut. 11 est possible alors, connue l'a fait M. Hadamard, de recourir à une méthode différente pour mettre le problème en équation.

Second point de vue. — Sans se préoccuper de conditions initiales, on peut chercher à satisfaire aux conditions (i), (2) et (3) [)ar des solutions simples de la forme

cos

On obtiendra ainsi les dillérentes oscilUitions propres harmoniques {\\\ liquide dans le vase considère'', (-hacune d'elles étant caractérisée par une constante /. (délinissanl la [leriode) et par une (ui plusieurs fonctions ^V( x. j', z) correspondantes.

(blette méthode, Indicpu'e par M. Volterra, et siiixu; depuis par plusieurs auteurs, conviendra, au contraire de la pi'<'cèdente, aux vases de dimensions Unies, et dans beaiu-onp de cas où les |»arois ont

(') Voir, par exemple, J. Houssinesq |1| (note ilc la pajje .'jSi).

une forme simple, on saura ell'eclivcmjnt trouver toiiles les oscillations propres.

D'ailleurs, une fois conniuîs les oscillations j)ropres, ou [»ourra essayer do satisfaire à di'S conditions initiales données par une Sî'rie de solutions simples. La diflicullé sera alors en général de démonlrcr la légitimit(' du développement en série, (ju'on ne saura établir rigoureusemeni que dans des cas particuliers.

Les Chapitres suivants sont consacrés an dévelop[)('ment des deux points de vue ((ue nous \enons de signaler.

il nous arrivera parfois de supposer que le mon\<'ment s'etTectuc parallèlement à un plan vertical fixe (que nous prendrons alors [)0ur plan des .rz), de façon (ju'aueune des fonctions du [)robIèm(' iw dépende de la coordonnée y : à chaque instant /, les phénomènes sei'ont identiques (hins tons les |)lans parallèles au ])lan des xz. JNous dirons alors que nous traitons le « problème plan » ou « problème à deux dimensions ». Ce cas. où l'on fait al)straction de la coordonnée v» est, nalurellement, un peu plus simple que le cas général du problème â trois dimensions.

CMAPITKE ].

HECI1ERCI1E DU POTENTIICL DES VITESSES CORUESPONDANT A DES CONDITIONS INITIALES DONNÉES.

3. Remarque sur les conditions initiales. Ondes d'émersion. Ondes d'impulsion. — iNoiis avons dit que les condiUo/is iuiliales^ au uombi'c de deux, consistent à se donner, pour ^ = o et ^ = o, les \aleurs initiales à la surface libre

(4) >? = iH-ï-,.'-), ~ =f(x,j)

(lu potentiel des vitesses o(.r. y. z. t) et de sa dérivée partielle par rapport au lem|)s. Or, toutes les autres écjuations (i), (2), (3) du pr()l)lème étant linéaires et liomogènes en o, il est ('-n ident cpi'on pj'ut séparer ces conditions initiales, c est-à-dire déterminer séparément 4eu\ poleiTtiels 'j) et Oo satisfaisant aux conditions initiales suivantes:

l rpoui- 'f,) : çi = o, -^ =J[^x, y)

(5 ) •^ ) { pour t = a et « = o).

(pour 3-2 ) • 9.2= 1"" '-'*■; J')t -y- = f>

b H. VERGNE.

Le poleiiliel 0 = 9,4-02 salist'cra aux conditions inilialcs complètes (4).

Vovons à (|U(ii ((»! res|)ondcal les conditions initiales séparées (5). Le polentit'l oi élanl inllialcmcnl nul dans tout le liquide (fonction lianuoni(jU(' nulle à la surtace, aj.mt sa dérivée normale nulle aux |)arois), il lui corresjtond des vitesses initiales nulles partout; tandis

que -— n'étant pas nul. les dénivellations initiales A de la surtace

'■ (Jt '

libre ne le sont pas non plus [équation ( 2')]. On dit que ce |iotentiel 0( est relatif à une onde d^émcrsion, jmrce que Tétai initial peut être sup])Osé dû à l'éniersion brusque d'un corps solide, dont la

légère immersion imjiosait à la surface libre du liquide en re[)OS de

()o petites dénivellations données li:^ ~-

Quant au potentiel Oo, il lui correspond, au contraire, des dénivellations initiales nulles, mais des vitesses initiales non nulles. On dit qu'il est relatif à une onde d impulsion. L'état initial correspondant peut être supposé engendré | ar des surpressions variables exercées à la surface libre durant un instant très court ( coup de vent brusque à la surface d'un lac).

Il est donc légitime de traiter séparément le | roblème des ondes d'émersion et celui des ondes d'impulsion. D'ailleurs, le second n'est pas distinct du premier, car il est aisé de voir que o, étant un potentiel d'onde d'émei'sion satisfaisant aux [iremières conditions initiales (5), sa dérivée partielle o^ = -p sera un [potentiel d'onde d'iuijiulsion satisfaisant aux conditions initiales

?-2 = y(-^, J'^ ~dT "^ ^ (^pour / = o et z = o),

cette dernière équation étant une conséquence immédiate de l'équation (.'3j à laquelle satisfait o, ( ' ).

C'est jiourquoi, dans la suitt\ nous nous bornerons toujours exclusivement aux ondes par émersion.

I. Cas d'un bassin indéfini en tous sens. — Pour commencer par un cas simple où nous trouverons iiiimé(batement la solution, considérons un bas.sin de dimensions infinies tant en prolondeiir cpie dans

(') .1. FioiJssiNKsy ! 1 ', p, •i'i'^-

le sens horizontal : le fluide occiij)e tout l'espace au-dessous du plan horizontal c := o de la surface libre. Dans cette hypothèse, il n'y a pas de parois (elles sont infiniment éloignées), et la condition (2)

d'annulation de la dérivée ~ est remplacée par la suivante : la fonc-

(in ' •

tion 9 doit s'annuler asjmptotiquement lorsqu'on s'éloigne de l'origine des coordonnées, ce qui signifie que le mouvement est constamment nul à l'inlini. qui n'est jamais atteint [lar une perturbation ayant son origine à distance finie.

Rej)renons. dans le cas actuel d'un bassin infini, l'équation relative à la surface libre ^ ^ o

et faisons, à son sujet, la remarque ca])itale suivante ('). Cette éqiuilion (3) est vrrijlée non seulement à la surface x; := o, mais dans tout le fluide. En effet, son premier membre est une fonction harmonique (puisque 9 en est une), qui est nulle à la surface libre et qui s'annule aussi aux grandes distances, où o tend partout vers zéro. Donc, ce premier membre est identiquement nul, et l'équation (3) devient une équation indt'finie du problème. Reprenons maintenant l'équation

^ = ^ '^, p dt '

qui a lieu partout à toute époque; dérivons-la [)ar rapport à / en suivant une même particule fluide

I dp d'f d^ ^

p 'dt ~ âz ~jr^ '

ainsi, une particule fluide supporte la même pression pendant tout le mouvement.

Désignons par Z l'ordonnée de la particule à l'état final de repos, nous aurons

(') Cette remarque a été faite incklemiiient par Poisson, qui ne semble pas avoir vu tout le parti qu'on peut en tirer.

et, par suite.

{z — -Tj) est la dénivellation Ji de la particule à l'épofjiie t. L'équation (2'), elle aussi, dans le cas dune profondeur infinie, est donc vérifiée, non seulement à la surface, mais dans tout le fluide.

5. Formation directe du potentiel des vitesses ( ' ). — En résumé, dans le cas d'un bassin indéfini, nous avons les deux équations indéfinies

/ON do ô-o

La condition aux limites s'écrit

0 = 0 ( à l'infini ).

Enfin, les conditions d'état i/iitial, dans le cas d'ondes par émersion, sont

cp = o, "'- =f(x, y) (pour < = o et 5 = 0).

Cherchons à satisfaire formellement à ce problème en prenant |)our o un dévelop|)ement de Tajlor suivant les puissances de l

-H- ) réprésentant la valeur de — -^ pour t = o ( c est une (onction

de X. y, z, harmonique évidemment). Nous allons déterminer de j)i(M'li(' en proche tous ces coeflicienls.

Oq est la fonction harmonique, définie dans tout l'espace au-dessous du plan des .xy, s'aunidani à l'infini et à la surface. IDonc,. r^Q = o identiquement.

( j^ ) est la fonction harmoni(pi(' (h'finie (huis tout r(îspace au-dessous du plan des .rj^, s'annulani à l'infini et pienanl à la surlace :; =: o les valeurs données /( a?, )^). Donc, (ui a (formule d'un potentiel de

(') II. Vl'.HGNE [1|, p. '17.

double couche)

\0t), 'irj J '

l'intégrale douille étani étendue à tout le plan de la surface libre ou. ce qui revient au même, à toute la partie de ce plan où la dénivellation initiale /(:r,)) n'est pas nulle (' ). Pour simplifier dès maintenant les écritures, supposons que cette dénivellation initiale n'ait de valeur sensible que dans une très petite région autour de l'origine (émersion d'un très pelit corps placé à l'origine) (-) et faisons pour

abréger

dq = fff(lr,)d';dn.

La formule |)récédente s'écrira simplement

/â'Çi\ dq z dq Z dq cosft

(z^--\- .r2-vj>-)2

en désignant par 0 l'angle fait avec la verticale par la droite qui joint le point quelcon(|ue {x, }', z) à l'origine O des coordonnées (c'est-àdire au point d'émersion), et par r la distance de ce point à l'origine. Wons connaissons maintenant les deux premiers coetlicients cpo

et [-T^j du développement (6). Pour avoir ( -^ ) » dilTérentions

(n — 2) fois par rapport à ^ la seconde équation indéfinie ( 3)

()z \ cir'-î / àt'' cette relation donne, en y faisant t = o,

) Celle formule de ( - ] fournit la dénivellaiion statii/ue initiale dans tout le

fluide avant l'éniersion du solide {cf. G. Rousikr [1], p. 3o).

O Cela correspondra à ce qu'on peut appeler une solution é/e/nenlaire naturelle. S'il y a émersion simultanée de plusieurs petits corps distincts, ou d'un corps de dimensions horizontales (inics, la solution s'obtiendra par addition ou intégration «les diverses solutions élémentaires, puisque toutes les équations sont linéaires.

formule de l'écurrence qui permet de calculer de proche on proche tous les coefHcients de la série (6). On en déduit

pour les coeflicients des puissances paires de t, et

pour les coeflicients des puissances impaires do t. Or, on a

()m /d-:i\ dq d'" /cos6\ dq à"

àz"> \àt Jo 2 T. dz'" \ /•2 y '2 71: âz'"-^^ \r

d'ailleurs, on vérifie aisément par récurrence la formule

—i::;;^, P/«+i ( cos^ô),

OÙ P,„^) désigne le polynôme de Legendre d'indice m -\- \ . Par conséquent, notre série (6) s'écrit

(A) cp = -^ rip,(cosÔ) — ^P,(.cos9)+...

Cette série, qui satisfait formellement au problème, est évidemment conver<;ente pour toute valeur de t. Donc, elle représente la solution cherchée.

Déduisons-en tout de suite la valeur de la dénivellation h =^ z — Z d'une particule ipielconque à une époque quelconque : il suflit, puisque la formule (a') est valable partout, de dilTérenlier la série précédente par rapport à t, et l'on obtient

(B) h= -^ rp,(cose) — - P2(cose)4-...

•^ — i.r;;ry\ — [7) iv-.(^o^o) +•••]•

j^es deux formules (A) et (B) résolvent entièrement le problème des ondes par cmersion dans le cas d'un bassin indéfini, tant en profondeur qu'horizontalement. 11 est clair que la méthode qui vient d'être suivie s'appliqu(.'rait aussi bien au problème des ondes par

impulsion (la série (lomiantcp ne contiendrait alors que des puissances paires de i, celle donnant h ([ue des puissance.N impaires).

6. Problème plan. — Envisageons maintenant le problème à deux dimensions, où l'on tait abstraction de Ja coordonnée horizontale y. Le bassin est toujours supposé indélini dans le sens horizontal des x et dans le sens de la profondeur ;. C'est, par exemple, le cas d'un canal rectiligne indnlment profond, dont la longueur intiuie est parallèle aux a?, et dont la largeur, parallèle aux v, est constante; le liquide, primitivement en repos, est mis en mouvement par l'enlèvement brusque d'un solide cylindrique très peu immergé, dont les génératriees sont perpendiculaires à la longueur du canal (ondes d'émersion).

Nous avor.s toujours, pour <léterminer le potentiel des vitesses 'o(^, ^, t)^ les deux mêmes équations indélinies ( i ) et (3), et la même condition aux limites cp = o (à l'infini) ; quant aux conditions initiales, elles deviennent aussi indépendantes dey et s'écrivent

cp = o, yi- = j( a" ) ( pour ^ = o el s = o ).

Il est évident (pie la méthode du numéro précédent s'applique sans modification : on cherchera pour o un développement en série de la forme (6); les deux premiers coeflicients résultent des données; on a

\dt), T.J

dans celte dernièn' formule (qui est celle d'un potentiel de double couche), l'iiitégrale est étendue à toute la surface libre, ou, ce qui revient au même, à toute la partie de cette surface où la dénivellation initialey^(x) n'est pas nulle. Supposons, pour simplifier les écritures, que cette dénivellation nait de valeur sensible cpie dans une très petite région autour de l'origine, et faisons pour abréger

la formule précédente s'écrira sim[)lement

c^cp \ dq z clq z dq cos 0

i)l / ,1 " "^ ^'^ -H ou- iz r''- - /■

Connaissant les deux premiers cocriicienls <lii développenicnt (6), tous les suivants s'en déduiront par la formule d<' ncurrence (- ). Tous les coefficients des puissances paires de / sont nuls, et celui

de -j est

'î\ = à^[à^\ dq à^ /co^\ __ ^ d'"^^ (U^r\-

d'ailleurs, dans le |)lan j:'0^, on vérilic munédi.itemcnt par rcciirrenée la fi)rmule

(loc/-) = (—1)'"+' ml !: .

Ou a donc le développement en série du potentiel cp et celui de la dénivellatiou h (par dérivation par rapport à A)

dp V t , \ t^ „ 2 1 /» ^. ( A ) (3 = — i - cos 0 — ^^Ty —^ C05 -2 G -f- ^ , cos 3 6 — ...

cos( /H -H I )(J i;^. . . ,

I — I cos( /?* -H nO qr . . . .

Ces formules, tout à fait analogues aux foiiuiiles (A ) et (B) du cas de trois dimeusions, résolvent complètement le problème.

7. Lois du mouvement. — Caiicli}', Poisson el AI. Boussinesq, qui oui r<''Solu le prol)lènie des ondes démersion (ou d'impulsion) dans un bassin indélini, par des méthodes beaucttup nioms directes que (•«•lie des numc'ros préccdeuls, et sur les(|uell<'s nous reviendrons hieulôt, ont énoncé les lois du mouvement doni \oi(i les principales (|»our le cas des ondes par ('incrsion).

Au (IcImiI, les \il(!,s.se.s soni nulles (o = o l, mais elles ;illeij;neiil rapidement des valeurs sensibles; de petites ondulations se forment à la surface libre dont l'éfpialion est donm'-e à chaque instant par (B) ou (IV) où l'on fait 0 = - • Si l'on rcm.nvjuc (|ue celte e(pialion est de la loruie

ONDES LIQUIDES DE GRAVITÉ. l3

suivant qu'on est dans le cas de Irois ou de deux dimensions, on voit que la surface libre à une époque t' se déduit de la surface libre à une

autre époque t en uuiltipliant toutes les aJjscisses par ( - \ et divi-

siuit toutes les ordonnées par i-\ ou par ( t ) • On peut donc dire

([ue chaque onde sa|)erHcielle se propage d'un mouvement uniformément accéléré, sa hauteur décroissant comme l'inverse de la quatrième puissance du temps (cas de trois dimensions) ou comme l'inverse de son carré (cas de deux dimensions). Les abscisses /• des sommets des crêtes et creux des o;idulations sont données, à un

instant i, par c>'( — ) = <>, (jui exprime (pie k est minimum ou maximum. Si — est une racine de cette équation en —•, raecc'h'ration de l'onde correspondante est y=— j^- Poisson et Cauchv ont cab-ulé

numériquement les premièrt'S r.tcines' de cette équation : on a (cas de deux dimensions) :

y = 0,39,5, pour la première onde creuse; j = o,i>.o, po\M' la première onde en lelief.

Les accélérations des ondes suivantes vont eu diminuant assez r,q)inement ( ' ).

On observe enlin sur les formules que les vitesses des particules et les hauteurs des ondes sont indépendantes de la densité du liquide (cp et h ne dépendent pas de p), et qu'elles sont proportionnelles à dq^ c'est-à-dire au volume <hi licpiide dé|)rimé (ou soulevé) à lorigine du mouveiuent.

Remarque. — On sait <[ue dans le cas d un canal de prof.)n(leur constante très petite H, les ondes se propagent avec une vitesse «'onstante y/^H (Lagrange). Ici où la profondeur est infinie^ nous trouvons un mou\ement uniformément ac('(''lér(''. Jl ne laut pas être surpris de celte différence (|ui lient à \\\w raison d'homogénéité :

(') Cotuine iiDUs avons choisi les unilés de faç )n que l'unité d'accélération soil celle de la pesanteur, nous devons, si nous revenons ;i des unités quelconques, multiplier par g les nombres donnés o.SjS ou 0,120.

l4 H. VERGNE.

coiiiine le remarqiu,' Poisson, dans le cas acUicl d'un h.is.sin indélini en tous sens, aucune lonji;ueur n'est donnée, la seule donnée de la question ot une accélération, qui est celle de la pesanteur g\ et l'on trouve pour accélérations des ondes successives le produit de g- piir des facteurs niunpviqaes o,325 ou 0,120.

8. Ce (jui [)récède est relatif aux dénivellations ou ondes à la surface libre : ce sont celles qui sont le plus facilement observables. Mais il est intéressant aussi d'étudier le mouvement à Vintèrieur même du liquide.

M. Rousier(') remarque, en donnant dans (B) ou (B') à 0 une

valeur fixe autre que '-■, que la dénivellation h se propage également à rintéi'ieur du fluide d'un mouvement uniformément accéléré (au facteur -V ou — prés) sur une droites d'inclinaison quelcon([ue [Kirtant

de l'origine des coordonnées.

M. Risser (-) étudie les oscillations d'une particule déterminée intérieure au fluide. Il étudie également le mouvement de Tensemble des particules situées initialement dans un plan horizontal déterminé c = ^0 et recherche pour un tel plan les maxima et minima de h : en d'autres termes, il étudie les ondes relatives à ce plan horizontal.

U. Les formules (A), (B), (A'), (B'), utilisées jusqu'ici, sont relatives au cas d'une solution élémentaire <d\\ la dénivellation initiale se réduit à un seul élément infiniment petit dq déprimé à l'origine des coordonnées (émersion d'un corps infininient petit). Dans le cas de l'émersion d'un corps d'étendue finie, il est nécessaire de faire lu somme des solutions simples relatives à ses divers éléments. Les lois énoncées aux numéros j)récédents ne sont plus alors valables; du moins elles cessent de l'être aux distances de l'origine qui ne peuvent pas être regardées comme extrêmement grandes [)ai- rapport aux dimensions du corps, il faut alor> faire l'élude spéciale du mou-

(') G. Housiicn [1!, p. ■>.[). L;i f')riruilt- (15'; «--l iliio à cet auteur, i|ui i'u olHcnuc par un ralcul île résidu, fort éléyanl, mais assez coMipli(|ué. ( -,) I'.. J'.issKii [1J. p. 48 cl 53.

ONDES LIQUIDES DE GRAVITÉ. l5

vemenL au voisinage même du centre d'émersion : cette étude a été faite par M. Boussinesq (dans le cas de deux dimensions) et par M. Risser (dans le cas de trois dimensions).

10. Cas d'un vase de dimensions finies limité par des parois. — Ce qui a fait le succès de la méthode d'intégration du n" o pour un bassin indéfini en tous sens, c'est que l'équation (3) est alors une équation indéfinie vérifiée partout. Dans le cas où il \ a des parois, elle n'est plus vérifiée qiià la surface libre z = o, comme il est dit au n" 1 ; et la méthode du n" 5 n'est plus directement applicable.

M. Boussinesq .(' ) a indiqué qu'on peut encore chercher pour le potentiel o un développement en série de Tajlor de la forme (()) et

déterminer de proche en proche ses coefficients ( -— \ » qui sont toujours des fonctions harmoniques, ayant leurs dérivées normales -y

nuUes à la paroi et satisfaisant à la surface z = o à l'équation (-) du n° o,

àt" /o àz \ât''-^ /o

Le coefficient de t"^ se déduit donc du coefficient de t"^"- par la résolution d'un problème harmonique mixte où la donnée est la valeur de la fonction harmonique à la surface [équation (7)], et la valeur (^nulle) de sa dérivée normale à la paroi. Or, les deux premiers

coefficients Oq et ( t^I se déduisent eux-mêmes de leurs valeurs

données à la surface libre par un tel problème harmonique mixte.

On détermine ainsi, du moins formellement, le développement (6) de cp suivant les puissances de t. Si cette série converge^ elle représente l'intégrale du problème.

Malheureusement, les problèmes harmoniques mixtes dont il s'agit sont compliqués du fait que le domaine d'existence des fonctions harmoniques présente une surface frontière ajant une arête anguleuse à l'intersection de la surface libre S et des parois — . Celte grave difficulté amène des doutes sérieux sur la convergence de la série ( 6), du moins dans le cas général de parois quelconques.

(') J. BoLssi.NKSQ [3], seclion I.

l6 H. VERGNE.

Il est toutefois un cas où l'on pourra aftirmer la convergence de la série (6). C'est celui d'un vase cylindrique vertical de p?'ofondeui' infinie (de section droite horizontale d'ailleurs quelconque). Car alors il se trouve encore que l'équation (3) est vériliée non seulement à la surface libre, mais dans tout le /luide et est une équalion indi' finie ('). Ce fait assure le succès de la méthode, car alors les coeflicients successifs du développement (6) se déduiront des deux pitMiiiers, non par des problèuies harmoniques mixtes, mais par de simples dérivations en ;, couime au n° o.

11. Un cas particulièrement simple de paroi exclusivement verticale est celui d'un n^wv plan vertical, limitant d'un coté un bassin d'ailleurs indéfini. L'émersion d'un solide au voisinage du uiur produira des ondes qui se réflécliiront sur ce mur; le problème pourra se traiter, ainsi que l'indique M. Boussinesq, par la « méthode des images », comuie si le bassin était infini en tous sens, mais avec \olumes d'émersion comprenant, outre le volume d'émersion vrai, son Im.ige à travers le plan de la paroi comme miroir. M. Risser a développé cette méthode des images et l'a appliquée au cas de plusieurs parois planes.

l!2. Retour au cas d'un bassin indéfini. Travaux de Cauchy et de Poisson. — llevenons uiaintenant aux ondes liquides dans un bassin indélini, sans parois. Les équations à satisfaire par le potentiel cp sont, comme il est dil au début du n" o,

Cl ) Acp = o,

et o doit s'annuler aux grandes distances.

Quant aux conditions d'état initial, elles sont (en nous bornani toujours aux ondes d'émersion) :

P) On le reconnail comme au n" 'i. F.e premier membre de (3) est iu»e fonction liiiiriioiii(|ii<- iiiilit; à la surface, s'aiinulaiiL aux grandes profondeurs cl ayant sa

di-ri\(-c niiiiiialc -- nulle sur les parois verticales. D'ailieur?, ici encore, une partial

cule tluidc support*; la mc'iiic |)ression pendant tout le mouv(Mncnt, et la dénivel-

lalion /( ; — / C'-l (loiiuée, dans tout le fluide par l'équation (■.>').

Cas de deux dimensions :

(p = o, --^ =f{x), ( pour / = o et 3 = o ),

Cas de trois dimensions :

âo CD =: o, -' = /"i X, y), (pour t = o el z = o).

' àt •' '^ ^

Caiicliy vl Poisson ont été les premiers à résoudre ce problème, à peu près simultanément, dans deux Mémoires restés célèbres ( ' ). Ils ont obtenu le potentiel o sous forme d'une intégrale dèlinie; en la développant suivant les puissances de t, ils en ont déduit les séries (A), (B), (A'), (B), ou du moins des séries équi\alenies. Nous allons indiquer leurs résultats.

Cas de deux dimensions.- — ■ Cauchj et Poisson arrivent tous deux à l'intégrale

(8) ^{x, z, t)= - I — jz^e-f^^dkj /i ^ ) cos A'iy — ç) «^î-

Les méthodes par lesquelles les deu>s. géomètres arrivent à cette solution ne diffèrent guère que par la forme; leurs calculs sont assez longs et compliqués. Aussi nous contenterons-nous d'indiquer comment M. l.amb (- ) obtient cette même intégrale par un procédé rapide et élégant, tout en restant exactement dans le même ordre d'idées que (^aucliy et Poisson.

L'expression

— — e ''-• cos k{x — Ç)

satisfait identiquement aux équations ( n, (3), quels que soient Aet r et s'annule aux grandes profondeurs : c'est l'intégrale classique correspondant à un « clapotis ».

Si nous tenons compte maintenant des conditions initiales et si nous écrivons y'( a;) sous forme de l'intégrale de l'ourier bien connue

f{x)= ^ f\/k f'°f{t)cosk{x-^z)cn,

(') A. Cauchy [IJ; S. Poisson [1 (') II. Lamb [1^, p. 3(i4.

nous sommes immédiatement cundiiils à rintéi;rale (8), qui salisfait à toutes les conditions du problème.

Si cous supposons que/(^') n'a de valeurs sensibles que dans une très petite région autour de l'origine, et faisons pour abréger

l'intégrale (8) devient

^-tf

dq /" °° s i H yj k t

e—^^ cos/x dk.

Montrons que si, dans cette intégrale, on dé\eloppe sin ^ A"/ en série, suivant les puissances de i, on olitient la série (A'). On a

sin s/lct ^ A'" r^'"+i

Portant dans (8') et intégrant terme à terme (ce qui est légitime puisque la série est uniformément convergente pour A' compris entre zéro et un nombre arbitrairement grand), il vient

'i = -^ > (— I)'»- / k'" e-''- coskx dk.

71 ^' ■ (■im-i-i)! J^.^„

Or, si nous posons

Z= / e-^^ cosk.fdk,

nous aurons

=(—])'" / k"i e-''- coska: dk,

et cette intégrale (convergente si z n'est pas nul) est précisément celle qui figure dans le coefficient de ^-'"+'. D'ailleurs l'intégrale définie Z se calcule imuiédialement : on a identiquement

z z cosO

et

()"'Z ô'" /cosO\ , , c()s(/u -+- 1)0

J'" /cosO\

Nous ol)tenons donc pour o le développement

^ -K Ad^ ' ('2/«-t-l)! /•'"+'

idenli(|u(; au dévebjppcuieni (A) du n" W.

Cas de trois dimensions. — Pour ne pas compliquer inulllement l'écriture, nous nous bornons, dès maintenant, à une solution Hèinentaire^ où la dénivellation initiale /(-p, jk) à la surface libre n'a de valeur sensible que dans une très petite région autour de l'origine, et nous faisons pour abréger

Cauclij donne alors le potentiel y(a:;,j)', 3, t) sous la forme de l'intégrale suivante :

'S = — — I I — ; — - — sinvcos ■ e—y'V'-aixd^,

et Poisson le donne sous la forme

tp =: — i y / — ^ - cosg..rcos[^ r f^-v«-+p-- dy. d'(..

Ces deux intégrales définies doubles ne paraissent pas identiques à première vue; mais elles peuvent se ramener l'une à l'autre par une transformation indiquée par Cauchj lui-même (Note XI de son IMémoire). -Nous retiendrons donc seulement la forme (9) de Poisson, et plutôt que de reproduire ses calculs, assez longs, nous montrerons comment on peut l'obtenir jiar le procédé rapide indiqué plus haut, d'après M. Lamb.

L'expression

( 10 ) — 7-=^ — cosz(a7 — 5 ) oos Vj(y — 71) *'-* * +P -

satisfait identiquement aux équations indélinies ( 1), (.)) quelles (jue soient les lettres a, ,3, ^, yj, et s'annule aux grandes profondeurs : c'est l'intégrale classique correspondant à la superposition de deux cla[)otIs de même période.

Si nous tenons compte maintenant des conditions initiales et écrivons/(.37, y) sous forme de l'intégrale de Fourier bien connue

/■( ./•, ,- )= -L I r d(xd^. r f /(^, -ri ) cos a ( .*; — t ) cos fi (• y — r, ) d\ dt, ,

•ao H. VERGNE.

nous soiuinos imiiiédialenienl conduits à prendre pour o l'expression

(lo) (p = — / / __l___±e-v«'+fi'-c^a.

X / / /( ?i '^i ) i"'»' a(^ — ^ ) L-os [■i{v — ■(] ) d'ç dr^,

qui sallsfail à toutes les conditions du problème.

Si cnlin nous réduisons la dénivellation initiale à un seul élément

situé à l'origine des coordonnées, nous trouvons bien l'expression (9) correspondant à une solution simple.

M. Lamb donne encore une autre forme au même calcul ('). 11 suppose que le phénomène est de révolution autour de l'axe des c, et ne dépend par suite de x, y cjue par l\ = ^/ x- -'r y- . Au lieu de (10) il prend alors pour expression élémentaire satisfaisant identiquement à(i)el(:5),

sin v/A«

— — e-''~ JoikW),

OÙ Jo Pst la fonction classique do Hessel d'indice zéro (cette intégrale correspondrait à une onde slationnaire de révolution).

Pour tenir couipte des conditions initiales, f{x^y) étant maintenant une fonction y I (R) de la seule variable R, il utilise la représentation sulvanle (analogue à l'inlégrale de f'ourier),

J\(H)=C .],{k\\)kdl( f f,{'l)),ih'-zYzd'-z

et est c(»nduit pour le potentiel o à rexj)ression

(m) ^2 = 1^ r°° sin ^^<te-'<--h^{k\\)K'Tdk,

après a\olr supposé (pie la dénivellalion initiale se réduit à un seul éléuH-nl siliié à l'origine

(') II. Lamb [1], p. /|o6.

Tl reste à véritier que les formes (9) et ( 1 1 ) du polenliel sont identiques. Pour cela, il suffit, dans l'intégrale (g), d'adopter, au lieu des coordonnées reclangulaircN x, y et y., ,S, des coordonnées polaires R, ■b et /'. 0) en posant

x = Il cos'J/, t = Iv siii'l, a = k coso), [i = /, sin w,

pour transformer ( ' ) cette intégrale (9) en

(il') (y = — ^ / (ho I e-'î- cos(/R cosw)sin (; /i <) V'/>' ^/''j

qui est bien identique à (i i) puisque la fonction de Bessel s'exprime, on le sait, par l'intégrale définie

,)„(/.|{)=- f ços(kl\coso> }(/'...

Remarquons, en passant, que la forme (11) ou (i 1') du potentiel o est bien, comme on devait s'y attendre, indépendante de l'argument 1/ du point (r, > , 3) : c'est ce qui n'apparaissait pas immédiatement sur la forme initiale (()).

Montrons enfin comment on peut développer cette expression (11) ou (ii'j de cp en série ordonnée suivant les puissances de t pour retrouver la formule (A) du n" l\. Le procédé est le même que dans le cas de deux dimensions : on remarquera ici que l'on a indenlicpiement ( - )

'/'= f ^-^■- Jo(/>H)f//.- ^

= (!)/« ^ /.-"'r-^--Jo(/vR)rf/. = ^7^77(7) ='-"'" tStI Ï'/" + i^,*^OsO);

or ce sont précisément ces expressions qui figurent, dans ( i 1), comme coefficients des diverses puissances de /, après qu'on a développé sin y Â-/. On retombe donc immédiatement sur la série (A).

(' ) J'oir pour celle transfoiiii;il ion Poisson 1 J, p. i3S, el J. Boussinksq [i]. p. 55.). l.A forme (11)' du polenliel a élé donnée explicilemenl par Poisson. {-) ]'oir, par exemple, .1. lîoussiNi-:so [21, p. 53 1.

Intégrale de Poisson dans le cas d'une profondeur finie. — 11 j a lieu de signaler ici que Poisson, considérant toujours un bassin horizontalement indéfini, a aussi intégré le prohlènie des ondes liquides dans le cas d'une profondeur verticale fiine mais constante H. Contentons-nous d'indiquer sa solution, dans le cas d'une onde due à l'émersion d'un seul élément <:/<^, à l'origine des coordonnées. Poisson trouve pour le problème plan à deux dimensions (canal)

( I Si) o = -f- ; , „ ' cos kx dk.

Il J^ c chA-H

formule où l'on a posé

c^= /. lli/.ll;

cette formule redonne bien (8') si l'on y fait H = oo.

Pour le problème à trois dimensions (bassin) Poisson trouve

, „^ dq 1 /'" sinc7 rh v/a2-f- [J'ai — S) ^ , ,,

-''■' d, c Hi v/a'--t- f32 M

ayant posé celle fois

formule qui redonne bien (9) si l'on y fait H :^ 00.

Ces formules (12) et (i3) s'obtiendraient aisément par le mode de calcul de M. Lamb, indiqué plus haut (').

lo. Méthode de M. J. Boussinesq. — Le problème des ondes liquides par émersion (ou impulsion), dans un bassin indéfini (sans j)arois), a été traité par M. Boussinesq par une méthode entièrement difïerenle que nous allons exposer maintenant (-).

Nous avons dit que, dans ce cas ( prolonch'ur infinie), le j)()lenti<'l

(') A propos (lu canal de profondeur coiisLanle (iiiic H, iiienlioniions les travaux des géoiiièlres italiens MM. U. Cisotti et A. Palatim. Se plaçant au point de vue des fonctions analyticjucs, M. Gisotli inlro<luit la variable complexe a: -f- ts; au potentiel des vitesses a(a;. •: ) il adjoint la fonclion liarnionique associée '\i{x. z) (fonction de courant) telle qnt f {x + i z) = a -(- /'|i soit une fonclion analytique : la détermination de celte fonclion analytique / équivaut évidemment à celle de la fonction harmonique cp. Celle méthode préscnlc l'inconvénient de tomber com|)lèl('ment en défaut dans le cas de trois dimensions. M. l'alalini cherche à étudier l'influence du fon I sur la propagation des ondes.

(^) J. Iioi;.s.siM:s(j j I |, p. 578 à 65i : ['2 |, /|8« F^eçon,

des vitesses 9 doit satisfaire à deux équations indéfinies qui sont

(^2C d'^0 fP-^

^ ' ax^ oy- uz-

Or l'équation (3) entraîne évidemment la suivante,

d~z qui s'écrit

et M. Boussinesq démontre ( ' ) que. réciproquement, dans le cas des ondes d'émersion où q est initialement nul, cette équation (3') entraîne (3), à condition de lui adjoindre la condition initiale supplémentaire

— ^ = o (pour t = o).

Eliminons maintenant la dérivée — ^ entre les équations (i) et (3 ) : nous sommes conduits à la nouvelle équation indélinie, ne contenant plus de dérivée en .:;,

Il est clair que, dans le cas de deux dimensions (problème plan), où o est indépendant de la coordonnée y, cette équation se réduit à

df* dx-

C'est cette équation aux dérivées partielles du quatrième ordre (i4) ou (i4 ) 6t son intégration qui jouent le rôle capital dans la méthode de M. Boussinesq (-).

(' ) J . BoL'ssiNKso [ 1 ], p. 58s.

( ') Il est à remarquer que celte équation du quatrième ordre avait été écrite par Caucliy, mais seulement pour la surface libre s = o-, pas plus que pour l'équation (3), il na observé iju'elle était vérifiée dans tout le fluide. Poisson, qui a remarqué que l'équation (3) était vérifiée non seulement à la surface mais dans tout le liquide, n'en a tiré aucune conclusion et n'a pas écrit l'équation du quatrième ordre. C'est M. Boussinesq qui a fait jouer à cette équation (i4) ou (i4') le rôle d'équation indéfinie, et il en a fait la base de sa méthode.

Cas de deux dimensions. — Le potentiel des vitesses <^{x, )', t) doit satisfaire aux deux équations indéfinies

ot* a.c-

aa;- âzavec les conditions à l'inlini

'^«P Oo dz> . « 7 N

ç ^ o, -— := o, - ^ o, -— ::= o ( poui' .f OU 2 ti'cs ffianus )

et les conditions initiales (ondes d'émersion)

9 = o, — = o. (^; =/(^^ «pour t = o).

Nous reniar([uons que la première équation indéfinie no contient pas de dérivée en ^, et que la seconde ne contient pas de dérivée en t. Ceci nous conduit à chercher d'abord comment o dépend de x et de f, sans nous préoccuper de z.

Il s'agit donc d'intégrer l'équation (14' )• L)ans ce Init, M. Boussinesq (') prend pour 'y une intégrale définie de la forme suivante :

(.5) ,=fly(.^Ç)^y(..-f)]^J^),.,

a est la variable d'intégration, 'b et y sont deux fonctions régulières arbitraires assujetties à donner à l'intégrale et à ses dérivées des valeurs finies et détermiuées. 11 faut choisir ces deux fonctions arbitraires de façon que o vérifie l'équation (i4 )• ^i' l^s dérivées successives de l'intégrale (i5) par iap|)ori à / se cahmlent aisément; on a

changeons la variable d'intc'gralion en posar, t

il \ icnl

t=r\A-'-^)-yJ^-mi^)"^-

{') 3. HoussiNKsy ' I I, p. 5f)!î ; \'2\. p. '|i)8.

Calculons de la même manière ^, el revenons èi la variable d'intégration a ; il viendra

^ se déduira de ^ comme cette dernière de o; d'où

àt* ' àr-

D'ailleurs, on a immédiatement L'équation ( i4') à vérifier devient donc

Nous allons choisir .]> de façon que la quantité sous le signe / soit une différentielle exacte; pour cela, posant

il - -

nous prendrons

L'équali(Ui (i6) devient alors

le premier membre s'intègre immédiatement et cette équation s'écrit

Pour a = o, la quantité entre crochets est nulle; x étant fini il reste à vérifier

^^(-uxj — /;(— x) = o.

D'autre part, pour x = ±:oo, et doit être nul, ce qui conduit à

prendre

y(=hoc) = o;

il est clair que cette condition entraîne la précédente. Ainsi la fonction / devra s'annuler jionr les valeurs infinies do la variable.

Revenons à l'équation (i-) que doit vérifier '4^(y), avec les conditions

lesquelles entraîneront les conditions d'état initial 0=0, — — ^ =0 ( pour t = o).

Cette fonction ']>('/) a été complètement étudiée par M. Bous^inesq ('). Nous nous bornons à mentionner les résultats : on a

'L ( y ) = / si n ( 7 — ;ji.- ) d'^x ;

celle fonction'! est une fonction entière de y/y qui admet le développement en série suivant

■My)

indiquons enfin la valeur numérique de l'intégrale définie suivante

et signalons que, pour les grandes valeurs de -/, la fonction '^(y) se réduit sensiblement à la fonction très simple

il (y) z=L y - sin 1 Y — y

La fonction '■{>(■/) élant ainsi complètement déterminée, revenons à la fonctidu /. Rappelons qu'on doit avoir

= f(.r) rpour t = o et z = o):

( ' ) J. BoussiNESo I 1 |. p- 394 et 604 ; [ 2], p. 266.

or nous avons calculé l'expression de -^', en nous y reportant, nous trouvons qu'on doit avoir

f(x\ = -1 ■/ { X ) j 4'' ( '^ ) '^r' ^ pour / = () et z = o).

c'cst-à-dirt', d'après (18),

y{x)= ——/{.i-) (pour 5 = 0);

la fonction / csl doiic complètement déterminée en fonction de x^ quand on y fait ^ = o.

Mais en réalité la fonction -/^ dépend aussi de ^, qui' nous avous traité jusqu'ici comme une constante; voyons comment y entrera celte variable.

Considérons la fonction

en tant que fonction de x et de ^ cette fonction doit être harmonique; elle le sera ^i l'on a

A- = '-^ + -^ = o • '• dx- ôz-

d'ailleurs, o s'annulera pour x on z infinis, s'il en est de même de /. La fonction /(.r, z) devant être harmonique, s'annuler à l'iufuii, el prendre à la surface ; ^ o des valeurs données, nous sommes conduits à la r^-présenter par le potcnlicl d'une double couche de den-

/silé — — J {■'p)i étalée sur 1 axe des x] nous prenons donc

l'intégrale élanl étendue à l'axe des x (surface libre), ce qui nous donne définitivement pour expression du potenliel des vitesses 9

xl'l.^l^^a-

fdl'i;

Telle esl la solulion de AI. Boiissinesq pour le problème |)lan à deux dimensions. La fonclion o ainsi déterminée vérifie bien toules les conditions voulues; on en trouvera la démonstration rigoureuse

et détaillée dans ses Ouvrages déjà cités.

do Ayant l'expression (19) de 9, on en déduira la dénivellation h = -

par simple dérivation en t. Cette dénivellation h peut être développée en série ordonnée suivant les puissances de t : ce développement a été effectué par M. Boussinesq, pour la surfcice libre z = o] M. Piousier, par un calcul d.e résidu élégant mais assez compliqué, l'a effectué pour tout le fluide, et a ainsi obtenu la formule (B') du n« (i.

On remarqueiM la diflerence profonde de forme qui existe entre la solution (iq) do M. Boussinesq, et la solution (8) de Caiichy et Poisson, et qui lient à la différence des méthodes employées. Tl est d'ailleurs possible d'identifier l'une avec l'antre ces deux expressions [nj) et (8 ) du potentiel des vitesses ( ' ).

Cas de Iroi.s (limensioiis. — Restituons maintenant au fluide ses trois dimensions. Le potentiel des vitesses o(\r, v, ^, l) doit satisfaire aux deux équations indéfinies

ôt'* ôx- ()}■-

OX- oy- dz-

avec les conditions à l'infini

do ()o âo ôo

^ ' Ox ' ày dz ' i)t

(pour ./•, ) ou G 1res grands)

et les conditions initiales (ondes d'émcrsion)

0 = 0, ^=0, (^-~^^y^^=nx,y) (pmnW = o),

f(:jc^ y) désignant les petites ordonnées inili.iles C(uinues de la surface.

Nous leni.irfjuons, encore ici, fjiic l,i première éf[ii,il i(^ii indéfinie ne

(') loir il. Vekgxk | I J, p A.i.

contient pas de dérivée en z, el que la seconde no contient pas de dérivée en t. C'est pourquoi, avec M. Boussincsq ( ' ), nous sommes conduits à intégrer tout d'aliord l'équation (i4) du quatrième ordre, en nous plaçant dans un plan horizontal fixe, c'est-à-dire sans nous préoccuper de z que nous considérerons comme un paramètre const int. La méthode consiste à prendre o sous forme de l'intégrale définie suivante,

en inli'oduisant ainsi une nouvelle variable indépendante auxiliaire T (à laquelle nous attribuerons finalement la valeur constante zéro) ; la fonction û^i est la même que dans le Ciis de deux dimensions; et il nous reste à déterminer convenablement la fonction F.

Remarquons que, d'après sa forme même [analogue à (i5)] l'expression (20) de cp satisf.iiî à l'équation [analogue à (i4')]

pourvu du moins que l'on ait

(21) F'rfcc, j-, y, z) = Fr( — x., a-,v, z-).

Par conséquent l'équation (i4) st'i^* vérifiée si l'on a

à-o à- o d- o (jl- ax- ôv-

Donc grâce à la variable en excès T, introduite dans (20), nous avons pu ramener lintégration de l'équation du quatrième ordre (i4) à celle de cette dernière (22) qui est du second ordre. D'ailleurs cp satisfera à cette équation (22) si chacun des éléments de l'intégrale (20) j satisfait, c'est-à-dire si la fonction F(T, x^ y^ z) (où je désigne simpliMnent pir T \à pi-eniière variid>le) vérifie l'équation

d- F(T, x^ >', z) d-Y {'Y ^ X, y, z) d-¥ Çï , x^ y, z)

or cette équ.ition (qui n'est autre que V équation du. son dans le cas de deux dimensions) peut être intégrée, comme on sait, au moyen

(') J. BoussrNESQ [1], p. G/jo; [21, p. 5o5.

MICMOHIAI. ni;S se. MATH. — N» 3'l. 3

(V un potentiel splièrique, ou pliUôt, ici, <ui niovcn de l.i dérivée-™ d tin pareil poU-iilicl ( ' i: on prendra donc

TC

(■i'î) Fi T, X, y. c I = — - — — / Tcosij.c/,a